MB104 Matematika IV - 2. demonstrované
cvičení
Jan Herman
27. února 2008
BB
■4~) <\(y
Q Krátké opakování 0 Podgrupy Homomorfismy
ra
□           r5"
■o ^o*
Krátké opakování Podgrupy
už byste měli umět
• grupa - asociativita, neutrální prvek, inverzní prvky

•  grupa - asociativita, neutrální prvek, inverzní prvky
•  podgrupa - podmnožina, která je sama grupou
_^    >f) <\(y
•  grupa - asociativita, neutrální prvek, inverzní prvky
•  podgrupa - podmnožina, která je sama grupou
•  homomorfismus
« zobrazení zachovávající operaci
• f:(G,-)^(H,o);f(a-b) = f(á)of(b)
_^    >f) <\(y
•  grupa - asociativita, neutrální prvek, inverzní prvky
•  podgrupa - podmnožina, která je sama grupou
•  homomorfismus
•  zobrazení zachovávající operaci
•  f:(G,-)^(H,o);f(a-b) = f(á)of(b)
•  permutace
•  bijekce (konečné) množiny na sebe
•  rozklad na nezávislé cykly
•  parita
ledrální grupa řádu 8 - symetrie čtverce
Example
Popište grupu symetrií čtverce a určete všechny její podgrupy.
mn
■o ^o*
ledrální grupa řádu 8 - symetrie čtverce
Example
Popište grupu symetrií čtverce a určete všechny její podgrupy.
Remark
Tato grupa se nazývá dihedrální grupa řádu 8 a značí se D8. Obdobně grupa symetrií pravidelného n-úhelníka se nazývá dihedrální grupa řádu 2/7 a značí se D2n.
□           r5"
■O °\Q*
Podgrupy generované množinou
Theorem
Průnik libovolného systému podgrup grupy G je opět podgrupa I
9.___________                        J
mn
■o ^o*
Podgrupy generované množinou
Theorem
Průnik libovolného systému podgrup grupy G je opět podgrupa G.
J
Uzavřenost, přítomnost neutrálního i inverzních prvků plyne z vlastností průniku.
mn
■o ^o*
Podgrupy generované množinou
Theorem
Průnik libovolného systému podgrup grupy G je opět podgrupa I
2:_____________________________I
Uzavřenost, přítomnost neutrálního i inverzních prvků plyne z vlastností průniku.
Definition
Nechť (G, •) je grupa a M c G. Nejmenší (vzhledem k inkluzi) podgrupu G, která obsahuje M, nazýváme podgrupa generovaná množinou M. Značíme (M).
a
"O °\Q*
Podgrupy generované množinou
Theorem
(M) = [a^ ■ a2- ...■ a„|V/: (a-, e M v ar1 e M
.2.1) >(4,6                          3.2,1)o(
BB
•O Q^O*
Podgrupy generované množinou
Theorem
(M) = [a^ ■ a2- ...■ a„|V/: (a-, e M v a) 1 g M
					
Určete podgrupu S8 generovanou množinou					
M={(1,8,2,3,5)o(1	,2,6, 7,8), (4,	7,6,2)o	(2,4	,8)},	
respektive N =					
{(4,5,2,1)o(4,6,3,1	5,2), (4,5,2,	1)o (4,5	6)0	(2,1	3)}-
□           r5"
■o ^o*
Podgrupy generované množinou
Example                                                                                    '					
Určete podgrupu (GLt			1(2*2), •) (grupy regulárních matic 2x2 nad		
Z2) generovanoi		j množinou M =		-\(ô	) >, respektive
-{(:	o)	O ■■-	:)}■		

ra
□       S1
■o ^o*
Podgrupy generované množinou
Example                                                                                    '					
Určete podgrupu (GLe			>(Z2), •) (grupy regulárních matic 2x2 nad		
Z2) generovanoi		j množinou M =		nu	) >, respektive
HO	o)	O   -i-	Di-		
' Example			
Určete podgrupu (C,	•) generovanou prvkem	£♦	V2. T'-
■4~) <\(y
Homomorfisi
Example
Dokažte, že (%$, •) je izomorfní s (Z6, +) a (Z*, •) s (Z2 x Z2, +).
homomorfismus/                       -7,o).
mn
■o ^o*
•
Homomorfism
Example
Dokažte, že (Z^, •) je izomorfní s (Z6, +) a (Z*, •) s (Z2 x Z2, +).
Example
Dokažte, že předpis f([a]2o) = (1,2,3,4,5)a definuje
homomorfismus f: (Z2o, +) —>■ (£7, o).
in
□           r5"
•O o^O*
Homomorfisi
Lemma
Nechť f: G —► H je homomorfismus grup. Potom platí:
Va g G : ordH{f{ä))\ordG{ä).
(S3, o).
J          C-'

(z6,+).
H
□       S1
•O Q^O*
Homomorfisi
Lemma
Nechť f: G —► H je homomorfismus grup. Potom platí:
Va g G : ordH{f{ä))\ordG{ä).
Example
Najděte všechny homomorfismy z grupy (Z6, +) do grupy
(S3, o).
/          C-'

(Z6,+).
H
□       S1
•O Q^O*
Homomorfism
Lemma
Nechť f: G —► H je homomorfismus grup. Potom platí:
Va g G : ordH(f{a))\ordG{a).
Example
Najděte všechny homomorfismy z grupy (Z6, +) do grupy (s3>°).
Example
Najděte všechny homomorfismy z grupy (E3, o) do grupy (Ze,+).
□       S1
"O ^O-