Kvantilová funkce
Definice: Nechť F (x) je distribuční funkce náhodné veličiny X. Funkce
F-\u) = inf{a; G R; F (x) >u},    0 < u < 1,
se nazývá kvantilová funkce náhodné veličiny X. Pro 0 < a < 1 se hodnota F-1 (a) nazývá a-kvantil.
Pozn.: Pokud je distribuční funkce F (x) rostoucí a spojitá je kvantilová funkce totožná s obyčejnou inverzní funkcí k distribuční funkci.
0, 5-kvantil —> medián
0, 25-kvantil —> dolní kvartil
0, 75-kvantil —> horní kvartil.
Náhodný vektor
Definice: Náhodný vektor je uspořádaná n-tice X = (Xi,X2,.. .Xn), kde Xi jsou náhodné veličiny na pravděpodobonostním prostoru (Q, A, P). Jeho distribuční funkci definujeme vztahem:
V(x1,x2,...,xny eM:n;F(x1,x2,...,xn) = P(XX < xx A X2 < x2 A • • • A Xn <xn).
F(xi, x2,..., xn) je neklesající, zprava spojitá vzhledem ke každé jednotlivé proměnné a dále
lim    F(xi,x2,. ..,xn) = l
X\—>oo xn^<x
Ví G {1,... ,n};    lim   F(x\,x2,..., xn) = 0
Xi—> — oo
Ví G {!,...,n};      lim     F(a;i, a;2, • • • ,xn) = Fí(xí).
X\—>oo
a;i_l—>oo a;i+l^oo
Fi(xi) se nazývá marginální distribuční funkce náhodné veličiny X» a F(x\,x2,... ,xn) se nazývá simultánní (sdružená) distribuční funkce náhodného vektoru X.
1
Diskrétní náhodný vektor
Definice: Náhodný vektor X = (X\,X2,... Xn) se nazývá diskrétní, právě když existuje funkce tt(x\, ..., xn), která je kladná na nejvýše spočetné množině N C Rra, nulová na množině
Rra — N, je normovaná
00                        00
xl= —00        icn=—oo
a platí pro ni:
VOi, £2, ••-,£«)' e Rra;F(>i, £2, ••-,£«) = ^ ••• ^ vr(íi,... ,tn).
t<xi        t<xn
Funkce tt(xi, ... ,xn) se nazývá pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru X. Dále platí:
V(xi,x2,...,xny G Rn;7ľ(xi,x2,...,xn) = P{Xi = x\ A X2 = x2 A ... ,Xn = xn).
Vie{l,...,n}; J^ •••   J^     J^   ••• Y n(xi,...,xn) = mfa)
xies,     xi_ieta;i+iei     xnes,
7Tí(xí) se nazývá marginální pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Xi a iľ(x\, x2,..., xr. se nazývá simultánní (sdružená) pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru X.
1. V zásilce 10 výrobků je 8 kvalitních a 2 zmetky, z 8 kvalitních je pět 1. jakosti a tři 2. jakosti. Ze zásilky vybereme 2 výrobky (bez vracení). Náhodná veličina X značí počet kvalitních výrobků a Y počet výrobků 1. jakosti. Určete sdruženou a marginální pravděpodobnostní i distribuční funkci 7ľ(x,y) a F(x,y).
Spojitý náhodný vektor
Definice: Náhodný vektor X = (Xi,X2,.. .Xn) se nazývá spojitý, právě když existuje po částech spojitá funkce f(xi,..., xn) s vlastností
V(x1,...,xn)'eRn;f(x1,...,xn) >0
2
a která je normovaná
oo            oo
f(xi,...,xn) = 1
-oo         —oo
a platí pro ni:
X\                 Xji
V{xu...,xn)' <EMn;F(xl,...,xn) =   í ...   í f(tl,...,tn)dtl...dtn.
-oo         —oo
Funkce 7ľ(x\,... ,xn) se nazývá hustota pravděpodobnostní náhodného vektoru X. Dále platí:
,./                   \ __ Oř \X\, • • • , Xn)
j{X\, . . . , Xn) —        -            -
OX\.. . OXn
ve všech bodech spojitosti funkce f(xi,..., xn).
oo            oo     oo            oo
Ví G {l,...,n};   / ...   /    / ...   / f(xi,...,xn)dxi...dxí-idxi+i...dxn = fí(xí)
-oo         —oo —oo         —oo
fi(xi) se nazývá marginální hustota náhodné veličiny Xi a f(xi,X2,...,xn)' se nazývá simultánní (sdružená) hustota náhodného vektoru X.
2. Spojitý náhodný vektor (Xi,X2,Xs) má hustotu
k ■ x\X2x\   pro 0 < #1 < 1, 0 < #2 < 1,0 < #3 < 3
f(x1,X2,X3j-   ^   0                      jinak
1.   Určete konstantu k.
2.   Vypočtete P(0 < Xx < 1/2,1/3 < X2 < 2/3,1< X3 < 2).
Stochasticky nezávislé náhodné veličiny
Věta: Náhodné veličiny Xi,... ,Xn jsou stochasticky nezávislé, právě když pro každé
x\ eR,...,i„6l platí:
F(xi, ...,xn) = FiOi) • ... • Fn(xn)
resp. tt(xi, ... ,xn) = k\(x\) ■.. ■■7Tn(xn) (v diskrétním případě), resp. f(xi,... ,xn) = fi(xi) ■ ■ ■ ■ fn(xn) (ve spojitém případě).
3. Určete, zda-li jsou náhodné veličiny XaYv příkladu 1 stochasticky nezávislé.
3
4- Spojitý náhodný vektor (X\,X2) má hustotu
2Ax\x2{l - x\)   pro O < x\ < 1,0 < X2 < 1
■fa*'2»)-,   O                         jinak
Dokažte, že náhodné veličiny X\ a X2 jsou stochasticky nezávislé.
Transformace náhodné veličiny
Borelovské funkce: Zobrazení g : Rra —> Rm nazýváme borelovskou funkcí, právě když úplný vzor každé borelovské množiny je opět borelovská množina, tj.
y B G Bm; {(zi, ...,xn)e Rra; (gi(xh ...,xn),..., gm(x1}..., xn)) e B} e Bn
Pozn.: Jedná se zejména o funkce spojité.
Z dané náhodné veličiny X : Q —> R vytvoříme pomocí borelovské funkce g : R —> R zobrazení F : Q —> R, dané takto:
VweQ;ľ(w) = #(X(w)).
Toto zobrazení je opět náhodná veličina a nazývá se transformovaná náhodná veličina.
Náhodná veličina X má distribuční funkci F (x) a pravděpodobnostní funkci tt(x) nebo hustotu f (x). Náhodná veličina Y = g{X) má distribuční funkci F*(y) a pravděpodobnostní funkci 7T*(y) nebo hustotu f*(y). Označíme r inverzní funkci k funkci g, pak platí:
1.  X je diskrétni náhodná veličina
7T*(y) = P(Y = y)= P(g(X) = y) = P (X = r(y)) = ir(r(y))
2.  X je spojitá náhodná veličina, g je rostoucí funkce a nechť existuje derivace funkce r
FM = P(Y <y) = P(g(X) <y) = P(X < r(y)) = F(r(y)) dF*(y)              ^dr(y)
My) = ^iy- = f{T{y))^y-
3.  X je spojitá náhodná veličina, g je klesající funkce a nechť existuje derivace funkce r
F*(y) = P(r <y) = P(g(X) <y) = P(X > r(y)) = 1 - P(X < r(y)) = 1 - F(r(y))
dF*(y)                 ^dr(y)
Celkem pro spojitou náhodnou veličinu X platí:
f*(y) = ^1 = f(r(y))
dr(y)
dy
4
5. Náhodná veličina X má normální rozdělení, tedy X ~ N(/j,,a2), provedem transformaci Y = a + bX, kdeb^ 0. Určete f*(y).
6. Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X, která má rozdělení N(20,16), nabude hodnoty:
1.   menší než 16
2.   větší než 20
3.   v mezích od 12 do 28
4- menší než 12 nebo větší než 28?
5