MB104 Matematika IV - 4. demonstrované
cvičení
Jan Herman
12. března 2008
□        gi         -         =        -e     -o<\(y
fy Krátké opakování Q Zbylo z minula
Q Polynomy
•  Racionální kořeny
•  Násobné kořeny
Krátké opakovaní
Co už byste měli umět
• grupy - podgrupy, homomorfismy, normální podgrupy, faktorgrupy

Krátké opakovaní
Co už byste měli umět
grupy - podgrupy, homomorfismy, normální podgrupy,
faktorgrupy
okruhy
množina R se dvěma binárními operacemi + a •
neutrální prvky 0 (vůči +) a 1 (vůči •)
(R, +) je komutativní grupa
(R, •) je komutativní monoid (tj. asociativní, neutrální prvek)
distributivita
obor integrity, těleso
o o o o o a


•  grupy - podgrupy, homomorfismy, normálni podgrupy, faktorgrupy
•  okruhy
•  množina R se dvěma binárními operacemi + a •
•  neutrální prvky 0 (vůči +) a 1 (vůči •)
•  (R, +) je komutativní grupa
•  (R, •) je komutativní monoid (tj. asociativní, neutrální prvek)
•  distributivita
•  obor integrity, těleso
•  polynomy
•  konečné součty mocnin neznámé a kořen - f(a)=0
•  stupeň polynomu - exponent nejvyšší mocniny neznámé
Zbylo z minul
Příklad 1
Dokažte, že V4 = {/tí, (1,2) o (3,4), (1,3) o (2,4), (1,4) o (2,3)} je normální podgrupa grupy (A4, o) (grupy sudých permutací na množině {1,2,3,4}). Určete, jaké známé grupě je izomorfní faktorgrupa A4/V4. Sestrojte endomorfismus f grupy A4 (tedy homomorfismus f: A4 —► A4), jehož jádrem je V4.
Krátké opakovaní
Racionální kořeny polynomů
Má-li polynom f
a„xn + a„_1xn-
-i
H--------\-a-[X+a0
s celočíselnými koeficienty racionální kořen | v nezkratitelném tvaru, potom p\ao, q\an.

h = 6x6 - 25x5 + 16x4 + 1Ox3 + 4x2 f 35a
□        S"         -         =
Krátké opakovaní
Racionální kořeny polynomů
Má-lipolynom f = anxn + an_ixn_1 -\-------v a<\x+ a0
s celočíselnými koeficienty racionální kořen | v nezkratitelném tvaru, potom p\ao, q\an.
Příklad 2
Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu
f = 12x6 + 8x5 - 85X4 + 15X3 + 55x2 + x - 6 G Z[x]
h = 6x6 - 25x5 + 16x4 + 10x3 + 4x2 f 35a
□              r3>                -                =
Racionální kořeny polynomů
Má-li polynom f
anxn + an_Axn~A +
+ a-[X+a0
s celočíselnými koeficienty racionální kořen | v nezkratitelném tvaru, potom p\ao, q\an.
Příklad 2
Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu
f = 12x6 + 8x5 - 85X4 + 15x3 + 55x2 + x - 6 G Z[x]
Příklad 3
Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu h = 6x6 - 25x5 + 16x4 + 10x3 + 4x2 + 35x - 6.
□         rJ           -           =
Krátké opakovaní
Násobné kořeny
Příklad 4
Zjistěte násobnost kořene -1 polynomu
x5 - ax2 - ax + 1 g C[x] v závislosti na parametru a g C.





□        S         -         =        -E     -o<\(y
Krátké opakovaní
Násobné kořeny
Příklad 4
Zjistěte násobnost kořene -1 polynomu
x5 - ax2 - ax+~\ g C[x] v závislosti na parametru a e C.
Pokud má polynom f = anxn + an_\xn~A -\-------\- a<\x + a0
násobný kořen a (neboli (x - a)2\ f), pak je a kořenem f if. Je-li f polynom nad oborem integrity pak platí i opačná implikace.
x° + 6x° + 1;
20x"
12;r
□        \3         -         =
Násobné kořeny
Příklad 4
Zjistěte násobnost kořene -1 polynomu
x5 - ax2 - ax+~\ g C[x] v závislosti na parametru a e C.
Pokud má polynom f = anxn + an_\xn~A -\-------h a<\x + a0
násobný kořen a (neboli (x - a)2\f), pak je a kořenem f if. Je-li f polynom nad oborem integrity, pak platí i opačná implikace.
Příklad 5
Najděte všechny alespoň dvojnásobné kořeny polynomu x6 + 6x5 + 15X4 + 20x3 + 12x2 - 4.
□         rJ
Krátké opakovaní
Násobné kořeny
Příklad 6
Nalezněte nejprve racionální a poté násobné kořeny polynomu g = Ax1 + 17x6 + 32X5 + 39X4 + 28X3 + 13x2 + 2x e Z[x].
□              r3>