Část I (celkem 12 bodů)
Počítáte všechny 3 příklady!
Úloha 1 (4 body). Sestrojte přirozený kubický interpolační splajn pro funkci
1
1 + x2
na intervalu [0, 3], volíte-li za uzly po řadě body
x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3.
Nestačí pouze uvést výsledek: je nutný i správný postup!
Úloha 2 (4 body). Vypočtěte
lim
x0+
x  e
1
x .
Úloha 3 (4 body). Nalezněte 1. derivaci funkce
2 - x2
cos x + 2x sin x.
Výraz poté upravte do co nejjednodušší podoby.
Část II (celkem 12 bodů)
Počítáte 3 příklady z 5 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby!
Úloha 4 (4 body). Nalezněte polynom p nejvýše třetího stupně, pro který platí
p(0) = 2, p(1) = 3, p(2) = 12, p(5) = 147.
Výsledný polynom uveďte ve tvaru ax3
+ bx2
+ cx + d, tj. nalezněte koeficienty a, b, c, d.
Úloha 5 (4 body). Bez použití ľHospitalova pravidla vyčíslete
lim
x0-
tg 3x
sin 5x
.
Úloha 6 (4 body). Ve kterých bodech je tečna funkce
f(x) = y = 2 + x - x2
, x  R
rovnoběžná s osou x?
Úloha 7 (4 body). Rozhodněte, zda existuje a  R takové, že funkce a  x + sin x má v bodě
x = 5
4
globální minimum na intervalu [0, 2].
Úloha 8 (4 body). Odhadněte chybu přibližného vzorce
ln (1 + x)
.
= x -
x2
2
pro obecné x  (-1, 0).
Část III (celkem 6 bodů)
Odpovídáte na 3 úlohy ze 4 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby!
Úloha 9 (2 body). Jaká je definice interpolačního polynomu p pro hodnoty y0, . . . , yn  R
v navzájem různých bodech x0, . . . , xn  R?
Úloha 10 (2 body). Uveďte příklad podmnožiny X množiny R takové, že pro ni platí
sup X  inf X.
Zvláště tedy musí existovat sup X i inf X.
Úloha 11 (2 body). Určete maximální definiční obor (tj. největší vzhledem k množinové
inkluzi podmnožinu R), kde je funkce
f(x) = 2x21

ecos(x2-21)+x-256x3
- 11
2 + x252
spojitá.
Úloha 12 (2 body). Napište, čemu se rovná
(arccotg x) .
Část I (celkem 12 bodů)
Počítáte všechny 3 příklady!
Úloha 1 (4 body). Uveďte libovolný polynom P splňující tyto podmínky:
P(0) = 6; P(1) = 4; P(2) = 4; P (2) = 1.
Slovo ,,libovolný" přitom znamená ,,libovolného stupně".
Úloha 2 (4 body). Najděte rovnice tečny a normály ke křivce y = (x + 1) 3

3 - x, tj. ke
grafu funkce f(x) = (x + 1) 3

3 - x, v bodě [-1, 0].
Úloha 3 (4 body). Nalezněte všechny (se směrnicí i bez směrnice) asymptoty těchto dvou
funkcí:
x  ex
;
(x + 3)3
(x - 2)3
.
Část II (celkem 12 bodů)
Počítáte 3 příklady z 5 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby!
Úloha 4 (4 body). Vyjádřete racionální funkci
3x4
+ 2x3
- x2
+ 1
3x + 2
jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Tj. dělte.
Úloha 5 (4 body). Přímo z definice vlastní limity ve vlastním bodě dokažte, že je
lim
x0
x3
- 2 = -2.
Úloha 6 (4 body). Vypočtěte
lim
x+

x2 + x - x.
Úloha 7 (4 body). Určete první derivaci funkce
sin (sin (sin x)) .
Úloha 8 (4 body). Nechť je dána funkce f a bod z takový, že platí
f(z) = 0, f (z) = 0, f (z) = 0, f(3)
(z) = 1. ()
Opište ty z výroků (případně napište jen písmena je uvozující)
(a) bod z je stacionárním bodem f,
(b) funkce f není polynomem druhého stupně,
(c) funkce f v bodě z roste,
(d) funkce f nemá v bodě z ostré lokální minimum,
(e) bod z je inflexním bodem funkce f,
které jsou zcela jistě pravdivé (tj. platí vždy ­ tedy pro všechny funkce f splňující ().)
Odůvodněte, proč jsou podle Vás jednotlivé výroky pravdivé, či nikoli. Zvláště pak uveďte
protipříklad, pokud budete tvrdit, že nějaké tvrzení obecně platit nemusí.
Část III (celkem 6 bodů)
Odpovídáte na 3 úlohy ze 4 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby!
Úloha 9 (2 body). Nechť jsou zcela libovolně dány hodnoty y0, . . . , yn  R v navzájem růz-
ných bodech x0, . . . , xn  R. Pro fundamentální polynomy li, i = 0, 1, . . . , n zavedené v souvislosti
s výpočtem Lagrangeova interpolačního polynomu (to, jak jsou zavedeny, musíte znát) na celé
reálné ose (tj. pro všechna x  R) platí
n
k=0
lk(x) = 1.
Dokažte to!
Úloha 10 (2 body). Existuje funkce ryze monotónní (a tudíž definovaná) na celé reálné ose,
která není v nějakém bodě spojitá, ale k ní inverzní funkce je spojitá na celém svém definičním
oboru? Odpovězte pouze ,,ano", nebo ,,ne".
Pokud odpovídáte ,,ano", uveďte příklad dokládající správnost Vaší odpovědi.
Úloha 11 (2 body). Rozhodněte, které ze vztahů
(a) D(f)  D (f ),
(b) D(f) = D (f ),
(c) D(f)  D (f ),
(d) D (f )  D(f)
platí pro všechny reálné funkce f. Může platit jeden, dva, tři, všechny, ale také žádný!
Úloha 12 (2 body). Určete f (1), je-li f(x) = (x - 1)(x - 2)2
(x - 3)3
.
Přemýšlejte, než začnete počítat.
Část I (celkem 12 bodů)
Počítáte všechny 3 příklady!
Úloha 1 (4 body). Rozložte na parciální zlomky racionální funkci
1
x3(x + 1)
.
Úloha 2 (4 body). Určete derivaci funkce xsin x
.
Úloha 3 (4 body). Za pomoci diferenciálu přibližně vypočítejte sin 29
180
 . Uvažte přitom,
čemu se rovná sin 30
180
 = sin 
6
. Výsledek nemusíte upravovat (vyčíslovat).
Malá rada: Výpočet musí být prováděn v radiánech, ne ve stupních!
Část II (celkem 12 bodů)
Počítáte 3 příklady z 5 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby!
Úloha 4 (4 body). Určete
lim
n

2  4n
- 8n6
- 2n
- 112
2  3n+12 - 45n -

111  n+12
.
Úloha 5 (4 body). Zcela libovolným způsobem potvrďte, že je
lim
x0
ex
- 1
x
= 1.
Tedy dokažte, že předešlá rovnost má smysl a platí.
Nejdříve však přemýšlejte. Jde to velmi jednoduše. . .
Úloha 6 (4 body). Pod jakým úhlem protíná graf funkce ln x osu x. (Úhlem protnutí, jak je
běžné, rozumíme úhel směrového vektoru tečny s kladnou poloosou x v kladném smyslu otáčení
v rovině ­ proti směru pohybu hodinových ručiček ­ od poloosy k tečně.)
Pokud nedokážete odpovědět, nevadí! Stačí, když uvedete tečnu k dané funkci v bodě protnutí
kladné poloosy x.
Úloha 7 (4 body). Využitím Lagrangeovy věty dokažte, že funkce f diferencovatelná v kaž-
dém reálném bodě s derivací identicky rovnou 0 (tj. f  0, tj. f (x) = 0 pro všechna x  R) je
konstantní.
Úloha 8 (4 body). Určete interval, na kterém je funkce e-x2
konkávní.
Část III (celkem 6 bodů)
Odpovídáte na 3 úlohy ze 4 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby!
Úloha 9 (2 body). Nechť jsou pevně zadány nějaké body a nějaké hodnoty. Uveďte alespoň
1 zásadní rozdíl (tedy rozdíl z matematického hlediska), který je mezi Hermitovým interpolačním
polynomem a Lagrangeovým interpolačním polynomem.
Můžete odpovědět pouze tak, že napíšete: ,,Není mezi nimi žádný faktický rozdíl. Jeden na
druhý lze totiž převést roznásobením."
Úloha 10 (2 body). Co to znamená, když o racionální lomené funkci prohlásíme, že je ryze
lomenou?
Úloha 11 (2 body). Uveďte větu ,,O třech limitách".
Úloha 12 (2 body). Čemu se rovná
f(x)
g(x)
za předpokladu, že daný výraz existuje a má obvyklý význam?
Část I (celkem 12 bodů)
Počítáte všechny 3 příklady!
Úloha 1 (4 body). Upravte funkci
x4
+ 6x2
+ x - 2
x4 - 2x3
na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce Q. Získanou funkci Q poté vyjádřete ve tvaru
součtu tzv. parciálních zlomků.
Úloha 2 (4 body). Spočítejte následující dvě limity
lim
x0+
x

ln x ,
lim
x+
x

ln x ,
přičemž   R je libovolné.
Úloha 3 (4 body). Nalezněte všechny globální (tj. absolutní) extrémy polynomu p(x) =
x3
- 3x + 2 na intervalu [-3, 2].
Část II (celkem 12 bodů)
Počítáte 3 příklady z 5 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby!
Úloha 4 (4 body). Stanovte Hermitův interpolační polynom, je-li požadováno:
x0 = 0, x1 = 2, x2 = 1,
y0 = 0, y1 = 4, y2 = 1,
y0 = 0, y1 = 4, y2 = 2.
Rada: Přemýšlejte (nejen u té soustavy rovnic)!
Úloha 5 (4 body). Vypočtěte
lim
x0

1 + x -

1 - x
x
.
Úloha 6 (4 body). Určete druhou derivaci funkce tg x. Přitom nemusíte uvádět na jaké
reálné podmnožině jste ji určili.
Úloha 7 (4 body). Určete derivaci funkce y = f(x) zadané rovnicí 11y-cos y = sin x+256.
Úloha 8 (4 body). Určete Taylorův polynom stupně 4 funkce e- x2
2 se středem v počátku
(tj. pro x0 = 0).
Část III (celkem 6 bodů)
Odpovídáte na 3 úlohy ze 4 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby!
Úloha 9 (2 body). Nechť jsou libovolně zvoleny hodnoty y0, . . . , yn  R v navzájem různých
bodech x0, . . . , xn  R, přičemž y0 = 0 a n  N je také libovolné. Kolik existuje polynomů stupně
(a) n,
(b) n + 1,
(c) 2n,
jenž nabývají v uvedených bodech zadaných hodnot?
Není-li odpověď jednoznačná, uveďte diskusi (tj. matematický rozbor) vzhledem k dalším Vámi
určeným podmínkám.
Úloha 10 (2 body). Uveďte příklad funkce definované na otevřeném intervalu a nějakého
bodu jejího definičního oboru, ve kterém nastává tzv. skok. Tuto funkci (samozřejmě) nemůžete
zadat obrázkem nebo tabulkou!
Úloha 11 (2 body). Napište vzorec pro výpočet derivace inverzní funkce k funkci f (v libo-
volném bodu x  R), má-li f na celé reálné ose derivaci a je všude rostoucí (proto má také všude
nenulovou derivaci).
Úloha 12 (2 body). Definujte pojem ,,inflexní bod".