Sada domácích úloh k přednášce Matematika II
k odevzdání v týdnu 19. ­ 26. května 2008
Příklad 1. Rozhodněte, zda existují parametry a, b  R tak, aby polynom
ax2
+ a2
x + b
splňoval podmínky
P(1) = 1, P(2) = -1, P(3) = 1.
Příklad 2. Určete limity posloupností:
1.
lim
n

ln n,
2.
lim
n
n2
n!.
Příklad bf 3. Určete limity funkcí:
1.
lim
x0
1 + 21/x
3 + 21/x
,
2.
lim
x0
1 + 21/x
3 + 21/x
.
3.
lim
x
e

x2-x
Příklad bf 4. Z definice (bez použití ĽHospitalova pravidla) určete určete derivaci
funkce 4

2x - 1.
Příklad bf 5. Určete vzdálenost bodu (1, 0) od paraboly y = x2
- x + 1.
Příklad bf 6. Určete maximální objem válce vepsaného do rotačního kužele o
poloměru podstavy r a výšce h.
Příklad bf 7. Určete integrály
1.
(9 + x2
)
3
2 ,
2.
sin4
(x) dx
1
3.
1

1 - x
dx
4. 
9 - 4x2
x
dx
5.
x arcsin(x) dx
6.
x2
+ x - 1
(x2 + 1)2
dx
7.
1
3 - 2 cos(x)
dx
Příklad bf 8. Vyčíslete integrály
1.
1
0
ln(x2
+ 1) dx
2.
3
1
ln x + x2 - 1 dx
3. 
2
dx
x ln2
(x)
4. 
-
dx
1 + 4x2
Příklad bf 9. Rozhodněte, zda konvergují následující řady
1.

n
n
22n
2.

n
n
3
4
n
Příklad bf 10. Rozviňte do mocninné řady funkci arctan(x) v bodě 0 a určete
pro která x  R konverguje.
Příklad bf 11. Určete objem tělesa vzniklého rotací paraboly y = 2x2
+1 kolem
osy x pro x  1, 3 .
Příklad 12. Vyšetřete průběh funkce ln x2
-1
x-2 .
2