Druhý zápočtový test ­ 1. termín Zadání si ponecháváte. Listy, které odevzdáte, čitelně podepište! Doporučuji Vám, abyste pod své jméno uvedli čísla těch dvou úloh, které jste zvolili ­ neřešili je. Výsledky 2. testu (tedy i tohoto termínu) se dozvíte e-mailem až ve čtvrtek 26. 4. Část I (celkem 20 bodů) Počítáte všech 5 příkladů! Úloha 1 (4 body). Pro x = k 2 , k Z stanovte, čemu je roven výraz cos 2x (cos xsin x)2 dx. Nápověda: Uvažte nejprve, čemu se rovná cos 2x. (Zkouška proběhne bez nápověd.) Úloha 2 (4 body). Je dána funkce f(x) = | x | na intervalu I = [-1, 1] a dělení Dn = {-1, -n-1 n , . . . , -1 n , 0, 1 n , . . . , n-1 n , 1}. Určete s(Dn, f) a S(Dn, f). Na základě předešlého výsledku rozhodněte o integrovatelnosti funkce f na I. Úloha 3 (4 body). Spočítejte 1 -1 x2 e-x dx. Úloha 4 (4 body). Vypočtěte délku oblouku křivky, která je zadána grafem funkce 1 3 (3-x) x mezi jejími průsečíky s osou x. Tj. stanovte délku grafu dané funkce na intervalu, jehož krajními body jsou nulové body uvažované funkce. Úloha 5 (4 body). Vyčíslete nevlastní integrál 0 - x e-x2 dx. Část II (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 6 (3 body). Vypočítejte e -e cosh x dx, kde e je Eulerovo číslo, tj. základ přiro- zených logaritmů. Úloha 7 (3 body). Určete znaménka těchto tří čísel (hodnot integrálů) := 2 -2 x3 2x dx, := 2 0 sin x dx, := 2 0 sin x x dx. Tedy pro každé j {, , } uveďte, zda je j < 0, j > 0, nebo j = 0. Úloha 8 (3 body). Vyjádřete bez symbolů derivace a integrace výraz x 6t-11 e6t-11 dt s proměnnou x R a neznámou konstantou R. Část III (celkem 4 body) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Udejte příklad funkce spojité a ohraničené na celém svém definič- ním oboru, jímž je nějaký omezený (tj. ohraničený) otevřený interval I (ten samozřejmě rovněž musíte uvést), takové, že k ní na I neexistuje nekonečně mnoho navzájem různých (tj. lišících se v alespoň jednom bodě množiny I) primitivních funkcí. Úloha 10 (2 body). Dokažte, že pro spojité funkce f a g na uvažované (leč blíže neupřesněné) množině M (tj. pro x M) platí f(x) dx - g(x) dx = (f(x) - g(x)) dx. Úloha 11 (2 body). Uveďte vzorce pro objem a obsah pláště rotačního tělesa vznik- lého rotací plochy mezi Gr f a osou x na intervalu [0, 1] kolem osy x, je-li f nezápornou funkcí se spojitou derivací na [0, 1]. Druhý zápočtový test ­ 2. termín Zadání si ponecháváte. Listy, které odevzdáte, čitelně podepište! Doporučuji Vám, abyste pod své jméno uvedli čísla těch dvou úloh, které jste zvolili ­ neřešili je. Výsledky 2. testu (tedy i tohoto termínu) se dozvíte e-mailem až ve čtvrtek 26. 4. Část I (celkem 20 bodů) Počítáte všech 5 příkladů! Úloha 1 (4 body). Pro x > 0 nalezněte k funkci 1 - 1 x2 x x + 2x nějakou primi- tivní funkci. Úloha 2 (4 body). Pro x > 0 spočítejte ex e2x-1 dx. Úloha 3 (4 body). Pomocí výpočtu limity dolních součtů určete 1 0 x2 dx. (Víte, že je funkce x2 integrovatelná na [0, 1].) Uvažujte přitom tzv. ekvidistantní dělení Dn = {0, 1 n , 2 n , . . . , n-1 n , 1} intervalu [0, 1]. Rada: Pro všechna n N je 12 + 22 + + n2 = 1 6 n(n + 1)(2n + 1). Úloha 4 (4 body). Nechť C je křivka v rovině s parametrizací [x(t), y(t)] pro t [0, ]. Určete délku d křivky C, je-li x(t) = cos t + t sin t, y(t) = sin t - t cos t. Úloha 5 (4 body). Vypočítejte + 0 dx (x2+1)2 . Část II (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 6 (3 body). Čemu se rovná 1 (x-2)2+9 dx? Úloha 7 (3 body). Vypočítejte 0,11 -0,11 tg x dx. Rada: Nepočítejte; přemýšlejte! Úloha 8 (3 body). Víme, že platí (tzv. 1. věta o střední hodnotě): Nechť jsou f a g spojité funkce na intervalu I = [a, b] nenulové délky, přičemž g nemění znaménko (tj. je na I nezáporná, nebo nekladná). Potom existuje takové c I, pro které je b a f(x)g(x) dx = f(c) b a g(x) dx. Za pomoci této věty odhadněte integrál (tj. uveďte interval J, ve kterém se nachází jeho hodnota: určitý integrál je číslo) I := 1 0 x99 1 + x dx s chybou ostře menší než 0,01 (tj. délka intervalu J musí být menší než 0,01). Část III (celkem 4 body) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Neurčitý integrál z nějaké na R spojité funkce f je: (a) reálné číslo, nebo +, či -; (b) nekonečná množina; (c) jedna funkce vzniklá z jiné posunutím o konstantu; (d) symbol označující obsah plochy mezi osou x a funkcí f. Napovězme, že správná je alespoň jedna z možností. Úloha 10 (2 body). Uveďte příklad funkce, která je definována pro všechna x R, ale není integrovatelná na žádném intervalu [a, b] pro libovolná a, b R, a < b. Úloha 11 (2 body). Napište Newton-Leibnizův vzorec včetně všech příslušných pod- mínek na v něm vyskytující se funkce. Druhý zápočtový test ­ 3. termín Zadání si ponecháváte. Listy, které odevzdáte, čitelně podepište! Doporučuji Vám, abyste pod své jméno uvedli čísla těch dvou úloh, které jste zvolili ­ neřešili je. Výsledky 2. testu (tedy i tohoto termínu) se dozvíte e-mailem až ve čtvrtek 26. 4. Část I (celkem 20 bodů) Počítáte všech 5 příkladů! Úloha 1 (4 body). Vypočtěte x3 (x-1)(x-2)2 dx Úloha 2 (4 body). Vypočítejte 1 0 x15 1 + 3x8 dx. Výsledek uveďte ve tvaru zlomku. Úloha 3 (4 body). Určete obsah rovinného obrazce omezeného křivkami y = ex - 1, y = e2x - 3, x = 0. Úloha 4 (4 body). Pro jaká p R konverguje integrál + 0 1 (x+111)p dx? Úloha 5 (4 body). Určete plochu (tj. obsah oblasti) mezi grafem funkce 1 1-x2 a osou x na intervalu (-1, 1). Část II (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 6 (3 body). Právě dvě z funkcí (definovaných pro x > 0) f(x) = sin 5x, g(x) = sin 5x 5x , h(x) = 1 ln 5x , u(x) = sinh 5x, v(x) = -1892 cos 5x 5 + sin 5x mají primitivní funkci, která je vyšší funkcí (tj. není vyjádřitelná pomocí elementárních funkcí). Uveďte tyto dvě funkce. Úloha 7 (3 body). Vypočítejte 2 0 cos2 x dx. Rada: Pro všechna x R je cos2 x = 1+cos 2x 2 . (Ve zkouškové písemce rady nebudou!) Úloha 8 (3 body). Určete průměrnou hodnotu funkce x na intervalu [0, 100]. Část III (celkem 4 body) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Za pomoci derivací uvažovaných funkcí (jiný způsob nebude uz- nán) dokažte, že arctg x + arccotg x = 2 , x R. Přitom lze (není nutné) využít možnost ,,derivování předpokládané rovnosti". Úloha 10 (2 body). Opište ty z výroků (přičemž I = [a, b], a < b) (a) ohraničená, monotónní funkce na I je na I integrovatelná, (b) funkce spojitá na I nabývá své průměrné hodnoty na I v nějakém bodě I, (c) funkce F(x) := a x f je spojitá na I pro libovolnou funkci f integrovatelnou na I, (d) součinem dvou integrovatelných funkcí na I je funkce integrovatelná na I, (e) podílem dvou integrovatelných funkcí na I je funkce integrovatelná na I jenž vždy (pro všechny zmíněné funkce) platí. Úloha 11 (2 body). Napište větu O střední hodnotě integrálního počtu pro spojitou funkci f na intervalu [a, b], kde a, b R, a < b. Druhý zápočtový test ­ 4. termín Zadání si ponecháváte. Listy, které odevzdáte, čitelně podepište! Doporučuji Vám, abyste pod své jméno uvedli čísla těch dvou úloh, které jste zvolili ­ neřešili je. Výsledky 2. testu (tedy i tohoto termínu) se dozvíte e-mailem až ve čtvrtek 26. 4. Část I (celkem 20 bodů) Počítáte všech 5 příkladů! Úloha 1 (4 body). Vypočtěte dx x 1+ln x . Úloha 2 (4 body). Integrací per partes spočtěte 0 x sin x dx a ln 2 0 x e-x dx. Úloha 3 (4 body). Vypočítejte obsah ohraničené oblasti, jejíž hranici tvoří parabola -x2 + 4x - 3 a její tečny v bodech [0; -3] a [3; 0]. Nakreslete obrázek. Napovězme, že tečny se protínají v bodě [1, 5; 3] a jejich rovnice jsou y = 4x - 3, y = -2(x - 3). (Ve zkouškové písemce nebude nic napovězeno.) Úloha 4 (4 body). Stanovte objem tělesa, jehož plášť vznikl otáčením křivky y2 = 2bx, x [0, c] kolem osy x, přičemž c, b R, c > b > 0. Úloha 5 (4 body). Vypočítejte + 1 dx x3+x . Část II (celkem 6 bodů) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 6 (3 body). Dle jistého vzorce doplňte dx x2+1 = pro x R. Možná nápověda: Uvažte derivace funkcí inverzních k funkcím hyperbolickým. Úloha 7 (3 body). Určete 2 0 | x - 2 | dx. Rada: Můžete si pomoci tím, že uvážíte geometrický význam integrálu. Úloha 8 (3 body). Který z integrálů (vlastně, které z čísel) 2 0 sin10 x dx, 0 sin2 x dx je větší? Nebo si jsou rovny (rovna)? Nestačí pouze odpovědět, ale je třeba i odpověď náležitě zdůvodnit (tj. uvést ,,proč je to tak ­ z čeho to vyplývá"). Část III (celkem 4 body) Odpovídáte na 2 úlohy ze 3 (nebo méně, ne však více) dle vlastní volby! Úloha 9 (2 body). Uveďte alespoň jednu funkci g, která je definována na celé reálné přímce, existuje k ní na R funkce primitivní, ale přitom g není všude (tj. na celém svém definičním oboru R) spojitá. Pokud tvrdíte, že taková funkce nemůže existovat, napište pouze ,,neexistuje". Úloha 10 (2 body). Jak je definována průměrná hodnota integrovatelné funkce f na intervalu [a, b]? (Reálná čísla a, b jsou libovolná; pouze požadujeme, aby a < b.) Úloha 11 (2 body). Nechť je funkce f definována na intervalu (-, ) a ohraničená na každém jeho ohraničeném podintervalu. (Bez újmy na obecnosti můžete předpokládat, že je ohraničená na celém R). Kdy řekneme, že integrál - f(x) dx konverguje, a kdy, že diverguje?