Druhý zápočtový test ­ 1. termín Zadání si ponecháváte. Listy, které odevzdáte, čitelně podepište! Doporučuji Vám, abyste pod své jméno uvedli čísla těch dvou úloh, které jste zvolili ­ neřešili je. Výsledky 2. testu (tedy i tohoto termínu) se dozvíte e-mailem až ve čtvrtek 26. 4. Část I (celkem 20 bodů) Počítáte všech 5 příkladů! Úloha 1 (4 body). Pro x = k 2 , k Z stanovte, čemu je roven výraz cos 2x (cos xsin x)2 dx. Nápověda: Uvažte nejprve, čemu se rovná cos 2x. (Zkouška proběhne bez nápověd.) Výsledek. Po úpravě využitím rovnosti cos 2x = cos2 x - sin2 x lze snadno zjistit, že (kde C R) cos 2x (cos x sin x)2 dx = -cotg x - tg x + C. Úloha 2 (4 body). Je dána funkce f(x) = | x | na intervalu I = [-1, 1] a dělení Dn = {-1, -n-1 n , . . . , -1 n , 0, 1 n , . . . , n-1 n , 1}. Určete s(Dn, f) a S(Dn, f). Na základě předešlého výsledku rozhodněte o integrovatelnosti funkce f na I. Výsledek. Je (viz Příklad 43 z demonstrativních cvičení) s(Dn, f) = n - 1 n , S(Dn, f) = n + 1 n . Funkce f je integrovatelná na I, neboť lim n s(Dn, f) = lim n S(Dn, f). Viz skriptum doc. Hilschera, str. 70. Úloha 3 (4 body). Spočítejte 1 -1 x2 e-x dx. Výsledek. Výsledek je e - 5e-1 . Úloha 4 (4 body). Vypočtěte délku oblouku křivky, která je zadána grafem funkce 1 3 (3-x) x mezi jejími průsečíky s osou x. Tj. stanovte délku grafu dané funkce na intervalu, jehož krajními body jsou nulové body uvažované funkce. Výsledek. Výsledek je 2 3. Úloha 5 (4 body). Vyčíslete nevlastní integrál 0 - x e-x2 dx. Výsledek. Výsledek je -1 2 . Část II (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 6 (3 body). Vypočítejte e -e cosh x dx, kde e je Eulerovo číslo, tj. základ přiro- zených logaritmů. Výsledek. Výsledek je ee - e-e . Úloha 7 (3 body). Určete znaménka těchto tří čísel (hodnot integrálů) := 2 -2 x3 2x dx, := 2 0 sin x dx, := 2 0 sin x x dx. Tedy pro každé j {, , } uveďte, zda je j < 0, j > 0, nebo j = 0. Výsledek. Nebylo třeba cokoli zdůvodňovat: stačilo uvést pouze > 0, = 0, > 0. Úloha 8 (3 body). Vyjádřete bez symbolů derivace a integrace výraz x 6t-11 e6t-11 dt s proměnnou x R a neznámou konstantou R. Výsledek. Platí x 6t-11 e6t-11 dt = -6x-11 e6x-11 . Viz skriptum doc. Hilschera, str. 80, dole. Část III (celkem 4 body) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Udejte příklad funkce spojité a ohraničené na celém svém definič- ním oboru, jímž je nějaký omezený (tj. ohraničený) otevřený interval I (ten samozřejmě rovněž musíte uvést), takové, že k ní na I neexistuje nekonečně mnoho navzájem různých (tj. lišících se v alespoň jednom bodě množiny I) primitivních funkcí. Výsledek. Taková funkce neexistuje: viz skriptum doc. Hilschera, str. 59. Úloha 10 (2 body). Dokažte, že pro spojité funkce f a g na uvažované (leč blíže neupřesněné) množině M (tj. pro x M) platí f(x) dx - g(x) dx = (f(x) - g(x)) dx. Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 61. Úloha 11 (2 body). Uveďte vzorce pro objem a obsah pláště rotačního tělesa vznik- lého rotací plochy mezi Gr f a osou x na intervalu [0, 1] kolem osy x, je-li f nezápornou funkcí se spojitou derivací na [0, 1]. Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera ­ Tvrzení 8 na str. 87 a Tvrzení 9 na str. 89. Druhý zápočtový test ­ 2. termín Zadání si ponecháváte. Listy, které odevzdáte, čitelně podepište! Doporučuji Vám, abyste pod své jméno uvedli čísla těch dvou úloh, které jste zvolili ­ neřešili je. Výsledky 2. testu (tedy i tohoto termínu) se dozvíte e-mailem až ve čtvrtek 26. 4. Část I (celkem 20 bodů) Počítáte všech 5 příkladů! Úloha 1 (4 body). Pro x > 0 nalezněte k funkci 1 - 1 x2 x x + 2x nějakou primi- tivní funkci. Výsledek. Hledanou funkcí je např. 4(x2 + 7) 7x 1 4 + 2x ln 2 - 145, 11. Úloha 2 (4 body). Pro x > 0 spočítejte ex e2x-1 dx. Výsledek. Je ex e2x - 1 dx = 1 2 ln ex - 1 ex + 1 + C, C R. Úloha 3 (4 body). Pomocí výpočtu limity dolních součtů určete 1 0 x2 dx. (Víte, že je funkce x2 integrovatelná na [0, 1].) Uvažujte přitom tzv. ekvidistantní dělení Dn = {0, 1 n , 2 n , . . . , n-1 n , 1} intervalu [0, 1]. Rada: Pro všechna n N je 12 + 22 + + n2 = 1 6 n(n + 1)(2n + 1). Výsledek. Výsledek je lim n s(Dn, x2 ) = lim n 1 6 (1 - 1 n )(2 - 1 n ) = 1 3 . Poznámka: Integrovatelnost funkce x2 na [0, 1] plyne z její spojitosti. Úloha 4 (4 body). Nechť C je křivka v rovině s parametrizací [x(t), y(t)] pro t [0, ]. Určete délku d křivky C, je-li x(t) = cos t + t sin t, y(t) = sin t - t cos t. Výsledek. Snadno se spočítá, že d = 2 2 . Úloha 5 (4 body). Vypočítejte + 0 dx (x2+1)2 . Výsledek. Výsledek je 4 . Část II (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 6 (3 body). Čemu se rovná 1 (x-2)2+9 dx? Výsledek. Je 1 (x - 2)2 + 9 dx = 1 3 arctg x - 2 3 + C. Úloha 7 (3 body). Vypočítejte 0,11 -0,11 tg x dx. Rada: Nepočítejte; přemýšlejte! Výsledek. Výsledek je 0. Funkce tg x je totiž lichá. Úloha 8 (3 body). Víme, že platí (tzv. 1. věta o střední hodnotě): Nechť jsou f a g spojité funkce na intervalu I = [a, b] nenulové délky, přičemž g nemění znaménko (tj. je na I nezáporná, nebo nekladná). Potom existuje takové c I, pro které je b a f(x)g(x) dx = f(c) b a g(x) dx. Za pomoci této věty odhadněte integrál (tj. uveďte interval J, ve kterém se nachází jeho hodnota: určitý integrál je číslo) I := 1 0 x99 1 + x dx s chybou ostře menší než 0,01 (tj. délka intervalu J musí být menší než 0,01). Výsledek. Lehce se ukáže (volbou g = x99 ), že I 1 100 2 , 1 100 . Dokonce lze nenáročně dokázat, že I 1 100 2 , 1 100 . Část III (celkem 4 body) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Neurčitý integrál z nějaké na R spojité funkce f je: (a) reálné číslo, nebo +, či -; (b) nekonečná množina; (c) jedna funkce vzniklá z jiné posunutím o konstantu; (d) symbol označující obsah plochy mezi osou x a funkcí f. Napovězme, že správná je alespoň jedna z možností. Výsledek. Správně je pouze ,,za (b)". Viz skriptum doc. Hilschera, str. 60. Úloha 10 (2 body). Uveďte příklad funkce, která je definována pro všechna x R, ale není integrovatelná na žádném intervalu [a, b] pro libovolná a, b R, a < b. Výsledek. Uvažte funkci, která v racionálních číslech nabývá hodnoty 3 a v iracionálních je nulová. Úloha 11 (2 body). Napište Newton-Leibnizův vzorec včetně všech příslušných pod- mínek na v něm vyskytující se funkce. Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera, Věta 37 na str. 81. Druhý zápočtový test ­ 3. termín Zadání si ponecháváte. Listy, které odevzdáte, čitelně podepište! Doporučuji Vám, abyste pod své jméno uvedli čísla těch dvou úloh, které jste zvolili ­ neřešili je. Výsledky 2. testu (tedy i tohoto termínu) se dozvíte e-mailem až ve čtvrtek 26. 4. Část I (celkem 20 bodů) Počítáte všech 5 příkladů! Úloha 1 (4 body). Vypočtěte x3 (x-1)(x-2)2 dx Výsledek. Výsledek je x3 (x - 1)(x - 2)2 dx = 1 x - 1 dx + 4 x - 2 dx + 8 (x - 2)2 dx + + 1 dx = ln (| x - 1 | (x - 2)4 ) - 8 x - 2 + x + C, C R. Úloha 2 (4 body). Vypočítejte 1 0 x15 1 + 3x8 dx. Výsledek uveďte ve tvaru zlomku. Výsledek. Je 1 0 x15 1 + 3x8 dx = 29 270 . Úloha 3 (4 body). Určete obsah rovinného obrazce omezeného křivkami y = ex - 1, y = e2x - 3, x = 0. Výsledek. Výsledek je 2ln 2 - 1 2 . Úloha 4 (4 body). Pro jaká p R konverguje integrál + 0 1 (x+111)p dx? Výsledek. Zkoumaný integrál konverguje právě pro p > 1. Úloha 5 (4 body). Určete plochu (tj. obsah oblasti) mezi grafem funkce 1 1-x2 a osou x na intervalu (-1, 1). Výsledek. Výsledek je . Viz skriptum doc. Hilschera ­ Příklad 126 na str. 94. Část II (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 6 (3 body). Právě dvě z funkcí (definovaných pro x > 0) f(x) = sin 5x, g(x) = sin 5x 5x , h(x) = 1 ln 5x , u(x) = sinh 5x, v(x) = -1892 cos 5x 5 + sin 5x mají primitivní funkci, která je vyšší funkcí (tj. není vyjádřitelná pomocí elementárních funkcí). Uveďte tyto dvě funkce. Výsledek. Vylučovací metodou lze zjistit, že hledanou dvojicí funkcí je g, h. Úloha 7 (3 body). Vypočítejte 2 0 cos2 x dx. Rada: Pro všechna x R je cos2 x = 1+cos 2x 2 . (Ve zkouškové písemce rady nebudou!) Výsledek. Výsledek je 4 . Úloha 8 (3 body). Určete průměrnou hodnotu funkce x na intervalu [0, 100]. Výsledek. Výsledek je 20 3 . Část III (celkem 4 body) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Za pomoci derivací uvažovaných funkcí (jiný způsob nebude uz- nán) dokažte, že arctg x + arccotg x = 2 , x R. Přitom lze (není nutné) využít možnost ,,derivování předpokládané rovnosti". Výsledek. Viz např. skriptum doc. Hilschera, str. 59­60. Úloha 10 (2 body). Opište ty z výroků (přičemž I = [a, b], a < b) (a) ohraničená, monotónní funkce na I je na I integrovatelná, (b) funkce spojitá na I nabývá své průměrné hodnoty na I v nějakém bodě I, (c) funkce F(x) := a x f je spojitá na I pro libovolnou funkci f integrovatelnou na I, (d) součinem dvou integrovatelných funkcí na I je funkce integrovatelná na I, (e) podílem dvou integrovatelných funkcí na I je funkce integrovatelná na I jenž vždy (pro všechny zmíněné funkce) platí. Výsledek. S výjimkou tvrzení (e) platí všechna tvrzení. Viz skriptum doc. Hilschera ­ po řadě Věta 30, (ii) na str. 72; Poznámka 27 na str. 77; Věta 35 na str. 78 a Poznámka 26, (iii) na str. 74; Věta 32, (v) na str. 73; Věta 32, (vi) na str. 73. Úloha 11 (2 body). Napište větu O střední hodnotě integrálního počtu pro spojitou funkci f na intervalu [a, b], kde a, b R, a < b. Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera ­ Věta 33, (ii) na str. 76. Druhý zápočtový test ­ 4. termín Zadání si ponecháváte. Listy, které odevzdáte, čitelně podepište! Doporučuji Vám, abyste pod své jméno uvedli čísla těch dvou úloh, které jste zvolili ­ neřešili je. Výsledky 2. testu (tedy i tohoto termínu) se dozvíte e-mailem až ve čtvrtek 26. 4. Část I (celkem 20 bodů) Počítáte všech 5 příkladů! Úloha 1 (4 body). Vypočtěte dx x 1+ln x . Výsledek. Zřejmě je (C R) dx x 1 + ln x = 2 1 + ln x + C. Úloha 2 (4 body). Integrací per partes spočtěte 0 x sin x dx a ln 2 0 x e-x dx. Výsledek. Je 0 x sin x dx = , ln 2 0 x e-x dx = 1 2 ln e 2 . Úloha 3 (4 body). Vypočítejte obsah ohraničené oblasti, jejíž hranici tvoří parabola -x2 + 4x - 3 a její tečny v bodech [0; -3] a [3; 0]. Nakreslete obrázek. Napovězme, že tečny se protínají v bodě [1, 5; 3] a jejich rovnice jsou y = 4x - 3, y = -2(x - 3). (Ve zkouškové písemce nebude nic napovězeno.) Výsledek. Výsledek je 9 4 . Úloha 4 (4 body). Stanovte objem tělesa, jehož plášť vznikl otáčením křivky y2 = 2bx, x [0, c] kolem osy x, přičemž c, b R, c > b > 0. Výsledek. Výsledek je bc2 . Úloha 5 (4 body). Vypočítejte + 1 dx x3+x . Výsledek. Výsledek je 1 2 ln 2. Část II (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 6 (3 body). Dle jistého vzorce doplňte dx x2+1 = pro x R. Možná nápověda: Uvažte derivace funkcí inverzních k funkcím hyperbolickým. Výsledek. Jak zaznělo na cvičení, je (C R) dx x2 + 1 = argsinh x + C = ln x + x2 + 1 + C. Mělo by být doplněno, že postačovalo uvést jednu z rovností. Úloha 7 (3 body). Určete 2 0 | x - 2 | dx. Rada: Můžete si pomoci tím, že uvážíte geometrický význam integrálu. Výsledek. Výsledek je 2. Úloha 8 (3 body). Který z integrálů (vlastně, které z čísel) 2 0 sin10 x dx, 0 sin2 x dx je větší? Nebo si jsou rovny (rovna)? Nestačí pouze odpovědět, ale je třeba i odpověď náležitě zdůvodnit (tj. uvést ,,proč je to tak ­ z čeho to vyplývá"). Výsledek. Platí 2 0 sin10 x dx < 0 sin2 x dx. Část III (celkem 4 body) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Uveďte alespoň jednu funkci g, která je definována na celé reálné přímce, existuje k ní na R funkce primitivní, ale přitom g není všude (tj. na celém svém definičním oboru R) spojitá. Pokud tvrdíte, že taková funkce nemůže existovat, napište pouze ,,neexistuje". Výsledek. Existuje: viz skriptum doc. Hilschera, str. 59. Úloha 10 (2 body). Jak je definována průměrná hodnota integrovatelné funkce f na intervalu [a, b]? (Reálná čísla a, b jsou libovolná; pouze požadujeme, aby a < b.) Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera ­ Definice 21 na str. 75. Úloha 11 (2 body). Nechť je funkce f definována na intervalu (-, ) a ohraničená na každém jeho ohraničeném podintervalu. (Bez újmy na obecnosti můžete předpokládat, že je ohraničená na celém R). Kdy řekneme, že integrál - f(x) dx konverguje, a kdy, že diverguje? Výsledek. Viz skriptum doc. Hilschera ­ Definice 22 na str. 91 a druhý odstavec Po- známky 30 na str. 92.