Dodatečný zápočtový test ­ 1. termín
Zadání Vám zůstává. Odevzdáváte pouze přiložený list, kde pouze vyplníte: Vaše jméno,
UČO a za pod sebou napsaná čísla 1, 2, . . . , 14, 15 uvedete výsledky příslušných příkladů,
tj. Vaše odpovědi v podobě osamoceného (nejvýše jednoho) výsledku bez jakýchkoli ko-
mentářů či poznámek! (Tři příklady budou uvedeny na tabuli.) Pokud jste nějaký příklad
neřešili, odpovídající řádek proškrtněte. Poté se podepište!
Počítat máte nejvýše 12 příkladů dle vlastní volby! Tedy alespoň tři řádky musíte pro-
škrtnout!
Příklad 1 (5 bodů). Vyjádřete racionální ryze lomenou funkci
2x3
+ 6x2
+ x - 2
x4 - 2x3
ve tvaru tzv. parciálních zlomků.
Příklad 2 (5 bodů). Spočtěte
lim
x0+

2 -

1 + cos x
sin2
x
.
Příklad 3 (5 bodů). Určete maximální hodnotu, jež v nějakém reálném bodě nabývá
funkce 3

xe-x
. Případně uveďte pouhé ,,neexistuje".
Příklad 4 (5 bodů). Napište Taylorův polynom třetího stupně funkce x3
- 2x + 5
v bodě x0 = 1.
Příklad 5 (5 bodů). Například pomocí metody per partes určete
x  ln2
x dx.
Uvažujte pouze x > 0.
Příklad 6 (5 bodů). Vyčíslete nevlastní integrál
+
-
ex
e2x + ex + 1
dx.
Příklad 7 (5 bodů). Sečtěte konvergentní řadu

n=0
1
4n2-1
.
Příklad 8 (5 bodů). Rozhodněte, zda řada

n=1
(-1)n-1
tg 1
n

n
konverguje absolutně,
nebo relativně, nebo zda diverguje k +, resp. k -, či dokonce osciluje. Uveďte právě
jednu z uvedených možností.
Příklad 9 (5 bodů). Určete poloměr konvergence mocninné řady

n=1
xn
2

n .
Příklad 10 (5 bodů). Funkci ex
vyjádřete jako nekonečný polynom se členy
an(x - 1)n
.
Příklad 11 (5 bodů). Pomocí vhodného rozvoje stanovte kosinus v bodě x = 
200
s chybou menší než 10-6
. Výsledek můžete pochopitelně ponechat v neupravené podobě!
Příklad 12 (5 bodů). Nalezněte všechna (i konstantní) řešení rovnice
y cos2
x = 1 + cos2
x  1 - y2.
Hodně štěstí u zkoušky!
Dodatečný zápočtový test ­ 2. termín
Zadání Vám zůstává. Odevzdáváte pouze přiložený list, kde pouze vyplníte: Vaše jméno,
UČO a za pod sebou napsaná čísla 1, 2, . . . , 14, 15 uvedete výsledky příslušných příkladů,
tj. Vaše odpovědi v podobě osamoceného (nejvýše jednoho) výsledku bez jakýchkoli ko-
mentářů či poznámek! (Tři příklady budou uvedeny na tabuli.) Pokud jste nějaký příklad
neřešili, odpovídající řádek proškrtněte. Poté se podepište!
Počítat máte nejvýše 12 příkladů dle vlastní volby! Tedy alespoň tři řádky musíte pro-
škrtnout!
Příklad 1 (5 bodů). Nalezněte polynom nejvýše třetího stupně, který v bodě 1 na-
bývá hodnoty 4, v bodě 2 hodnoty 9 a jenž má v bodě 0 derivaci rovnu -2, zatímco v bodě 1
je jeho derivace rovna 1.
Příklad 2 (5 bodů). Spočtěte
lim
x+
x 3
1
x - 2
1
x .
Příklad 3 (5 bodů). Pro x > e stanovte počet nulových bodů (tj. bodů, ve kterých
nabývá hodnoty 0) derivace g := f funkce
f(x) := arctg
ln (x)
ln (x) - 1
.
Příklad 4 (5 bodů). Za pomoci diferenciálu přibližně vypočítejte arccotg 1, 02.
Příklad 5 (5 bodů). Určete pro x > 0

x

x + 1
dx.
Příklad 6 (5 bodů). Vypočtěte délku grafu funkce
f(x) =
ex
+ e-x
2
na intervalu [-1, 2].
Příklad 7 (5 bodů). Sečtěte řadu

n=1
3
42n-1
+
2
42n
.
Příklad 8 (5 bodů). Určete všechna reálná A  0, pro která

n=100
(-1)n
ln (1 + A2n
)
konverguje. Doplňme, že jsou to právě ta A  0, pro která uvažovaná řada konverguje
absolutně.
Příklad 9 (5 bodů). Uveďte funkci, jejíž Taylorova řada je
y -
y3
3
+
y5
5
-    ,
přičemž y  [-1, 1].
Příklad 10 (5 bodů). Rozviňte funkci 1
3-2x
v Maclaurinovu (tj. Taylorovu se středem
v počátku) řadu.
Příklad 11 (5 bodů). Najděte mocninný rozvoj funkce
x
0
e-t2
dt.
Příklad 12 (5 bodů). Vyřešte
y - 3x2
y = (x + 2) ex3
.
Hodně štěstí u zkoušky!