Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy MB102 ­ 12. demonstrovaná cvičení Řešení písemky a vektorové prostory funkcí Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6.5. 2008 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Písemka 2 Domácí úlohy z minulého týdne 3 Návodné úlohy Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Vyšetřete průběh funkce x2 - 7x + 12 x - 2 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Vyšetřete průběh funkce x2 - 7x + 12 x - 2 Řešení. Def. obor R \ {2}, nulové body 3, 4, lok. maximum v bodě 2 - 2, lok. minimum v bodě 2 + 2. Na intervalu (-, 2 - sqrt2) rostoucí, na (- 2, 2) klesající, na (2, 2 + 2) klesající, na (2 + 2, ) rostoucí. Na intervalu (-, 2) konkávní, na (2, ) konvexní. Asymptota bez směrnice x = 2, asymptota se směrnicí y = x - 5. 2 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Rozviňte do mocninné řady funkci sin2 (x) v bodě /4 a určete pro která x R tato řada konverguje. Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Rozviňte do mocninné řady funkci sin2 (x) v bodě /4 a určete pro která x R tato řada konverguje. Řešení. f (x) = 1/2 + i=0 (-1)i 22i (2i + 1)! x - 4 2i+1 Řada konverguje pro všechna x R. 2 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Určete parametr a R tak, aby 1 0 f (x), kde f (x) = a2x + a 1 - x2 + 1 nabýval své extremální hodnoty. Určete o jaký extrém se jedná. Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Určete parametr a R tak, aby 1 0 f (x), kde f (x) = a2x + a 1 - x2 + 1 nabýval své extremální hodnoty. Určete o jaký extrém se jedná. Řešení. a = -/4 2 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Vyšetřete průběh funkce x2 - 7x + 10 x - 3 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Vyšetřete průběh funkce x2 - 7x + 10 x - 3 Řešení. Def. obor R \ {3}, nulové body x = 2, x = 5. Nemá extrémy, na int. (-, 3) konvexní, na (3, ) konkávní, asymptota bez směrnice x = 3, se směrnicí y = x - 4. 2 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Rozviňte do mocninné řady funkci cos2(x) v bodě /4 a určete pro která x R tato řada konverguje. Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Rozviňte do mocninné řady funkci cos2(x) v bodě /4 a určete pro která x R tato řada konverguje. Řešení. f (x) = 1/2 + i=0 (-1)i+122i (2i + 1)! x - 4 2i+1 . Řada konverguje pro všechna x R. 2 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Určete parametr a R tak, aby /4 0 f (x) dx, kde f (x) = a2x + ax2 sin(x) + 1 nabýval své extremální hodnoty. Určete o jaký extrém se jedná. Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Určete parametr a R tak, aby /4 0 f (x) dx, kde f (x) = a2x + ax2 sin(x) + 1 nabýval své extremální hodnoty. Určete o jaký extrém se jedná. Řešení. a = ( 2 2 - 4 2 - (16 2+32) 2 . 2 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Písemka 2 Domácí úlohy z minulého týdne 3 Návodné úlohy Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Rozviňte do mocninné řady funkci f (x) = e-3x v bodě 0 a určete, pro která x R konverguje. Rozhodněte, zda je tato konvergence stejnoměrná. Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Rozviňte do mocninné řady funkci f (x) = e-3x v bodě 0 a určete, pro která x R konverguje. Rozhodněte, zda je tato konvergence stejnoměrná. Řešení. f (x) = 1 + n=1(-1)n 3n n! xn Podílovým kriteriem konverguje pro všechna x R. 2 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Udejte příklad posloupnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu, která bodově konverguje ke spojité funkci na tomto intervalu a přitom tato konvergence není stejnoměrná. Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Udejte příklad posloupnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu, která bodově konverguje ke spojité funkci na tomto intervalu a přitom tato konvergence není stejnoměrná. Řešení. fn = nx pro x 0, 1 n -nx + 2 pro x 1 n , 2 n 0 jinak 2 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Určete následující limitu (postup výpočtu zdůvodněte): lim n 0 cos x n 1 + x n n dx. Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Určete následující limitu (postup výpočtu zdůvodněte): lim n 0 cos x n 1 + x n n dx. Řešení. 0 1 ex = 1. 2 Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Písemka 2 Domácí úlohy z minulého týdne 3 Návodné úlohy Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Najděte ortonormální bázi vektorového prostoru generovaného funkcemi sin(x), cos(x) na intervalu 0, /2 . Písemka Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete kolmý průmět a vzdálenost funkce x od tohoto podprostoru.