Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
MB104 ­ 3. demonstrovaná cvičení
Okruhy a tělesa
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
12.3. 2007
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
1 Řešení domácích úloh z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Určete všechny podgrupy grupy invertibilních
čtvercových matic nad Z2 (vzhledem k násobení matic), viz Sada
1. Je tato grupa isomorfní grupě S3? Zdůvodněte (buď najděte
isomorfismus, nebo udejte důvod, proč neexistuje).
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Určete všechny podgrupy grupy invertibilních
čtvercových matic nad Z2 (vzhledem k násobení matic), viz Sada
1. Je tato grupa isomorfní grupě S3? Zdůvodněte (buď najděte
isomorfismus, nebo udejte důvod, proč neexistuje).
Řešení. Grupy jsou isomorfní, transposice odpovídají prvkům řádu
2. Podgrupy pak odpovídají podgrupám S3 2
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
4 není zobrazení
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
4 není zobrazení
5 f : (Z
14, )  (Z
7, ), f ([a]Z
14
) = [a]Z
7
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
4 není zobrazení
5 f : (Z
14, )  (Z
7, ), f ([a]Z
14
) = [a]Z
7
6 je isomorfismus
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
4 není zobrazení
5 f : (Z
14, )  (Z
7, ), f ([a]Z
14
) = [a]Z
7
6 je isomorfismus
7 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [3a]Z
15
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
4 není zobrazení
5 f : (Z
14, )  (Z
7, ), f ([a]Z
14
) = [a]Z
7
6 je isomorfismus
7 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [3a]Z
15
8 není zobrazení
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
4 není zobrazení
5 f : (Z
14, )  (Z
7, ), f ([a]Z
14
) = [a]Z
7
6 je isomorfismus
7 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [3a]Z
15
8 není zobrazení
9 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [4a]Z
15
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
4 není zobrazení
5 f : (Z
14, )  (Z
7, ), f ([a]Z
14
) = [a]Z
7
6 je isomorfismus
7 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [3a]Z
15
8 není zobrazení
9 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [4a]Z
15
10 je bijekce, není isomorfismus
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
4 není zobrazení
5 f : (Z
14, )  (Z
7, ), f ([a]Z
14
) = [a]Z
7
6 je isomorfismus
7 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [3a]Z
15
8 není zobrazení
9 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [4a]Z
15
10 je bijekce, není isomorfismus
11 f : (Z
k, )  (Z
k, ), f ([a]Z
k
) = [l  a]Z
k
, k, l  N, k, l > 1
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
4 není zobrazení
5 f : (Z
14, )  (Z
7, ), f ([a]Z
14
) = [a]Z
7
6 je isomorfismus
7 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [3a]Z
15
8 není zobrazení
9 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [4a]Z
15
10 je bijekce, není isomorfismus
11 f : (Z
k, )  (Z
k, ), f ([a]Z
k
) = [l  a]Z
k
, k, l  N, k, l > 1
12 je bijekce pro (k, l) = 1 (pro l  1 mod k), jinak není
zobrazení
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
4 není zobrazení
5 f : (Z
14, )  (Z
7, ), f ([a]Z
14
) = [a]Z
7
6 je isomorfismus
7 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [3a]Z
15
8 není zobrazení
9 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [4a]Z
15
10 je bijekce, není isomorfismus
11 f : (Z
k, )  (Z
k, ), f ([a]Z
k
) = [l  a]Z
k
, k, l  N, k, l > 1
12 je bijekce pro (k, l) = 1 (pro l  1 mod k), jinak není
zobrazení
13 f : Sk  Sk, f () = 2
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících
předpisech, zda jsou zobrazeními, případně homomorfismy či
isomorfismy grup:
1 f : (Z7, +)  (Z8, +), f ([a]Z7 ) = [a]Z8
2 není zobrazení
3 f : (Z
7, )  (Z
14, ), f ([a]Z
7
) = [a]Z
14
4 není zobrazení
5 f : (Z
14, )  (Z
7, ), f ([a]Z
14
) = [a]Z
7
6 je isomorfismus
7 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [3a]Z
15
8 není zobrazení
9 f : (Z
15, )  (Z
15, ), f ([a]Z
15
) = [4a]Z
15
10 je bijekce, není isomorfismus
11 f : (Z
k, )  (Z
k, ), f ([a]Z
k
) = [l  a]Z
k
, k, l  N, k, l > 1
12 je bijekce pro (k, l) = 1 (pro l  1 mod k), jinak není
zobrazení
13 f : Sk  Sk, f () = 2
14 je zobrazení, je homomorfismem pouze pro k = 2
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Ukažte, že pro libovolný cyklus  v Sn je -1 opět
cyklus (pro libovolné   Sn). Rozhodněte, zda jsou podgrupy
generované
cyklem (1, 2, 3) v S3,
cyklem (1, 2, 3, 4) v S4
cyklem (1, 2, 3) v A4
normální. V posledním případě určete pravé třídy rozkladu A4
podle uvažované podgrupy. Určete, kdy je podmnožina všech cyklů
délky n podgrupou grupy Sn. Ukažte, že se pak jedná o normální
podgrupu.
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení.
Jde o normální podgrupu A3.
Není to normální podgrupa (
(1, 2)(1, 3)(2, 4)(1, 2) = (4, 1)(2, 3) ).
Podgrupa není normální. Pravé třídy rozkladu jsou pak
{(124), (243), (13)(24)}, {(142), (143), (14)(23)},
{(234), (12)(34), (134)}, {Id, (123), (132)}.
Podmnožina je podgrupou pouze pro n = 3. Potom jde o
podgrupu sudých permutací v S3. (pro jiná n snadno najdeme dva
cykly délky n jejichž složením není cyklus délky n). 2
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
1 Řešení domácích úloh z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Eulerova funkce  : N  N
Udává počet čísel nepřevyšujících n s číslem n nesoudělných. Je-li
n = s
i=1 pi
i rozklad přirozeného čísla n na prvočísla, pak
(n) =
s
i=1
(pi
i - p
i-1
i )
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Eulerova funkce  : N  N
Udává počet čísel nepřevyšujících n s číslem n nesoudělných. Je-li
n = s
i=1 pi
i rozklad přirozeného čísla n na prvočísla, pak
(n) =
s
i=1
(pi
i - p
i-1
i )
Eulerova věta. Pro nesoudělná (a, m) platí
a(m)
 1 (mod m)
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Nalezněte největšího společného dělitele polynomů
x9 + x8 + x7 + x6 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 a
x3 + 2x2 + 2x + 2 nad Z11
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
V oboru komplexních čísel nalezněte kořeny polynomu
1 x3 + 2x2 - 4x - 8,
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
V oboru komplexních čísel nalezněte kořeny polynomu
1 x3 + 2x2 - 4x - 8,
2 4x4 + 3x3 + 5x2 + 2x + 1.
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Eisensteinovo kriterium ireducibility.
Udává, kdy je polynom nad okruhem Z nerozložitelný nad Q (což
je stejné, jako nerozložitelnost nad Z):
Buď
f (x) = anxn
+ an-1xn-1
+    + a1x + a0
polynom nad Z a dále nechť existuje prvočíslo p tak, že
p dělí aj , j = 0 . . . n - 1,
p nedělí an,
p2 nedělí a0,
pak je f (x) nerozložitelný nad Z (Q)
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Rozložte polynom
x4
+ 2x2
+ 2
na ireducibilní faktory nad
Q
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Rozložte polynom
x4
+ 2x2
+ 2
na ireducibilní faktory nad
Q
R
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Rozložte polynom
x4
+ 2x2
+ 2
na ireducibilní faktory nad
Q
R
C
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Rozložte polynom
x4
+ 2x2
+ 2
na ireducibilní faktory nad
Q
R
C
Z5
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Rozložte polynom
x4
+ 2x2
+ 2
na ireducibilní faktory nad
Q
R
C
Z5
Z3.
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Nalezněte všechny ireducibilní mnohočleny stupně menšího než pět
nad Z2.