Jméno a příjmení:
Příklad číslo: 1 2 3 4
Počet bodů:
Skupina B
Příklad V prostoru reálných funkcí na intervalu 0,  , je dán vektorový podprostor cos(x), x . Doplňte
funkci cos(x) na jeho ortogonální bázi a určete projekci funkce 1
3 cos(x) na tento podprostor (ve skalárním
součinu uvažovaném na přednášce).
Řešení. cos(x), 4
 cos(x) + x. Projekce funkci 1
3 cos(x) nezmění, neboť leží v prostoru samotném. 2
Příklad 2. Určete konvoluci f1  f2 funkcí
f1 =
1 - x pro x  -2, 1
0 jinak
f2 =
x2
pro x  0, 1
0 jinak
Řešení.
f1  f2(t) =



R t+1
0
(1 - (t - x)2
)x dx =
R t
-1
(1 - x2
)(t - x) dx = - 1
12
t4
+ 1
2
t2
- 2
3
t + 1
4
pro t  -1, 0
R 1
0
(1 - (t - x)2
)x dx =
R t
t-1
(1 - x2
)(t - x) dx = -1
2
t2
+ 2
3
t + 1
4
pro t  0, 1
R 1
t-1
(1 - (t - x)2
)x dx =
R 1
t-1
(1 - x2
)(t - x) dx = 1
12
t4
- t2
+ 4
3
t pro t  1, 2
0 jinak
2
Příklad 3. Rozviňte do Furierovy řady funkci cos2
(x) na intervalu -,  .
Řešení. 1
2 + 1
2 cos(2x). 2
Příklad 4. Určete vzdálenost bodu [-4, -2]  R2
od paraboly y = x2
+ x + 1.
Řešení. Nejbližší bod [-1, 1], vzdálenost 3

2. 2
1