Krátké opakovaní
Ireducibilní polynomy nad
MB104 Matematika IV - 6. demonstrované
cvičení
Jan Herman
26. března 2008
□        S         -         =        -E     -o<\(y
Q Krátké opakování Q Zbylo z minula
Q Polynomy nad Z
•  Eisensteinovo kritérium
•  Metoda neurčitých koeficientů
Q Ireducibilní polynomy nad Zp
Krátké opakovaní
Ireducibilní polynomy
Co už byste měli umět
• okruhy
•  množina R se dvěma binárními operacemi + a •
•  (R, +) je komutativní grupa
•  (R, •) je komutativní monoid (tj. asociativní, neutrální prvek)
•  neutrální prvky 0 (vůči +) a 1 (vůči •)
•  distributivita
•  jednotka - invertibilní prvek; grupa jednotek (Rx, •)
•  obor integrity, těleso


Co už byste měli umět
•  okruhy
•  množina R se dvěma binárními operacemi + a •
•  (R, +) je komutativní grupa
•  (R, •) je komutativní monoid (tj. asociativní, neutrální prvek)
•  neutrální prvky 0 (vůči +) a 1 (vůči •)
•  distributivita
•  jednotka - invertibilní prvek; grupa jednotek (Rx, •)
•  obor integrity, těleso
•  polynomy
•  kořen - f(a)=0; pak x - a\f
•  stupeň polynomu - exponent nejvyšší mocniny neznámé
•  ireducibilní polynom - nelze rozložit na součin polynomů nižších stupňů
Krátké opakovaní
Zbylo z minule
Ireducibilní polynomy nad
Zbylo z minul
Příklad 1
Najděte vsechnny jednotky okruhu
Zh/2l = U+bVŽ: a, b e z]
□         rS           -           =
Eisensteinovo kritériui
Věta (Eisensteinovo kritérium)
Nechť f = anxn + an_^xn-^ -\-------\-a-\x + aae Z[x], p je
prvočíslo takové, že p\ah pro 0<i<n-\,p\anap2\ao. Potom je polynom f ireducibilní nad Z (a tedy i nad Q).
íuv polynom vuci prvočíslu p.

Eisensteinovo kritériui
Věta (Eisensteinovo kritérium)
Nechť f = anxn + an_<\xn-^ -\-------\-a-\x + aae Z[x], p je
prvočíslo takové, že p\ah pro 0</<n-1,pfanap2ta0. Potom je polynom f ireducibilní nad Z (a tedy i nad Q).
Poznámka
Pokud polynom f a prvočíslo p splňují podmínky předchozí věty, říkáme, že f je Eisensteinuv polynom vůči prvočíslu p.
O

Eisensteinovo kritériui
Věta (Eisensteinovo kritérium)
Nechť f = anxn + an_<\xn-^ -\-------\- a-\x+ ao e Z [x], p je
prvočíslo takové, že p\ah pro 0<l<n-'\,p\anap2\ao. Potom je polynom f Ireducibilní nad Z (a tedy I nad Q).
Poznámka
Pokud polynom f a prvočíslo p splňují podmínky předchozí věty, říkáme, že f je Eisensteinův polynom vůči prvočíslu p.
Příklad 2
Dokažte, že polynom f = x3 + 3x2 + 5x + 5\e ireducibilní nad
O
□       s>        -        =
Krátké opakovaní
Ireducibilní polynomy nad
Použití Eisensteinova kritéria, metoda neurčitých koeficientů
Příklad 3
Ukažte, že polynom f = x4 + x3 + x2 + x + 1 je ireducibilní nad
Z.

x-1

x2 +
ireducibilních polynomů zc
□        g         -         =        _^     -OQ.O"
Krátké opakovaní
Ireducibilní polynomy nad
Použití Eisensteinova kritéria, metoda neurčitých koeficientů
Příklad 3
Ukažte, že polynom f = x4 + x3 + x2 + x + 1 je ireducibilní nad
Z.
Příklad 4
Dokažte, že polynom gp = xp_1 + xp~2 -\-------h x + 1 = ^5p je
ireducibilní nad Z, právě když p je prvočíslo.
x2 +
ireducibilních polynomů zc
□         g           -           =         _^      -OQ.O"
Krátké opakovaní
Ireducibilní polynomy nad
Použití Eisensteinova kritéria, metoda neurčitých koeficientů
Příklad 3
Ukažte, že polynom f = x4 + x3 + x2 + x + 1 je ireducibilní nad
Z.

Příklad 4
Dokažte, že polynom gp = xp_1 + xp~2 -\-------h x + 1 = ^5p je
ireducibilní nad Z, právě když p je prvočíslo.
Příklad 5
Nalezněte rozklad polynomu f = x4 + 4x3 + x2 + 5 na součin ireducibilních polynomů ze Z [x].
□         g           -           =         _^      -OQ.O"
Krátké opakovaní
Ireducibilní polynomy nad
Ireducibilní polynomy v Zp[x]
Příklad 6
Nalezněte všechny ireducibilní polynomy stupně nejvýše 3 nad okruhem Z3.
ii>IO, cXIblUJI lltíUUOlUMlM pOlyllUllly NUOVUII lei IO blUpilc.
x6 + 2x5

<s[x]-
Krátké opakovaní
Ireducibilní polynomy nad
Ireducibilní polynomy v Zp[x]
Příklad 6
Nalezněte všechny ireducibilní polynomy stupně nejvýše 3 nad okruhem Z3.
Poznámka
Z poznatků o konečných tělesech vyplývá, že v Zp[x], kde p je prvočíslo, existují ireducibilní polynomy libovolného stupně.
x6 + 2x5

<s[x]-
Krátké opakovaní
Ireducibilní polynomy nad
Ireducibilní polynomy v Zp[x]
Příklad 6
Nalezněte všechny ireducibilní polynomy stupně nejvýše 3 nad okruhem Z3.
Poznámka
Z poznatků o konečných tělesech vyplývá, že v Zp[x], kde p je prvočíslo, existují ireducibilní polynomy libovolného stupně.
Příklad 7
Rozložte polynom f = x7 + 2x6 + 2x5 + 2xA + 2X3 + x + 2 na součin ireducibilních polynomů ze Z3[x].
«M-
Ireducibilní polynomy v Zp[x]
Příklad 6
Nalezněte všechny ireducibilní polynomy stupně nejvýše 3 nad okruhem Z3.
Poznámka
Z poznatků o konečných tělesech vyplývá, že v Zp[x], kde p je prvočíslo, existují ireducibilní polynomy libovolného stupně.
Příklad 7
Rozložte polynom f = x7 + 2x6 + 2x5 + 2xA + 2X3 + x + 2 na součin ireducibilních polynomů ze Z3[x].
Příklad 8
Rozložte polynom f = x5 + x4 + 3X3 + 2x2 + 2x g Z5[x] na součin ireducibilních polynomů ze Z5[x].
Krátké opakovaní
Zbylo z minule
Rozloučen,
A to je vše, přátelé.
Ireducibilní polynomy nad
□        s>