Příklady na cvičení k přednášce Matematika II
k odevzdání v týdnu 25. - 29. února 2008
Příklad 1. Určete hromadné, izolované, hraniční a vnitřní body následujících podmnožin v R:
1 U - - - i
l ' 2 ' 3 ' 4' ' ' ' J
2. Q
3. {x G R | 0 < X 3
< 1}.
Svá tvrzení zdůvodněte.
Příklad 2. Udejte příklad
1. podmnožiny v R, Jcíerá ueui aui otervřená ani uzavřená,
2. podmnožiny v R, která je uzavřená, ale není kompaktní,
3. nekonečně mnoha uzavřených podmnožin R jejíchž sjednocením je otevřená množina,
4. nekonečně mnoha otevřených podmnožin R jejíchž průnikem je uzavřená množina.
Příklad 3. Bud f : R --> R definována následovně:
,, . _ í x3
-- x2
-- x + 1 jestliže x G Q
* ^ =
\ 0 jestližex^Q
Určete, ve kterých bodech je f spojitá. Zdůvodněte.