Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy MB104 ­ 2. demonstrovaná cvičení Algebraické struktury Masarykova univerzita Fakulta informatiky 26.2. 2007 Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Řešení domácích úloh z minulého týdne 2 Návodné úlohy Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1Rozhodněte o následujících množinách a operacích, jaké tvoří struktury (grupoid, pologrupa, zda existují levé (pravé) neutrální prvky, grupa): 1 podmnožiny množiny přirozených čísel spolu s operací sjednocení 2 přirozená čísla spolu s binární operací největší společný dělitel 3 přirozená čísla spolu s binární operací nejmenší společný násobek 4 množina všech invertibilních matic 2 × 2 nad R spolu se sčítáním 5 množina všech matic 2 × 2 nad R spolu s násobením matic 6 množina všech matic 2 × 2 spolu s odčítáním matic 7 množina všech invertibilních matic 2 × 2 nad Z2 s násobením matic 8 množina Z6 spolu s násobením (modulo 6) 9 množina Z7 spolu s násobením (modulo 7) Svá tvrzení zdůvodněte (proč je něco např. pouze grupoid a není pologrupa . . . ). U třetího příkladu od konce sestavte tabulku dané Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. 1 monoid 2 pologrupa (bez neutrálního prvku) 3 monoid (číslo 1 je neutrálním prvkem) 4 není ani grupoid (uvážíme A + (-A) pro nějakou invertibilní matici A) 5 monoid 6 grupoid (není asociativní) 7 grupa 8 pologrupa 9 pologrupa 2 Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy V příkladě 7 má grupa následující prvky: A = 1 0 0 1 , B = 0 1 1 0 , C = 1 1 0 1 , D = 1 1 1 0 , E = 0 1 1 1 , F = 1 0 1 1 . Potom tabulka operace násobení matic vypadá následovně: A B C D E F A A B C D E F B B A E F C D C C D A B F E D D C F E A B E E F B A D C F F E D C B A Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Určete grupu symetrií krychle (popište všechny symetrie). Je tato grupa komutativní? Pokuste se sestavit alespoň část tabulky operace skládání symetrií. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Určete grupu symetrií krychle (popište všechny symetrie). Je tato grupa komutativní? Pokuste se sestavit alespoň část tabulky operace skládání symetrií. Řešení. Grupa má 48 prvků, z nichž 24 jsou generovány pouze rotacemi. 2 Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Rozložte na součin transpozic následující permutaci: = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 6 7 1 2 3 4 5 Spočtěte 336. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Rozložte na součin transpozic následující permutaci: = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 6 7 1 2 3 4 5 Spočtěte 336. Řešení. = (1, 5, 9)(2, 8, 4, 7, 3, 6) = (1, 5) (5, 9) (2, 8) (8, 4) (4, 7) (7, 3) (3, 6). 336 = Id 2 Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Řešení domácích úloh z minulého týdne 2 Návodné úlohy Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Doplňte následujcí tabulku operace na množině {a, b, c} tak, aby se jednalo o pologrupu. a b c a b a c b c Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy V libovolné grupě platí tzv. zákony o krácení: ab = ac b = c, ba = ca b = c Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy V libovolné grupě platí tzv. zákony o krácení: ab = ac b = c, ba = ca b = c Doplňte následujcí tabulku operace na množině {a, b, c} tak, aby se jednalo o grupu. a b c a b a c a Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Určete počet všech trojprvkových grupoidů (až na isomorfismus, tj. přejmenování prvků) Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Určete počet všech trojprvkových grupoidů (až na isomorfismus, tj. přejmenování prvků) Určete počet všech trojprvkových grup (až na isomorfismus, tj. přejmenování prvků) Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Nalezněte inverzi prvku 13 v Z+ 171 = Z171 - {[[0]]}. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Nalezněte inverzi prvku 13 v Z+ 171 = Z171 - {[[0]]}. Bezoutova věta Pro libovolné a, b Z existují u, v Z taková, že ua + bv = (a, b), kde (a, b) značí největšího společného dělitele čísel a a b. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Nalezněte inverzi prvku 13 v Z+ 171 = Z171 - {[[0]]}. Bezoutova věta Pro libovolné a, b Z existují u, v Z taková, že ua + bv = (a, b), kde (a, b) značí největšího společného dělitele čísel a a b. Tato čísla nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Eulerova funkce Pro dané přirozené číslo n udává počet čísel menších než n.