Nerovnosti
Cauchyho—Swartzova—Buňakovského nerovnost
Nechť X\,X2 jsou náhodné veličiny. Jestliže existují jejich střední hodnoty a rozptyly, pak
\C(X1,X2)\ < ^/D(X1)^/D(X2),t}. \R(X1,X2)\ < 1
Markovova nerovnost
Jestliže je P(X > 0) = 1 a E{X) existuje, pak pro všechna e > 0 platí
P(X > eE(X)) < -
e
1.Nechť X je nezáporná náhodná veličina, E(X) = ö.
1.   Jesliže rozložení náhodné veličiny X neznáme, odhadněte P{X > 36)
2.   Jestliže X - Ex{\/5), vypočtěte P{X > 30)
Čebyševova nerovnost
Jestliže existují E(X) a D(X), pak pro každé t > 0 platí:
D{X)
P(\X-E(X)\>t)<
ť2
2. Zásilka obsahuje 3000 výrobků určitého typu. Je známo, že pravděpodobnost zhotovení vadného výrobku tohoto typuje 0,04-
a)   Odhadněte pravděpodobnost, že absolutní odchylka podílu vadných výrobků v zásilce a pravděpodobnost vyrobení vadného výrobku bude menší než 1 %.
b)   Jak se změní výsledek, jestliže pravděpodobnost vyrobení zmetku bude 0,004 a jestliže zásilka bude obsahovat 30000 výrobků?
1
Zákon velkých čísel a centrální limintí věty
Konvergence náhodných veličin
Nechť X\, X2, • • • je posloupnost náhodných veličin s distribučními funkcemi F(x\), F(x2), ■ ■ ■ a X náhodná veličina s distribuční funkcí F(x). Nechť jsou všechny tyto veličiny definovány na témže pravděpodobnostním prostoru (Q, A, P). Řekneme, že posloupnost X\, X2, ■ ■ ■ konverguje k X
1.  jistě, právě když pro všechna uěí! platí
lim Xn{uj) = X{uj)
n—>oo
2.  podle pravděpodobnosti, právě když pro všechna e > 0 platí
lim P(\Xn -X\>e)=0
n—>oo
3.  v distribuci (podle rozložení), právě když pro všechna igR platí
lim Fn(x) = F{x)
n—>oo
v každém bodě spojitosti funkce F(x).
Slabý zákon velkých čísel
Cebyševova věta: Nechť X\, X2, ■ ■ ■ jsou nekorelované náhodné veličiny jejichž střední hodnoty splňují vztah
lim -Vfifl,)^ í=i
a rozptyly jsou shora ohraničené týmž číslem ö. Pak posloupnost aritmetických průměrů
1   2              1   n
{Xh-J2Xí,...-J2xí,---} í=i                   í=i
konverguje podle pravděpodobnosti k číslu ß.
Bernoulliova věta: Nechť je dána náhodná veličina Yn ~ Bi(n,9), pak posloupnost relativních četností
\Ya—         —       i
konverguje podle pravděpodobnosti k parametru 9.
Centrální limitní věta a její důsledky
Lindebergova—Lévyova centrální limitní věta: Nechť X\,X2,... je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin se stejným rozložením, E(Xi) = ji, D(Xi) = a2,
2
i = 1,2,___Pak posloupnost standardizovaných součtů
n                   \»
í=i
o-\/n
konverguje v distribuci ke standardizované normální náhodné veličině.
3. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že doba potřebná k objevení a odstranění poruchy stroje - náhodná veličina Xi - má střední hodnotu E(Xi) = 40 minut a rozptyl D(Xi) = 900 minut. Jakou dobu si vyžádá objevení a odstranění 100 poruch, jestliže žádáme, aby tato hodnota nebyla s pravděpodobností 0,95 překročena?
Moivre—Laplaceova věta: Nechť Yi, I2, • • • je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin, Yn ~ Bi(n, 0), n = 1, 2 ... Pak posloupnost standardizovaných náhodných veličin
\ oo
Yn, - n9
\Vn-e(i-e)jn^
konverguje v distribuci ke standardizované náhodné veličině U ~ N(0,1).
Pozn.: Aproximace se považuje za vyhovující, jsou-li splněny podmínky
1                   n
n0{l - 0) > 9    a------- < 0 <
n+1            n+1
4- Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 10000 novorozenci bude
1.   více děvčat než chlapců;
2.   chlapců od 5000 do 5300;
3.   relativní četnost chlapců v mezích od 0,515 do 0,517
5. Víme, že v jisté oblasti je 80 % domácností vybaveno videem. Vylosujeme 900 domácností. Jaký bude s pravděpodobností 0.95 počet vybraných domácností, které vlastní video?
3
Poissonova věta: Nechť Yi, I2, • • • je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin, Yn ~ B(n, 9n), n = 1,2 ... a nechť platí lim nOn = A. Pak posloupnost Yi, I2, • • • konverguje
TI—>00
v distribuci k náhodné veličině Y ~ Po(X), tj. pro všechna y = 0,1, 2,... platí:
lim P(Fra < y) = V
t.oí!
e"A
Pozn.: Aproximace se považuje za vyhovující, jsou-li splněny podmínky n > 30 a 0 < 0,1.
6. Během zkoušky spolehlivosti se výrobek porouchá s pravděpodobností 0 = 0.05. Jaká je pravděpodobnost, že při zkoušení 100 výrobků se jich porouchá alespoň 5.
4