Jméno a příjmení:
Příklad číslo: 1 2 3 4
Počet bodů:
Skupina A
Příklad 1. V prostoru reálných funkcí na intervalu 0,  , je dán vektorový podprostor sin(x), x . Doplňte
funkci x na jeho ortogonální bázi a určete projekci funkce 1
2 sin(x) na tento podprostor (ve skalárním součinu
uvažovaném na přednášce).
Řešení. x, - 3
2 x + sin(x), projekce funkci 1
2 sin(x) nezmění, neboť leží v prostoru samotném. 2
Příklad 2. Určete konvoluci f1  f2 funkcí
f1 =
1 - x2
pro x  -1, 1
0 jinak
f2 =
x pro x  0, 1
0 jinak
Řešení.
f1  f2(t) =



R t+2
0
(1 + t - x)x2
dx =
R t
-2
(1 - x)(t - x)2
dx = - 1
12
t4
+ 1
3
t3
+ 4t2
+ 28
3
t + 20
3
pro t  -2, -1
R 1
0
(1 + t - x)x2
dx =
R t
t-1
(1 - x)(t - x)2
dx = - t
3
+ 7
12
pro t  -1, 1
R 1
t-1
(1 + t - x)x2
dx =
R 1
t-1
(1 - x)(t - x)2
dx = 1
12
t4
- 1
3
t3
+ 1
2
t2
- 2
3
t + 2
3
pro t  1, 2
0 jinak
2
Příklad 3. Rozviňte do Furierovy řady funkci sin2
(x) na intervalu -,  .
Řešení. 1
2 - 1
2 cos(2x). 2
Příklad 4. Určete vzdálenost bodu [3, -1]  R2
od paraboly y = x2
- x + 1.
Řešení. Nejbližší bod [1, 1], vzdálenost 2

2. 2
1