Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Drsná matematika II ­ 7. přednáška
Vlastnosti diferencovatelných funkcí, II.
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
7. 4. 2008
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Analytické a hladké funkce
3 Popis lokálního chování funkcí
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Plán přednášky
1 Literatura
2 Analytické a hladké funkce
3 Popis lokálního chování funkcí
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Kde je dobré číst?
vlastní poznámky, texty současného nebo předcházejícího
přednášejícího, GOOGLE, atd.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Kde je dobré číst?
vlastní poznámky, texty současného nebo předcházejícího
přednášejícího, GOOGLE, atd.
Zuzana Došlá, Jaromír Kuben, Diferenciální počet funkcí
jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2.
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Plán přednášky
1 Literatura
2 Analytické a hladké funkce
3 Popis lokálního chování funkcí
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Theorem (Taylorova věta)
Nechť je f (x) funkce k­krát diferencovatelná na intervalu (a, b) a
spojitá na [a, b]. Pak pro každé x  (a, b) existuje číslo c  (a, x)
takové, že
f (x) = f (a) + f (a)(x - a) +    +
1
(k - 1)!
f (k-1)
(a)(x - a)k-1
+
1
k!
f (k)
(c)(x - a)k
= Tk-1f (x) +
1
k!
f (k)
(c)(x - a)k
.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Je-li f v bodě a hladká, pak můžeme napsat formálně mocninnou
řadu
S(x) =

n=0
1
k!
f (k)
(a)(x - a)n
.
Taylorova věta nám říká, že pokud tato mocninná řada má
nenulový poloměr konvergence, pak je S(x) = f (x) na příslušném
intervalu. Takovým funkcím říkáme analytické funkce v bodě a.
Funkce je analytická na intervalu, je-li analytická v každém jeho
bodě.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Je-li f v bodě a hladká, pak můžeme napsat formálně mocninnou
řadu
S(x) =

n=0
1
k!
f (k)
(a)(x - a)n
.
Taylorova věta nám říká, že pokud tato mocninná řada má
nenulový poloměr konvergence, pak je S(x) = f (x) na příslušném
intervalu. Takovým funkcím říkáme analytické funkce v bodě a.
Funkce je analytická na intervalu, je-li analytická v každém jeho
bodě.
Ne všechny hladké funkce jsou ale analytické. Ve skutečnosti lze
dokázat, že pro každou posloupnost čísel an umíme najít hladkou
funkci, jejiž derivace řádů k budou tato čísla ak.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Abychom si alespoň představili podstatu problému, ukážeme si
funkci, která má v nule všechny derivace nulové, je však všude
kromě tohoto bodu nenulová:
f (x) = e-1/x2
.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Abychom si alespoň představili podstatu problému, ukážeme si
funkci, která má v nule všechny derivace nulové, je však všude
kromě tohoto bodu nenulová:
f (x) = e-1/x2
.
Je dobře definovaná hladká funkce pro všechny body x = 0.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Abychom si alespoň představili podstatu problému, ukážeme si
funkci, která má v nule všechny derivace nulové, je však všude
kromě tohoto bodu nenulová:
f (x) = e-1/x2
.
Je dobře definovaná hladká funkce pro všechny body x = 0.
Derivací dostaneme f (x) = f (x)  2x-3 a iterovanou derivací
dostaneme součet konečně mnoha členů tvaru C  f (x)  x-k, kde
C je nějaké celé číslo a k je přirozené číslo. Pro takové výrazy lze
opakovanou aplikací ĽHospitalova pravidla zjistit, že jdou limitně k
nule, při x jdoucím k nule. Dodefinujeme-li tedy hodnoty všech
derivací naší funkce v nule rovnicí
f (k)
= 0,
získáme hladkou funkci na celém R. Je vidět, že skutečně jde o
nenulovou funkci všude mimo x = 0, všechny její derivace v tomto
bodě jsou ale nulové. Samozřejmě to tedy není analytická funkce v
bodě x0 = 0.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Snadno teď můžeme naši funkci modifikovat takto:
g(x) =
0 je-li x  0
e-1/x2
je-li x > 0
.
Opět jde o hladkou funkci na celém R. Další úpravou můžeme
získat funkci nenulovou ve všech vnitřních bodech intervalu [-a, a],
a > 0 a nulovou jinde:
h(x) =
0 je-li |x|  a
e
1
x2-a2 + 1
a2
je-li |x| < a.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Tyto funkce je hladké na celém R. Poslední dvě funkce jsou na
obrázcích, vpravo je použit parametr a = 1.
0,8
0,6
0,4
0,2
x
0
43210 0-0,2-0,4
1
x
0,8
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Nakonec ještě ukážeme, jak lze dostat hladké analogie
Heavisideových funkcí. Pro dvě pevně zvolená reálná čísla a < b
definujeme funkci f (x) s použitím výše definované funkce g takto:
f (x) =
g(x - a)
g(x - a) + g(b - x)
.
Zjevně je pro každé x  R jmenovatel zlomku kladný (pro každý z
intervalů určených čísly a a b je totiž alespoň jeden ze sčítanců
jmenovatele nenulový a tedy je celý jmenovatel kladný).
Dostáváme z našeho definičního vztahu proto hladkou funkci f (x)
na celém R. Při x  a je přitom jmenovatel zlomku přímo dle
definice funkce g nulový, při x  b je čitatel i jmenovatel stejný.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Na dalších dvou obrázcích jsou právě funkce f (x) a to s parametry
a = 1 - , b = 1 + , kde nalevo je  = 0.8 a napravo  = 0.4.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
x
21,510,50
alpha=.8
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
x
21,510,50
alpha=.40000
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Plán přednášky
1 Literatura
2 Analytické a hladké funkce
3 Popis lokálního chování funkcí
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Už jsme se setkali s významem druhé derivace při popisu kritických
bodů. Teď zobecníme diskusi kritických bodů pro všechny řády.
Budeme v dalším uvažovat funkce s dostatečným počtem spojitých
derivací, aniž bychom tento předpoklad přímo uváděli.
Řekneme, že bod a v definičním oboru funkce f je kritický bod
řádu k, jestliže platí
f (a) =    = f (k)
(a) = 0, f (k+1)
(a) = 0.
Předpokládejme, že f (k+1)(a) > 0. Pak je tato spojitá derivace
kladná i na jistém okolí O(a) bodu a.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Taylorův rozvoj se zbytkem nám v takovém případě dává pro
všechna x z O(a)
f (x) = f (a) +
1
(k + 1)!
f (k+1)
(c)(x - a)k+1
.
Je proto změna hodnot f (x) v okolí bodu a dána chováním funkce
(x - a)k+1. Je-li přitom k + 1 sudé číslo, jsou nutně hodnoty f (x)
v takovém okolí větší než hodnota f (a) a zjevně je proto bod a
bodem lokálního minima.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Pokud je ale k sudé číslo, pak jsou hodnoty vlevo menší a vpravo
větší než než f (a), extrém tedy ani lokálně nenastává. Zato si
můžeme všimnout, že graf funkce f (x) protíná svoji tečnu
y = f (a) bodem [a, f (a)].
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Pokud je ale k sudé číslo, pak jsou hodnoty vlevo menší a vpravo
větší než než f (a), extrém tedy ani lokálně nenastává. Zato si
můžeme všimnout, že graf funkce f (x) protíná svoji tečnu
y = f (a) bodem [a, f (a)].
Naopak, je-li f (k+1)(a) < 0, pak ze stejného důvodu jde o lokální
maximum při lichém k a extrém opět nenastává pro k sudé.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Říkáme, že funkce f je v bodě a konkávní v bodě a, jestliže se její
graf nachází v jistém okolí celý pod tečnou v bodě [a, f (a)], tj.
f (x) < f (a) + f (a)(x - a).
Říkáme, že funkce f je konvexní v bodě a, jetliže naopak je její
graf nad tečnou v bodě a, tj.
f (x)  f (a) + f (a)(x - a).
Funkce je konvexní nebo konkávní na intervalu, jestliže má tuto
vlastnost v každém jeho bodě.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Z Taylorova rozvoje druhého řádu se zbytkem dostáváme
f (x) = f (a) + f (a)(x - a) +
1
2
f (c)(x - a)2
.
Proto je zjevně funkce konvexní, kdykoliv je f (a) > 0, a je
konkávní, kdykoliv f (a) < 0. Pokud je druhá derivace nulová,
můžeme použít derivace vyšších řádů.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Z Taylorova rozvoje druhého řádu se zbytkem dostáváme
f (x) = f (a) + f (a)(x - a) +
1
2
f (c)(x - a)2
.
Proto je zjevně funkce konvexní, kdykoliv je f (a) > 0, a je
konkávní, kdykoliv f (a) < 0. Pokud je druhá derivace nulová,
můžeme použít derivace vyšších řádů.
Bod a nazýváme inflexní bod funkce f , jestliže graf funkce f
přechází z jedné strany tečny na druhou.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Napišme si Taylorův rozvoj třetího řádu se zbytkem:
f (x) = f (a) + f (a)(x - a) +
1
2
f (a)(x - a)2
+
1
6
f (c)(x - a)3
.
Je-li a nulový bod druhé derivace takový, že f (a) = 0, pak je třetí
derivace nenulová i na nějakém okolí a jde proto zjevně o inflexní
bod. Znaménko třetí derivace nám v takovém případě určuje, zda
graf funkce přechází tečnu zdola nahoru nebo naopak.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Poslední dobrou pomůckou pro náčrtek grafu funkce je zjištění
asymptot, tj. přímek, ke kterým se blíží hodnoty funkce f .
Asyptotou v nevlastním bodě  je proto taková přímka
y = ax + b, pro kterou je
lim
x
(f (x) - ax - b) = 0.
Pokud asymptota existuje, platí
lim
x
(f (x) - ax) = b
a tedy existuje i limita
lim
x
f (x)
x
= a.
Pokud ovšem existují poslední dvě limity, existuje i limita z definice
asymptoty, jde proto i o podmínky dostatečné. Obdobně se
definuje a počítá asymptota i v nevlastním bodě -.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Tímto způsobem dohledáme všechny potenciální přímky splňující
vlastnosti asymptot s konečnou reálnou směrnicí. Zbývají nám
případné přímky kolmé na osu x: Asymptoty v bodech a  R jsou
přímky x = a takové, že funkce f má v bodě a alespoň jednu
nekonečnou jednostrannou limitu.
Např. racionální funkce lomené mají v nulových bodech
jmenovatele, které nejsou nulovými body čitatele, asymptotu.
Literatura Analytické a hladké funkce Popis lokálního chování funkcí
Spočtěme aspoň jeden jednoduchý příklad: Funkce f (x) = x + 1
x
má za asymptoty přímky y = x a x = 0 (ověřte podrobně!).
Derivací obdržíme
f (x) = 1 - x-2
, f (x) = 2x-3
.
Funkce f (x) má dva nulové body 1. V bodě x = 1 má funkce
lokální minimum, v bodě x = -1 lokální maximum. Druhá derivace
nemá nulové body v celém definičním oboru (-, 0)  (0, ), f
tedy nemá žádný inflexní bod.
-4
0-2-4
y
x
4
4
2
0
2
-2