m »pH s í iT«n*w*iĚi*w*[*!ii!*M i? M i 11MI ll 1 *I*I« WPWi MB104 Matematika IV - 3. demonstrované cvičení Jan Herman 5. března 2008 □ S - = -E -o<\(y O Krátké opakování Q Homomorfismy • Rest z minula a další příklady Q Rozklady podle podgrup • Příklady • Lagrangeova věta a její důsledky O Normální podgrupy • Definice normální podgrupy • Příklady • Normální podgrupy jako jádra homomorfismu O Faktorgrupy • Definice • Příklady Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Co už byste měli umět • grupa - asociativita, neutrální prvek, inverzní prvky Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Co už byste měli umět • grupa - asociativita, neutrální prvek, inverzní prvky • podgrupa - podmnožina, která je sama grupou Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Co už byste měli umět • grupa - asociativita, neutrální prvek, inverzní prvky • podgrupa - podmnožina, která je sama grupou • homomorfismus <» zobrazení zachovávající operaci • f:(G,-)^(H,oy,f(a-b) = f(a)of(b) 9 jádro - podgrupa, která se zobrazí na neutrální prvek Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Co už byste měli ui • grupa - asociativita, neutrální prvek, inverzní prvky • podgrupa - podmnožina, která je sama grupou • homomorfismus • zobrazení zachovávající operaci • f:(G,-)^(H,oy,f(a-b) = f(a)of(b) 9 jádro - podgrupa, která se zobrazí na neutrální prvek • rozklad grupy podle podgrupy • G/H = {aH\a e G} • aH = bH■& ae bH■& b^ae H Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Co už byste měli ui • grupa - asociativita, neutrální prvek, inverzní prvky • podgrupa - podmnožina, která je sama grupou • homomorfismus • zobrazení zachovávající operaci • f:(G,-)^(H,oy,f(a-b) = f(a)of(b) 9 jádro - podgrupa, která se zobrazí na neutrální prvek • rozklad grupy podle podgrupy • G/H = {aH\a e G} m aH = bH■& ae bH■& b^ae H 9 normální podgrupa » levý rozklad stejný jako pravý • možno faktorizovat • korespondence s jádry homomorfismů Krátké opakování Homomorfismy Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Faktorgrup Homomorfismy Příklad 1 Najděte všechny homomorfismy z grupy (S3, o) do grupy (Z6, +) a pro každý určete jeho jádro. (^■\o, jisie jejicn jaura a ODrazy. □ g - = _^ -OQ.O" Krátké opakovaní noríismy Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Faktorgrup Homomorfismy Příklad 1 Najděte všechny homomorfismy z grupy (S3, o) do grupy (Z6, +) a pro každý určete jeho jádro. Příklad 2 Najděte všechny homomorfismy z grupy (Z, +) do sebe sama (neboli všechny automorfismy (Z, +)) a určete jejich jádra a obrazy. (^■\o, jisie jejicn jaura a ODrazy. □ g - = _^ -OQ.O" Homomorfismy Příklad 1 Najděte všechny homomorfismy z grupy (E3, o) do grupy (Z6, +) a pro každý určete jeho jádro. Příklad 2 Najděte všechny homomorfismy z grupy (Z, +) do sebe sama (neboli všechny automorfismy (Z, +)) a určete jejich jádra a obrazy. Příklad 3 Najděte všechny homomorfismy z grupy (Z, +) do grupy (Z10, +) a popište jejich jádra a obrazy. □ S> - = ny Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Rozklady podle podgrup Příklad 4 Popište levý rozklad grupy (S3, o) podle její podgrupy ((1,2)). □ S - = -e -o<\(y Krátké opakovaní noríismy Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Faktorgrup Rozklady podle podgrup Příklad 4 Popište levý rozklad grupy (S3, o) podle její podgrupy ((1,2)). Příklad 5 Popište levý rozklad grupy (C, +) podle podgrupy (R, +) □ S - = -e -o<\(y Lagrangeova věta a její důsledky Věta (Lagrange) Nechť G je grupa a H její podgrupa. Potom \G\ = \GfH\-\H\. • pro ae G platí ordGa\n • Va g G : an = 1 g • pro p prvočíslo, p\ aeZ platí a?''* = 1 (mod p) • pro m g N, a g Z, (a, m) = 1 platíaľ^ = 1 (mod m) □ rJ Lagrangeova věta a její důsledky Věta (Lagrange) Nechť G je grupa a H její podgrupa. Potom \G\ = \G/H\-\H\. Důsledek * Nechť G je n-prvková konečná grupa, H její podgrupa. 9 \H\ dělí n 9 pro ae G platí ordGa\n 9 Va g G : an = 1G • pro p prvočíslo, p\ aeZ platí ap~ 1 = 1(modp) 9 pro m e N, a e Z, (a, m) = 1 platí á?^ = 1 (mod m) □ rJ Lagrangeova věta a její důsledky Věta (Lagrange) Nechť G je grupa a H její podgrupa. Potom \G\ = \G/H\-\H\. Důsledek * Nechť G je n-prvková konečná grupa, H její podgrupa. 9 \H\ dělí n • pro ae G platí ordGa\n > v a v_ G . a - 1 q 9 pro p prvočíslo, p\ aeZ platí ap~ 1 = 1(modp) 9 pro m g N, a g Z, (a, m) = 1 platí a^"1^ = 1 (mod m) □ rJ - = Lagrangeova věta a její důsledky Věta (Lagrange) Nechť G je grupa a H její podgrupa. Potom \G\ = \G/H\-\H\. Důsledek * Nechť G je r i-prvková konečná grupa, H její podgrupa. 9 \H\ dělí n 9 pro a e G platíordGa\n 9\JaeG :an=^G 9 pro p pi ■lo,p\aeI,platíď- 1 = 1(modp) 9 pro m g N, a e Z, (a, m) = 1 platí a^"1^ = 1 (mod m) □ rJ - Lagrangeova věta a její důsledky Věta (Lagrange) Nechť G je grupa a H její podgrupa. Potom \G\ = \G/H\-\H\. Důsledek * Nechť G je n-prvková konečná grupa, H její podgrupa. 9 \H\ dělí n • pro ae G platí ordGa\n • Va g G : an = 1G • pro p prvočíslo, p\ aeZ platí ap~ 1 = 1(modp) 9 pro m g N, a m) = 1 platia^ □ rJ Lagrangeova věta a její důsledky Věta (Lagrange) Nechť G je grupa a H její podgrupa. Potom \G\ = \G/H\-\H\. Důsledek " Nechť G je n-prvková konečná grupa, H její podgrupa. 9 \H\ dělí n • pro ae G platí ordGa\n • Va g G : an = 1G • pro p prvočíslo, p\ aeZ platí ap~ 1 = 1(modp) • pro m e N, a e Z, (a, m) = 1 platí ař^ = 1 (mod m) □ rJ Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Využití Lagrangeovy věty Příklad 6 Kolik tříd obsahuje levý rozklad grupy (S7, o) podle podgrupy {(1,2) o (3,4,5,6,7))? □ s - = -e -o<\(y Krátké opakovaní noríismy Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Faktorgrup Využití Lagrangeovy věty Příklad 6 Kolik tříd obsahuje levý rozklad grupy (S7, o) podle podgrupy {(1,2) o (3,4,5,6,7)}? Příklad 7 Spočtěte 92008=? (mod 17). □ gi - = -e -o<\(y Definice n Podgrupu H grupy G nazýváme normálni platí-li Va g G : VA? g H : a •A? a"1 g H Značíme H < G. Normální podgrupy Definice Podgrupu H grupy G nazýváme normální, platí-li Va g G : VA? g H : a • h • a"1 g H. Značíme H < G. Poznámka (Ekvivalentní definice normální podgrupy) Podgrupu H grupy G nazýváme normální, splývá-li levý rozklad G podle H s pravým. Jinými slovy: Va g G : aH = Ha. □ gi - = -e -O^O Krátké opakovaní Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Normální podgrupy Příklad 8 Najděte všechny normální podgrupy grupy (E3, o). □ g - = _^ -OQ.O" Normální podgrupy Příklad 8 Najděte všechny normální podgrupy grupy (S3, o). Příklad 9 Dokažte, že pro všechna n e N je A„ normální podgrupa (Ľn, o) (A„ značí množinu (grupu) všech sudých permutací n-prvkové množiny). Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Normální podgrupy Příklad 10 Dokažte, že každá podgrupa komutativní grupy je normální. □ g - = _^ -OQ.O" Normální podgrupy Příklad 10 Dokažte, že každá podgrupa komutativní grupy je normální. Poznámka Opačně to neplatí! Tedy komutativní podgrupa nekomutativní grupy může a nemusí být její normální podgrupou. Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Normální podgrupy jako jádra homomorfismu Jádro homomorfismu f; G ->■ H je normální podgrupou grupy G. □ g - = _^ -00,0 Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Normální podgrupy jako jádra homomorfismu Jádro homomorfismu f; G ->■ H je normální podgrupou grupy G. Poznámka Uvidíme, že platí i opačná korespondence - každá normální podgrupa G je jádrem nějakého homomorfismu z G. □ S - = -E -o<\(y Normální podgrupy jako jádra homomorfismů Jádro homomorfismu f; G -»■ H je normální podgrupou grupy G. Poznámka Uvidíme, že platí i opačná korespondence - každá normálni podgrupa G je jádrem nějakého homomorfismu z G. 1 Příklad 11 Nechť G = GLn(R) a H je její podgrupa sestávající se z matic s determinantem rovným 1. Ukažte, že H < G. Krátké opakovaní Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Faktorové grupy Definice Je-li H normální podgrupa (G, ■), můžeme na množině (levých) rozkladových tříd G/H definovat operaci • takto: aHbH=(ab)H. Pak je (G/H, •) grupa. Nazáváme ji faktorovou grupou (zkráceně faktorgrupou) grupy G podle normální podgrupy H. □ r3> - = Krátké opakovaní Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Faktorové grupy Definice Je-li H normální podgrupa (G, ■), můžeme na množině (levých) rozkladových tříd G/H definovat operaci • takto: aHbH=(ab)H. Pak je (G/H, •) grupa. Nazáváme ji faktorovou grupou (zkráceně faktorgrupou) grupy G podle normální podgrupy H. Příklad 12 Popište faktorgrupu (Z, +) podle podgrupy nZ, n g N. □ S" - = Faktorové grupy Definice Je-li H normální podgrupa (G, •), můžeme na množině (levých) rozkladových tříd G/H definovat operaci • takto: aHbH=(ab)H. Pak je (G/H, •) grupa. Nazáváme ji faktorovou grupou (zkráceně faktorgrupou) grupy G podle normální podgrupy H. Příklad 12 Popište faktorgrupu (Z, +) podle podgrupy nZ, n e N. Příklad 13 Popište faktorgrupu grupy (Z, +) H = {(m, n) : 6\2m- n} x (Z, +) podle podgrupy Krátké opakovaní Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Faktorové grupy Příklad 14 Ukažte, že normální podgrupa H grupy G je jádrem nějakého homomorfismu z G. *"-H/, jv/i . .4. Krátké opakovaní Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Faktorové grupy Příklad 14 Ukažte, že normální podgrupa H grupy G je jádrem nějakého homomorfismu z G. Poznámka Ukázali jsme tedy, že normální podgrupy jsou v oboustranné korespondenci s jádry homomorfismu. *"-H/, jv/i . .4. Faktorové grupy Příklad 14 Ukažte, že normální podgrupa H grupy G je jádrem nějakého homomorfismu z G. Poznámka Ukázali jsme tedy, že normální podgrupy jsou v oboustranné korespondenci s jádry homomorfismu. Příklad 15 Dokažte, že V4 = {/tí, (1,2) o (3,4), (1,3) o (2,4), (1,4) o (2,3)} je normální podgrupa grupy (A4, o) (grupy sudých permutací na množině {1,2,3,4}). Určete, jaké známé grupě je izomorfní faktorgrupa A4/V4. Sestrojte endomorfismus f grupy A4 (tedy homomorfismus f: A4 —► A4), jehož jádrem je V4.