Pravděpodobnost
Q - základní prostor, množina všech výsledků
iü\, lü2, ■ ■ ■ un - možné výsledky, prvky množiny Q
A - náhodný jev, ACQ
Ac - jev opačný, Ac = Q — A
Ui - elementární jev
Ü    jev jistý
0    jev nemožný
A n B = 0 - jevy neslučitelné
A C B - jev B je důsledkem jevu A
A -jevové pole, systém podmnožin množiny Q, který splňuje podmínky:
•   Q G A,
•  je-li A, B G A, pak je i A- B e A,
•  jsou-li A, B e A, pak i A U B e A.
(Q, A) - měřitelný prostor
Definice 1: Nechť (Q, A) je měřitelný prostor. Pravděpodobnost je P : A —> M s vlastnostmi:
1.   P (A) > 0 pro všechna Aei
2.   P(Q) = 1
oo                     oo
3.  jestliže A\,A2, ■ ■ ■ G A jsou po dvou disjunktní množiny, pak P( \J An) = ^ P (An)
n=l                í=l
Trojice (Q,A,P) se nazývá pravděpodobnostní prostor.
1
1. Necht Q = {lji, UÜ2, W3}. Určete všechna možná jevová pole na tomto základním prostom.
Klasická pravděpodobnost
Definice 2: Nechť základní prostor Q je konečná neprázdná množina a nechť jevové pole A je systémem všech podmnožin základního prostoru. Označme m(Q) počet všech možných výsledků a pro libovolný jev Aei označme m(A) počet možných výsledků příznivých jevu A. Pak reálnou funkci P : A —> M definovanou pro všechna A G A vztahem
nazveme klasická pravděpodobnost.
2. Vrchcaby - hod šesti různobarevnými kostkami. Vypočtěte pravděpodobnost následujících „figur":
1.   Ai .. .na první kostce 1, na druhé 2, .. .na šesté 6
2.   A2 ■ ■ ■ (sekvens) 1-6 kdekoli
3.   A3 ... (generál) samé 6 4- A4 .. .právě 5 šestek
5.   A5 ... (poker) právě čtyři 6
6.   Ae ... alespoň čtyři 6
7.   A-j ... šest stejných
8.   As ... trojice stejných a trojice jiných stejných
9.   Ag ... tři dvojice stejných 10.  Aiq ... samé sudé.
2
3. Hodíme n-krát po sobě mincí. Jaká je pravděpodobnost, že padne k-krát líc (O < k < n)?
Podmíněná pravděpodobnost
Definice 3: Nechť (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor, H e A jev s nenulovou pravděpodobností. Pro každé iei definujeme podmíněnou pravděpodobnost vzorcem
m|H) = ™                         (2)
4- V populaci je 5 % diabetiků, 2 % populace jsou diabetici kuřáci. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolený diabetik je kuřák?
Věta o násobení pravděpodobností: Nechť (Q,A,P) je pravděpodobnostní prostor, Ai, A2, ■ ■ ■ An G A takové jevy, že P(AX n A2 n • • • n A*-i) > 0. Pak platí:
n
P(f| Ai) = P(AX) ■ P(A2\Al) ■ P(A3|Ai nA2).....P(An\Ax n A2 n • • • n An_x)     (3)
í=l
Věta o úplné pravděpodobnosti: Nechť (Q,A,P) je pravděpodobnostní prostor a nechť
je dán rozklad {Hi; i <E 1} základního prostoru Q na nejvýše spočetně mnoho neslučitelných
jevů Hi s vlastností P{Hi) > 0 (tzv. apriorní pravděpodobnosti) aP(|J Hi) = 1. Říkáme, že
íei je dán úplný systém hypotéz. Potom platí:
P{A) = YJPm-P{A\Hl)                                              (4)
5. V osudí je b bílých a c černých koulí. Táhneme dvakrát bez vracení. Jaká je pravděpodobnost, že v 2. tahu bude tažena bílá koule?
3
Věta: Za stejných předpokladů jako u výše uvedené věty, pro P (A) > 0 a pro libovolný jev B G A dostáváme:
1. Bayesův vzorec
2. Bayesův vzorec
V   k\   )      YJP(Hl)-P(A\Hl)                                       V ;
íei
£ P(Hi) ■ P(A\Hi) ■ P(B\An Hi)
jw> = 'ď    vpvuypim)-----              (6)
iei
6. V první zásuvce jsou dvě zlaté mince, ve druhé je jedna zlatá a jedna stříbrná mince a ve třetí zůsuvce jsou dvě stříbrné. Zvolíme náhodně zásuvku a vytáhneme minci. Jaká je pravděpodobnost, že v zásuvce zůstane zlatá mince, jesltiže jsme vytáhli stříbrnou?
7. V testu jsou u každé otázky 4 odpovědi. Pokud student nezná odpověď, hádá (pravděpodobnost správné odpovědi je 1/4). Dobrý student zná 90 % odpovědí, slabší 50 %. Jestliže dobrý student zodpověděl určitou otázku správně, jaká je pravděpodobnost, že v tomto případě jen hádal? Jak je to u slabšího?
8. Mezi dvaceti střelci jsou čtyři výborní, deset dobrých a šest průměrných s pravděpodobností zásahu 0.9, 0.7, 0.5. Jaká je pravděpodobnost, že se dva náhodně vybraní střelci oba trefili?
9. U jistého druhu elektrického spotřebiče se s pravděpodobností 0.1 vyskytuje výrobní vada. U spotřebiče s touto výrobní vadou dochází v záruční lhůtě k poruše s pravděpodobností 0.5. Výrobky, které tuto vadu nemají, se v záruční lhůtě porouchají s pravděpodobností 0.01. Jaká je pravděpodobnost, že
1. u náhodně vybraného výrobku nastane v záruční lhůtě porucha
4
2. výrobek, který se v záruční době porouchá, bude mít dotyčnou výrobní vadu?
Stochasticky nezávislé jevy
Definice 4: Nechť (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Řekneme, že jevy A\, A2,... ,An jsou stochasticky nezávislé (vzhledem k P), právě když platí multiplikativní vztahy:
Ví < j : P(At n Aj) = P(Ai) • P(Aj) Vi<j<k: P(At n Aj n Ak) = P(Ai) ■ P{A3) ■ P(Ak)
P{Al nA2n-n4) = P(A{) ■ P{A2).....P{An)
10.  V urně máme čtyři lístky s čísly 000, Oil, 101, 110. Náhodně vybereme jeden lístek. Uvažujeme tyto tři náhodné jevy:
•  A\ - vybraný lístek má jedničku na 1. místě
•  A.2 - vybraný lístek má jedničku na 2. místě
•  As - vybraný lístek má jedničku na 3. místě. Jsou dané jevy stochasticky nezávislé?
5