První zápočtový test ­ 1. termín Část I (celkem 12 bodů) Počítáte všechny 3 příklady! Úloha 1 (4 body). Sestrojte přirozený kubický interpolační splajn pro funkci 1 1 + x2 na intervalu [0, 3], volíte-li za uzly po řadě body x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3. Nestačí pouze uvést výsledek: je nutný i správný postup! Výsledek. Výsledek je S0(x) = 1 - 11 20 x + 1 20 x3 , S1(x) = 1 2 - 2 5 (x - 1) + 3 20 (x - 1)2 - 1 40 (x - 1)3 . Úloha 2 (4 body). Vypočtěte lim x0+ x e 1 x . Výsledek. Je lim x0+ x e 1 x = +. Úloha 3 (4 body). Nalezněte 1. derivaci funkce 2 - x2 cos x + 2x sin x. Výraz poté upravte do co nejjednodušší podoby. Výsledek. Výsledek je x2 sin x. Část II (celkem 12 bodů) Počítáte 3 příklady z 5 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 4 (4 body). Nalezněte polynom p nejvýše třetího stupně, pro který platí p(0) = 2, p(1) = 3, p(2) = 12, p(5) = 147. Výsledný polynom uveďte ve tvaru ax3 + bx2 + cx + d, tj. nalezněte koeficienty a, b, c, d. Výsledek. Hledaný polynom je p(x) = x3 + x2 - x + 2. Úloha 5 (4 body). Bez použití ľHospitalova pravidla vyčíslete lim x0- tg 3x sin 5x . Výsledek. Pomocí limity lim x0 sin 3x sin 5x = 3 5 . lze snadno obdržet lim x0- tg 3x sin 5x = 3 5 . Úloha 6 (4 body). Ve kterých bodech je tečna funkce f(x) = y = 2 + x - x2 , x R rovnoběžná s osou x? Výsledek. Výsledkem je jediný bod x = 1 2 , resp. [x, y] = 1 2 , 2 1 4 . Úloha 7 (4 body). Rozhodněte, zda existuje a R takové, že funkce a x + sin x má v bodě x = 5 4 globální minimum na intervalu [0, 2]. Výsledek. Neexistuje: pro a = 2 2 má uvažovaná funkce v daném bodě pouze lokální extrém. Úloha 8 (4 body). Odhadněte chybu přibližného vzorce ln (1 + x) . = x - x2 2 pro obecné x (-1, 0). Výsledek. Vhodný ,,ostrý" odhad je např. -x3 3(1 + x)3 . Část III (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 3 úlohy ze 4 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Jaká je definice interpolačního polynomu p pro (funkční) hodnoty y0, . . . , yn R v navzájem různých bodech x0, . . . , xn R? Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 1 dole a str. 2 uprostřed. Úloha 10 (2 body). Uveďte příklad podmnožiny X množiny R takové, že pro ni platí sup X inf X. Zvláště tedy musí existovat sup X i inf X. Výsledek. Uvažte jakoukoli jednoprvkovou množinu X R. Úloha 11 (2 body). Určete maximální definiční obor (tj. největší vzhledem k množi- nové inkluzi podmnožinu R), kde je funkce f(x) = 2x21 ecos(x2-21)+x-256x3 - 11 2 + x252 spojitá. Výsledek. Zjevně (viz skriptum doc. Hilschera, str. 14 ­ Věta 5, (iii)) je D(f) = Dmax(f) = R, tedy f C(R). Úloha 12 (2 body). Napište, čemu se rovná (arccotg x) . Výsledek. Pro všechna x R platí (arccotg x) = - 1 1 + x2 . První zápočtový test ­ 2. termín Část I (celkem 12 bodů) Počítáte všechny 3 příklady! Úloha 1 (4 body). Rozložte na parciální zlomky racionální funkci 1 x3(x + 1) . Výsledek. Lze vyjádřit 1 x3(x + 1) = 1 x - 1 x2 + 1 x3 - 1 x + 1 . Úloha 2 (4 body). Určete derivaci funkce xsin x . Výsledek. Výsledek je xsin x cos x ln x + sin x x . Úloha 3 (4 body). Za pomoci diferenciálu přibližně vypočítejte sin 29 180 . Uvažte přitom, čemu se rovná sin 30 180 = sin 6 . Výsledek nemusíte upravovat (vyčíslovat). Malá rada: Výpočet musí být prováděn v radiánech, ne ve stupních! Výsledek. Výsledek by měl být uveden ve tvaru 1 2 - 3 360 . Část II (celkem 12 bodů) Počítáte 3 příklady z 5 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 4 (4 body). Určete lim n 2 4n - 8n6 - 2n - 112 2 3n+12 - 45n - 111 n+12 . Výsledek. Výsledek je lim n 2 4n - 8n6 - 2n - 112 3n+12 - 45n - 111n+12 = -. Úloha 5 (4 body). Zcela libovolným způsobem potvrďte, že je lim x0 ex - 1 x = 1. Tedy dokažte, že předešlá rovnost má smysl a platí. Nejdříve však přemýšlejte. Jde to velmi jednoduše. . . Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 17, nebo vizte ľHospitalovo pravidlo. Úloha 6 (4 body). Pod jakým úhlem protíná graf funkce ln x osu x. (Úhlem protnutí, jak je běžné, rozumíme úhel směrového vektoru tečny s kladnou poloosou x v kladném smyslu otáčení v rovině ­ proti směru pohybu hodinových ručiček ­ od poloosy k tečně.) Pokud nedokážete odpovědět, nevadí! Stačí, když uvedete tečnu k dané funkci v bodě protnutí kladné poloosy x. Výsledek. Nejhezčí odpověď je 4 . Správná je ale i odpověď y = x - 1. Úloha 7 (4 body). Využitím Lagrangeovy věty dokažte, že funkce f diferencovatelná v každém reálném bodě s derivací identicky rovnou 0 (tj. f 0, tj. f (x) = 0 pro všechna x R) je konstantní. Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 35. Úloha 8 (4 body). Určete interval, na kterém je funkce e-x2 konkávní. Výsledek. Daná funkce je konkávní pouze na intervalu - 2 2 , 2 2 Část III (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 3 úlohy ze 4 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Nechť jsou pevně zadány nějaké body a nějaké hodnoty. Uveďte alespoň 1 zásadní rozdíl (tedy rozdíl z matematického hlediska), který je mezi Hermitovým interpolačním polynomem a Lagrangeovým interpolačním polynomem. Můžete odpovědět pouze tak, že napíšete: ,,Není mezi nimi žádný faktický rozdíl. Jeden na druhý lze totiž převést roznásobením." Výsledek. Je mezi nimi rozdíl ­ viz skriptum doc. Hilschera, str. 3, 4. Úloha 10 (2 body). Co to znamená, když o racionální lomené funkci prohlásíme, že je ryze lomenou? Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 7. Úloha 11 (2 body). Uveďte větu ,,O třech limitách". Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 14. Úloha 12 (2 body). Čemu se rovná f(x) g(x) za předpokladu, že daný výraz existuje a má obvyklý význam? Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 26, Věta 10 (iv). První zápočtový test ­ 3. termín Část I (celkem 12 bodů) Počítáte všechny 3 příklady! Úloha 1 (4 body). Uveďte libovolný polynom P splňující tyto podmínky: P(0) = 6; P(1) = 4; P(2) = 4; P (2) = 1. Slovo ,,libovolný" přitom znamená ,,libovolného stupně". Výsledek. Hledaným polynomem je kupř. x2 - 3x + 6. Úloha 2 (4 body). Najděte rovnice tečny a normály ke křivce y = (x + 1) 3 3 - x, tj. ke grafu funkce f(x) = (x + 1) 3 3 - x, v bodě [-1, 0]. Výsledek. Tečna má rovnici y = 3 4(x + 1), a proto je normála y = - 3 2 2 (x + 1). Úloha 3 (4 body). Nalezněte všechny (se směrnicí i bez směrnice) asymptoty těchto dvou funkcí: x ex ; (x + 3)3 (x - 2)3 . Výsledek. Hledané asymptoty jsou y = 0 v - v případě funkce x ex a x = 2 ­ bez směrnice, y = 1 v ve druhém případě. Část II (celkem 12 bodů) Počítáte 3 příklady z 5 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 4 (4 body). Vyjádřete racionální funkci 3x4 + 2x3 - x2 + 1 3x + 2 jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Tj. dělte. Výsledek. Výsledkem je 3x4 + 2x3 - x2 + 1 3x + 2 = x3 - 1 3 x + 2 9 + 5 9(3x + 2) . Úloha 5 (4 body). Přímo z definice vlastní limity ve vlastním bodě dokažte, že je lim x0 x3 - 2 = -2. Výsledek. V podstatě stačí uvést přiřazení (pro > 0) , tj. := , přičemž bez újmy na obecnosti lze požadovat, aby < 1. Pokud by totiž bylo > 1, lze položit = 1. Úloha 6 (4 body). Vypočtěte lim x+ x2 + x - x. Výsledek. Po rozšíření výrazem x2 + x + x x2 + x + x lze dostat lim x+ x2 + x - x = 1 2 . Úloha 7 (4 body). Určete první derivaci funkce sin (sin (sin x)) . Výsledek. Derivace zadané funkce je (cos x) (cos (sin x)) (cos (sin (sin x))) . Úloha 8 (4 body). Nechť je dána funkce f a bod z takový, že platí f(z) = 0, f (z) = 0, f (z) = 0, f(3) (z) = 1. () Opište ty z výroků (případně napište jen písmena je uvozující) (a) bod z je stacionárním bodem f, (b) funkce f není polynomem druhého stupně, (c) funkce f v bodě z roste, (d) funkce f nemá v bodě z ostré lokální minimum, (e) bod z je inflexním bodem funkce f, které jsou zcela jistě pravdivé (tj. platí vždy ­ tedy pro všechny funkce f splňující ().) Odůvodněte, proč jsou podle Vás jednotlivé výroky pravdivé, či nikoli. Zvláště pak uveďte protipříklad, pokud budete tvrdit, že nějaké tvrzení obecně platit nemusí. Výsledek. Pravdivá jsou všechna tvrzení. Část III (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 3 úlohy ze 4 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Nechť jsou zcela libovolně dány hodnoty y0, . . . , yn R v na- vzájem různých bodech x0, . . . , xn R. Pro fundamentální polynomy li, i = 0, 1, . . . , n zavedené v souvislosti s výpočtem Lagrangeova interpolačního polynomu (to, jak jsou za- vedeny, musíte znát) na celé reálné ose (tj. pro všechna x R) platí n k=0 lk(x) = 1. Dokažte to! Výsledek. Důkaz zazněl na prvním cvičení. Je založen na Větě 1 ze skripta doc. Hil- schera uvedené na str. 1. Úloha 10 (2 body). Existuje funkce ryze monotónní (a tudíž definovaná) na celé reálné ose, která není v nějakém bodě spojitá, ale k ní inverzní funkce je spojitá na celém svém definičním oboru? Odpovězte pouze ,,ano", nebo ,,ne". Pokud odpovídáte ,,ano", uveďte příklad dokládající správnost Vaší odpovědi. Výsledek. Správná odpověď je ,,ne". Uvažte větu O spojitosti inverzní funkce (ve skriptu doc. Hilschera na str. 19 ­ Věta 8) a skutečnost, že inverzní funkce k inverzní funkci k ně- jaké ryze monotónní funkci F je opět F. Úloha 11 (2 body). Rozhodněte, které ze vztahů (a) D(f) D (f ), (b) D(f) = D (f ), (c) D(f) D (f ), (d) D (f ) D(f) platí pro všechny reálné funkce f. Může platit jeden, dva, tři, všechny, ale také žádný! Výsledek. Platí pouze (d). Viz skriptum doc. Hilschera, str. 24, nahoře. Úloha 12 (2 body). Určete f (1), je-li f(x) = (x - 1)(x - 2)2 (x - 3)3 . Přemýšlejte, než začnete počítat. Výsledek. Bez dalších poznámek lze přímo napsat výsledek (1 - 2)2 (1 - 3)3 = -8. První zápočtový test ­ 4. termín Část I (celkem 12 bodů) Počítáte všechny 3 příklady! Úloha 1 (4 body). Upravte funkci x4 + 6x2 + x - 2 x4 - 2x3 na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce Q. Získanou funkci Q poté vyjádřete ve tvaru součtu tzv. parciálních zlomků. Výsledek. Výsledkem je x4 + 6x2 + x - 2 x4 - 2x3 = 1 + 1 x3 - 3 x + 5 x - 2 . Úloha 2 (4 body). Spočítejte následující dvě limity lim x0+ x ln x , lim x+ x ln x , přičemž R je libovolné. Výsledek. V obou případech je výsledek e . Úloha 3 (4 body). Nalezněte všechny globální (tj. absolutní) extrémy polynomu p(x) = x3 - 3x + 2 na intervalu [-3, 2]. Výsledek. Globální extrémy jsou 4 = p(-1) = p(2), -16 = p(-3). Část II (celkem 12 bodů) Počítáte 3 příklady z 5 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 4 (4 body). Stanovte Hermitův interpolační polynom, je-li požadováno: x0 = 0, x1 = 2, x2 = 1, y0 = 0, y1 = 4, y2 = 1, y0 = 0, y1 = 4, y2 = 2. Rada: Přemýšlejte (nejen u té soustavy rovnic)! Výsledek. Tím je zřejmě x2 . Úloha 5 (4 body). Vypočtěte lim x0 1 + x - 1 - x x . Výsledek. Je lim x0 1 + x - 1 - x x = 1. Úloha 6 (4 body). Určete druhou derivaci funkce tg x. Přitom nemusíte uvádět na jaké reálné podmnožině jste ji určili. Výsledek. Výsledek je 2sin x cos3 x . Úloha 7 (4 body). Určete derivaci funkce y = f(x) zadané rovnicí 11y - cos y = sin x + 256. Výsledek. Výsledek je cos x 11 + sin y . Úloha 8 (4 body). Určete Taylorův polynom stupně 4 funkce e- x2 2 se středem v po- čátku (tj. pro x0 = 0). Výsledek. Hledaný polynom je 1 - x2 2 + x4 8 . Část III (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 3 úlohy ze 4 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Nechť jsou libovolně zvoleny hodnoty y0, . . . , yn R v navzájem různých bodech x0, . . . , xn R, přičemž y0 = 0 a n N je také libovolné. Kolik existuje polynomů stupně (a) n, (b) n + 1, (c) 2n, jenž nabývají v uvedených bodech zadaných hodnot? Není-li odpověď jednoznačná, uveďte diskusi (tj. matematický rozbor) vzhledem k dal- ším Vámi určeným podmínkám. Výsledek. Správná odpověď je (viz skriptum doc. Hilschera, str. 1): (a) právě jeden, (b) nekonečně mnoho, (c) nekonečně mnoho. Úloha 10 (2 body). Uveďte příklad funkce definované na otevřeném intervalu a něja- kého bodu jejího definičního oboru, ve kterém nastává tzv. skok. Tuto funkci (samozřejmě) nemůžete zadat obrázkem nebo tabulkou! Výsledek. Taková funkce může být např. definována takto: f(x) = sin x, x (0, 1), f(x) = 2 513, x = 0, f(x) = cos x, x (-1, 0). Bodem, v němž nastává skok, je x0 = 0. Úloha 11 (2 body). Napište vzorec pro výpočet derivace inverzní funkce k funkci f (v libovolném bodu x R), má-li f na celé reálné ose derivaci a je všude rostoucí (proto má také všude nenulovou derivaci). Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 29. Úloha 12 (2 body). Definujte pojem ,,inflexní bod". Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, Definice 12 na str. 44.