Geometrická pravděpodobnost
Borelovské množiny: Na prostoru Rfc
uvažujme nejmenší jevové pole B obsahující všechny
fc-rozměrné intervaly. Množinám v B říkáme borelovské množiny (nebo také měřitelné množiny)
na Rfc
. Speciálně pro k = 1 jde o množiny, které obdržíme z intervalů konečnými průniky
a nejvýše spočetnými sjednoceními.
Definice: Nechť Q je borelovská množina v Rra
s kladnou a konečnou Lebesgueovou mírou,
A nechť je systém všech borelovských podmnožin množiny Q a /J.(A) nechť značí Lebesgueovu
míru množiny A. Potom množinovou funkci PG definovanou pro každé A G A vztahem
PG(A) = ^b4 budeme nazývat geometrickou pravděpodobností.
1. Buffonova úloha: Rovina je rozdělena stejně od sebe vzdálenými rovnoběžkami. Hodíme
na ni jehlu menší délky než je vzdálenost rovnoběžek. Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne
některou rovnoběžku, jestliže každou polohu jehly považujeme za stejně nadějnou?
Náhodná veličina
Definice: Nechť (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Zobrazení X : Q -->ˇ R se nazývá
náhodná veličina (vzhledem k jevovému poli A), právě když
V 5 e ß : { w e f l : X(u) G B} G A, (1)
tj. úplný vzor každé borelovské množiny je jevem.
Poznámka: Obraz X {u) se nazývá číselná realizace náhodné veličiny X příslušná k možnému
výsledku OJ. Množinu { w e ! ] : X(uj) G -B} zkráceně zapisujeme {X G -B} nebo (X G B)
2. Uvažujme hod kostkou a označme elementární jevy UÚÍ - na kostce padne i i = 1,2.. .6,
množina el. jevů je Q = {wi, W2,.. .OJ&\- Zvolme jevové pole A = {0, Q, {wi, W2, W3}, {W4, W5, tve}}.
Rozhodněte, zda-li jsou X a Y náhodné veličiny vzhledem k A, pokud platí:
_ . 0 padne číslo menší než 3 _ í 0 padne sudé číslo
1 padne číslo větší než 3 ' \ 1 padne liché číslo
1
Distribuční funkce
Definice: Funkce F : R --> R definována vztahem
VxeR:F(x) = P(X<x), (2)
kde P(X < x) značí P({LO G fž : X(w) < a;}), se nazývá distribuční funkce náhodné veličiny
X (vzhledem k P).
Distribuční funkce má tyto vlastnosti:
1. je neklesající, tj. pro všechna x\ < X2 : F(x\) < F(x2)
2. je zprava spojitá, tj. pro všechna XQ G R : lim F(x) = F(XQ)
3. 0 < F(x) < 1
4. Pro XQ G R libovolné, ale pevně zvolené je
P(X = x0) = F(x0) - lim_ F(x)
5. Pro a, 6 G R, a < 6 je P (a < X < b) = F (b) - F (a).
Diskrétni náhodná veličina
Definice: Náhodná veličina X s distribuční funkcí F (x) se nazývá diskrétní, jestliže existuje
neprázdná, nejvýše spočetná podmnožina N reálných čísel a funkce TT : R --> R s těmito
vlastnostmi:
1. i: (x) > 0 pro x G N
T: (x) = 0 pro x G R - TV
2- E 7T(aO = E *(x) = 1
a pro každé a; G R máme F (x) = E 7r
(^)- Funkce TT(X) se nazývá pravděpodobnostní
Í<ÍE
funkce náhodné veličiny X.
3. Třikrát nezávisle na sobě házíme mincí. Náhodná veličina X udává počet líců při těchto
třech hodech. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci této náhodné veličiny.
2
Spojitá náhodná veličina
Definice: Řekneme, že náhodná veličina X je (absolutně) spojitá, jestliže existuje nezáporná
borelovská funkce / tak, že pro každé l e R máme
F(x)= ľ f(t)dt
J -- oo
Funkce / se nazývá hustota náhodné veličiny X a je určena jednoznačně až na borelovské
množiny míry 0 a platí:
i. /(*> = ^f
oo
2. / /(ŕ)dí = l
--oo
4- Určete a e M tak, aby funkce
í f
F (x) = { ax2
0 < x < 2
byla distribuční funkcí.
5. Pravděpodobnost, že výrobek bude vyhovovat všem technickým požadavkům je 0,9. Popište
rozdělení (pravděpodobnostní a distribuční funkci) počtu nevyhovujících mezi třemi výrobky.
6. Náhodná veličina X má distribuční funkci:
0 x < - 5
F{x) = \ ^ -b<x<2
1 2 <x
3
Vypočítejte:
1. hustotu pravděpodobnosti f(x)
2. P(-2 < X < 2)
3. P{X = 2)
4. P ( - 6 < X < 1)
4