Transformace náhodné veličiny
Borelovské funkce: Zobrazení g : Rra
--> Rm
nazýváme borelovskou funkcí, právě když
úplný vzor každé borelovské množiny je opět borelovská množina, tj.
yB G Bm
- {(aľi, ...,xn)e Rra
; (gi(xh ...,xn),..., gm(xi,..., xn)) e B} G Bn
Pozn.: Jedná se zejména o funkce spojité.
Z dané náhodné veličiny X : Q --> R vytvoříme pomocí borelovské funkce g : R --> R zobrazení
F : Q --> R, dané takto:
V W G Q ; F ( W ) = #(X(W)).
Toto zobrazení je opět náhodná veličina a nazývá se transformovaná náhodná veličina.
Náhodná veličina X má distribuční funkci F (x) a pravděpodobnostní funkci ir(x) nebo hustotu
f(x). Náhodná veličina Y = g{X) má distribuční funkci -F* (y) a pravděpodobnostní funkci
7T*(y) nebo hustotu f*(y). Označíme r inverzní funkci k funkci g, pak platí:
1. X je diskrétni náhodná veličina
7T*(y) = P(Y = y)= P(g(X) = y) = P (X = r(y)) = ir(r(y))
2. X je spojitá náhodná veličina, g je rostoucí funkce a nechť existuje derivace funkce r
FM = P(Y <y) = P(g(X) < y) = P(X < r(y)) = F(r(y))
dF*(y) ^dr(y)
fÁy) =
^ y - = f{T{y))
^y3.
X je spojitá náhodná veličina, g je klesající funkce a nechť existuje derivace funkce r
F*(y) = P(Y <y) = P(g(X) <y) = P(X > r(y)) = 1 - P(X < r(y)) = 1 - F(r(y))
dF*(y) ^dr(y)
/*() = - ^ - = -fy))-^~
Celkem pro spojitou náhodnou veličinu X platí:
dr(y)
My) = ^f1
= f(r(y))
dy
1. Náhodná veličina X má normální rozdělení, tedy X ~ N(/j,,a2
), provedem transformaci
Y = a + bX, kdeb^ 0. Určete f#(y).
2. Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X, která má rozdělení N'(20,16), nabude
hodnoty:
1
a) menší než 16
b) větší než 20
c) v mezích od 12 do 28
d) menší než 12 nebo větší než 28?
3. Náhodná veličina Y je funkcí náhodné veličiny X (tedy Y = g{X)). Určete, čemu se rovná
hustota pravděpodobnosti f*(y) jestliže platí:
,,2
_ J 2xe x
pro x > O
 ˇ n r ;,,0r ˇ v
=x 2
4- Hledáme hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny Y = X\ + X2, pro x\,X2 G R, jestliže
známe sdruženou hustotu pravděpodobnosti f(xi,X2)5.
Hledáme pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny Y, jestliže platí:
2^1e-A pm x
O jinak
<x) = > fz-X
prox = 0,l,... A > 0 . Y = 4X
2
Číselné charakteristiky náhodných veličin
Střední hodnota
Je-li dána diskrétní náhodná veličina X s pravděpodobnostní funkcí TT(X), pak číslo
oo
E{X) = Y^ X-TI{X),
za předpokladu, že případná nekonečná řada absolutně konverguje, nazýváme střední hodnotou
náhodné veličiny X.
Je-li náhodná veličina spojitá s hustotou f(x), pak číslo
oo
E(X) = í x ˇ f (x) dx,
-- oo
za předpokladu, že nevlastní Riemannuv integrál absolutně konverguje, nazýváme její střední
hodnotou.
Nechť g(x) je borelovská funkce. Pak pro střední hodnotu náhodné veličiny Y = g(x) platí:
Y^ 9(X)TT(X) v diskrétním případě
E{Y) = { *!?
J 9Íx
)f(x
) dx ve spojitém případě
-oo
pokud nekonečná řada, resp. Riemannuv integrál, absolutně konvergují.
Rozptyl
Číslo D(X) = E[(X - E(X))2
} = E(X2
) - [E(X)}2
nazýváme rozptylem náhodné veličiny X
za předpokladu, že všechny uvedené střední hodnoty existují.
Číslo ^D(X) nazýváme směrodatnou odchylkou náhodné veličiny X.
Kovariance
Číslo C(Xi,X2) = E[(X\ -- E(X\))(X2 -- E{X2))\ nazýváme kovariancí náhodných veličin X\
a X2 za předpokladu, že všechny uvedené střední hodnoty existují. Je-li C(Xi,X2) = 0, pak
řekneme, že náhodné veličiny X\ a X2 jsou nekorelované.
Korelace
Číslo R(X1,X2) = E (Xi-E&i) . x2-E(X2)\ ^ D(Xl)D(X2) + 0 nazveme korelací náhodných
\ VD
(x
i) \/D(X2) J
veličin X\ a X2 (a za předpokladu, že všechny střední hodnoty existují), R(Xi, X2) = 0 jinak.
Vlastnosti:
Nechť a, a\, CI2, b, 61, 62 jsou konstanty a X\,... Xn, Y\,... Yn náhodné veličiny definované na
témže pravděpodobnostním prostoru.
3
1. Střední hodnota
(a) E(a) = a
(b) E (a + bX)=a + bE(X)
(c) E(X - E(X)) = 0
n n
(d) E(Y,Xi) = Y,E(XÍ)
í=l í=l
n n
(e) Jsou-li náhodné veličiny Xi,... Xn stochasticky nezávislé, pak: E{ Y[ Xi) = ]\ E(Xi
2. Rozptyl
(a) D(a) = 0
(b) D(a + bX) = b2
D(X)
(c) D ( E x
i) = E D
(x
í) + 2
E E C(Xi, Xj). Jsou-li veličiny Xi,...Xn nekoren
n
lované, pak platí: -D(E Xi) = E D(Xi)
%=\ %=\
3. Kovariance
(a) C(ai, X2) = C{Xlia2) = C(ai, a2) = 0
(b) C(ai + hXh a2 + b2X2) = &ife2C(Xi, X2)
(c) C(X,X) = D(X)
(d) C(X1,X2) = C(X2,X1)
(e) C{X,X2) = E{XlX2) - E{X{)E{X2)
n m nm
(f) c(Y,xi,Y,Yj) = Y,Y,c(xi,Yj)
i=\ j=l i=lj=l
4. Korelace
(a) R(ai,X2) = R(Xi,a2) = R(a\,a2) = 0
(b) R(a1+b1X1,a2 + b2X2) = sgn(6162)ií(X1,X2)
(c) R{Xl,X2) = R{X2,Xl)
(d) R(XUX2) = ^°]${X2), D(X{)D(X2) + 0, R(XUX2) jinak.
6. Náhodná veličina X má konstatníhodnotu pravděpodobnosti v intervalu (0, a), to znamená,
že její hustota pravděpodobnosti má tvar:
,, x í \ pro 0 < x < a
J v
' [ 0 jmak
S použitím vlastností střední hodnoty a rozptylu určíme
1. E(2X + 3)
2. E(3X2
- 2X + 1)
4
3. D(2X + 3)
4. D(X2
+ 1)
7. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X, která má Poissonovo rozdělení s
parametrem X.
8. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X, která má exponenciální rozdělení s
parametrem X.
5