Druhá sada domácích úloh, Matematika IV, jarní semestr 2007
k odevzdání v týdnu 5.-9.března 2007
Příklad 1. Určete všechny podgrupy grupy invertibilních čtvercových matic
nad Z2 (vzhledem k násobení matic), viz Sada 1. Je tato grupa isomorfní grupě
S3? Zdůvodněte (buď najděte isomorfismus, nebo udejte důvod, proč neexis-
tuje).
Příklad 2. Rozhodněte (se zdůvodněním) o následujících předpisech, zda jsou
zobrazeními, případně homomorfismy či isomorfismy grup:
1. f : (Z7, +)  (Z8, +), f([a]Z7 ) = [a]Z8
2. f : (Z
7, )  (Z
14, ), f([a]Z
7
) = [a]Z
14
3. f : (Z
14, )  (Z
7, ), f([a]Z
14
) = [a]Z
7
4. f : (Z
15, )  (Z
15, ), f([a]Z
15
) = [3a]Z
15
5. f : (Z
15, )  (Z
15, ), f([a]Z
15
) = [4a]Z
15
6. f : (Z
k, )  (Z
k, ), f([a]Z
k
) = [l  a]Z
k
, k, l  N, k, l > 1
7. f : Sk  Sk, f() = 2
Příklad 3. Rozhodněte, zda jsou podgrupy generované
* cyklem (1, 2, 3) v S3,
* cyklem (1, 2, 3, 4) v S4
* cyklem (1, 2, 3) v A4
normální. V posledním případě určete pravé třídy rozkladu A4 podle uvažované
podgrupy. Určete, kdy je podmnožina všech cyklů délky n spolu s identickou
permutací podgrupou grupy Sn. Ukažte, že se pak jedná o normální podgrupu.
1