MB104 Matematika IV - 5. demonstrované
cvičení
Jan Herman
19. března 2008
□        gi         -         =        -e     -o<\(y
O Krátké opakování Q Polynomy
Q Okruhy
•  Podokruhy
•  Jednotky
•  Bonusy
Krátké opakovaní
Co už byste měli umět
• okruhy
•  množina R se dvěma binárními operacemi + a •
•  (R, +) je komutativní grupa
•  (R, •) je komutativní monoid (tj. asociativní, neutrální prvek)
•  neutrální prvky 0 (vůči +) a 1 (vůči •)
•  distributivita
•  jednotka - invertibilní prvek; grupa jednotek (Rx, •)
•  obor integrity, těleso


•  okruhy
•  množina R se dvěma binárními operacemi + a •
•  (R, +) je komutativní grupa
•  (R, •) je komutativní monoid (tj. asociativní, neutrální prvek)
•  neutrální prvky 0 (vůči +) a 1 (vůči •)
•  distributivita
•  jednotka - invertibilní prvek; grupa jednotek (Rx, •)
•  obor integrity, těleso
•  polynomy
•  kořen - f(a)=0; pak x - a\f
•  stupeň polynomu - exponent nejvyšší mocniny neznámé
•  ireducibilní polynom - nelze rozložit na součin polynomů nižších stupňů
Krátké opakovaní
Racionální kořeny polynomů
Příklad 1
Nalezněte nejprve racionální a poté násobné kořeny polynomu g = Ax1 + 17x6 + 32X5 + 39X4 + 28X3 + 13x2 + 2x g Z[x]. Rozložte f na součin ireducibilních polynomů postupně z C[x], Ríxl aOíxl.
□         rS
Racionální kořeny polynomů
Příklad 1
Nalezněte nejprve racionální a poté násobné kořeny polynomu g = Ax1 + 17x6 + 32X5 + 39X4 + 28X3 + 13x2 + 2x g Z[x]. Rozložte f na součin ireducibilních polynomů postupně z C[x], Ríxl aOíxl.
Příklad 2
Polynom f = x8 + x4 + x3 + x e Z2[x] rozložte na součin ireducibilních polynomů ze Z2[x].
Krátké opakovaní
Okruhy
Příklad 3                                                                                 "										
Ukažte, že v Va,be R:		každém		(i	nekomutativn		m) okruhu	(«,	+,	•) platí
9 a-0--	= 0	• a =	= 0							
• (-1)	• a	= a	(-	1)	= -a					
• -(a-	b)	= (-	-a)	b	= a-(-	-6)				

□        S         -         =        -E       -O^O"
Okruhy
Příklad 3                                                                                 '										
Ukažte, že v Va,be R:		každém		(i	nekomutativn		m) okruhu	(«,	+,	•) platí
• a-0-	= 0	• a =	= 0							
• (-1)	• a	= a	(-	1)	= -a					
• -(a-	Ö)	= (-	-a)	b	= a-(-	-b)				
Příklad 4
Rozhodněte, zda platí: Pokud je (R, +, •) okruh, pak je okruh i
(R,+, o), kde aojb = a-ib+iba.
□        gi         -         =        -e    -o^O
Okruhy a podokruh\
Příklad 5
Ukažte, že každý okruh obsahuje bud podokruh izomorfní s okruhem Z, nebo s okruhem Z„ pro nějaké n e N.
										
										
									: r G Z,	n g n}
						\UU			Ul L/CLc J	
Okruhy a podokruh\
Příklad 5
Ukažte, že každý okruh obsahuje bud podokruh izomorfní s okruhem Z, nebo s okruhem Z„ pro nějaké n e N.
Příklad 6                                                                                 *	
Rozhodněte, zda množiny	
/\=<jj:p,gez,3{p}	a     ß={^:reZ,/7GN}
tvoří podokruhy okruhu (Q, +,	•). Pokud ano, určete jejich
jednotky.	
□               r3>                -                =
Krátké opakovaní
Jednotky okruhů
Příklad 7
Určete všechny jednotky okruhů R, C, Z5[x].
□       s        -        =       -e    -o<\(y
Krátké opakovaní
Jednotky okruhů
Příklad 7
Určete všechny jednotky okruhů R, C, Z5[x].
Příklad 8
Ukažte, že okruhy Z4[x] a Z[v5] = {a + by/2 :a,beZ obsahují nekonečně mnoho jednotek.
□        g         -         =        -E      -0<\O
Krátké opakovaní
Bonusové příklady
Příklad 9
Najděte všechny jednotky okruhů z předchozího příkladu.


□         g           -           =         _^      -OQ.O"
Bonusové příklady
Příklad 9
Najděte všechny jednotky okruhů z předchozího příkladu.
Příklad 10
Dokažte, že je-li (K, +, •) těleso, pak ireducibilní polynomy nad K jsou právě ireducibilní prvky okruhu K[x].
□     g     -     =