Popisná statistika
základní soubor X výběrový soubor
Naměřili jsme n hodnot
x1, x2, . . . , xn,
počet prvků souboru je tzv. rozsah souboru. Pro lepší zpracování data uspořádáme:
x(1)  x(2)      x(n)
a dostaneme uspořádaný soubor hodnot
Míry polohy
Průměr (resp. výběrový, aritmetický průmer)
x =
1
n
n
i=1
xi
p-kvantil (výběrový p-kvantil)
~xp =
x([np]+1) np = [np]
1
2 (x(np) + x(np+1)) np = [np]
,
kde [a] značí celou část z a a 0 < p < 1.
Míry variability
Rozptyl (výběrový rozptyl)
S2
=
1
n - 1
n
i=1
(xi - x)2
=
1
n - 1
n
i=1
x2
i - nx2
Kvartilové rozpětí
RQ = ~x0,75 - ~x0,25
Krabicový diagram (box plot, box and whisker plot, vousatá krabička)
"Krabička" je ohraničena hodnotami kvartilů a je zobrazen medián. Vousky znázorňují hodnoty,
které nejsou od jednotlivých kvartilů vzdálené o více jak 1,5 násobek RQ. Jednotlivě
jsou vyznačena pozorování, která jsou ve větší vzdálenosti.
1. Byly naměřeny hodnoty nějakého jevu:
10; 7; 7; 8; 8; 9; 10; 9; 4; 9; 10; 9; 11; 9; 7; 8; 3; 9; 8; 7
Určete průměr, medián, kvartily, rozptyl, mezikvartilové rozpětí a hodnoty znázorněte pomocí
krabicového diagramu.
1
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Náhodný výběr
Náhodným výběrem (rozsahu n) nazýváme posloupnost n stochasticky nezávislých náhodných
veličin X1, X2 . . . , Xn, které mají stejné rozložení, tedy Xi  F(xi), i = 1, 2, . . . , n.
Pozn.: Prakticky se s náhodným výběrem setkáváme při nezávislém vícenásobném opakování
téhož pokusu.
Statistika: Náhodná veličina, která vznikne transformací náhodného výběru, se nazývá sta-
tistika.
Významné statistiky:
* Výběrový průměr
M =
1
n
n
i=1
Xi
* Výběrový rozptyl
S2
=
1
n - 1
n
i=1
(Xi - M)2
=
1
n - 1
n
i=1
X2
i - nM2
* Výběrová směrodatná odchylka
S =

S2
2
2. Nechť X1, X2 . . . , Xn je náhodý výběr z rozložení, které má střední hodnotu  a rozptyl 2.
Vypočítejte střední hodnotu a rozptyl výběrového průměru M.
3. Předpokládejme, že velký ročník na vysoké škole má výsledky ze statistiky normálně rozloženy
kolem střední hodnoty 72 bodů se směrodatnou odchylkou 9 bodů. Určete pravděpodobnost, že
a) náhodně vybraný student bude mít výsledek nad 80 bodů
b) průměr výsledků náhodného výběru 10 studentů bude větší než 80 bodů.
Bodové a intervalové odhady
Nechť X1, X2, . . . , Xn je náhodný výběr z rozložení daného distribuční funkcí F(xi).
Nestranný odhad: Statistika T = g(X1, X2, . . . , Xn) (kde g je borelovská funkce) je nestranný
odhad parametru , právě když platí E(T) = .
* Jsou-li T1, T2 dva nestranné odhady parametru , pak řekneme, že T1 je lepší nestranný
odhad než T2, právě když platí D(T1) < D(T2).
* Řekneme, že T  je nejlepší nestranný odhad parametru , pokud je nestranným
odhadem a pokud platí D(T )  D(T), kde T je jakýkoli nestranný odhad parametru
.
Intervalový odhad: Nechť   (0; 1) je libovolné číslo a D = g1(X1, X2, . . . , Xn), H =
g2(X1, X2, . . . , Xn) jsou statistiky. Interval (D, H) se nazývá 100(1 - )% interval spolehlivosti
pro parametr , právě když platí:
P(D <  < H)  1 - 
Statistika H se nazývá horní odhad parametru  na hladině významnosti , právě když
platí:
P( < H)  1 - 
3
Intervalové odhady pro paramtery  a 2 jednoho normálního rozložení
1. Odhad parametru 
* pokud 2 známe
M =
1
n
n
i=1
Xi
U =
M - 
/

n
 N(0, 1)
D = M - 
n
u1-/2, H = M + 
n
u1-/2
* pokud 2 neznáme
T =
M - 
S/

n
 t(n - 1)
D = M - S
n
t1-/2(n - 1), H = M + S
n
t1-/2(n - 1)
2. Odhad paramteru 2
* pokud  známe
W =
n
i=1
(Xi - )2
2
=
n
i=1
Xi - 

2
=
n
i=1
U2
i  2
(n)
D =
nP
i=1
(Xi-)2
2
1-/2
(n)
, H =
nP
i=1
(Xi-)2
2
/2
(n)
* pokud  neznáme
K =
(n - 1)S2
2
 2
(n - 1)
D = (n-1)S2
2
1-/2
(n-1)
, H = (n-1)S2
2
/2
(n-1)
Intervaly spolehlivosti pro parametry dvou normálních rozložení
1. Interval spolehlivost c11 + c22
* pokud 1, 2 známe
V = c1M1 + c2M2 =
c1
n1
n
i=1
X1i +
c2
n2
n
i=1
X2i  N c11 + c22,
c2
12
1
n1
+
c2
22
2
n2
U =
(c1M1 + c2M2) - (c11 + c22)
c2
12
1
n1
+
c2
22
2
n2
 N(0, 1)
D = c1M1 + c2M2 -
c2
12
1
n1
+
c2
22
2
n2
 u1-/2
H = c1M1 + c2M2 +
c2
12
1
n1
+
c2
22
2
n2
 u1-/2
4
ˇ pokud 1, 2 neznáme, ale víme, že jsou si rovny
T =
(c1M1 + c2M2) - (c11 + c22)
S c2
1/n1 + c2
2/n2
 t(n1 + n2 - 2),
kde S2
 =
(n1-1)S2
1 +(n2-1)S2
2
n1+n2-2
D = c1M1 + c2M2 - t1-/2(n1 + n2 - 2)S c2
1/n1 + c2
2/n2
H = c1M1 + c2M2 + t1-/2(n1 + n2 - 2)S c2
1/n1 + c2
2/n2
2. Interval spolehlivosti pro
2
1
2
2
W =
S2
1/S2
2
2
1/2
2
 F(n1 - 1, n2 - 1)
D =
S2
1 /S2
2
F1-/2(n1-1,n2-1) , H =
S2
1 /S2
2
F/2(n1-1,n2-1)
4. Rychlost letadla byla určována v pěti zkouškách a z jejich výsledků byl vypočten odhad
m = 870, 3 ms-1. Najděte 95% interval spolehlivosti pro , je-li známo, že rozptýlení rychlosti
se řídí normálním rozložením se směrodatnou odchylkou  = 2, 1 m  s-1.
5. Bylo vylosováno 6 vrhů selat a z nich vždy dva sourozenci. Jeden z nich vždy dostal náhodně
dietu č. 1 a druhý dietu č. 2. Přírůstky v gramech jsou následující:
(62,52)',(54,56)',(55,49)',(60,50)',(53,51)',(58,50)'
Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro  = 1 - 2.
6. Nechť X1, . . . Xn je náhodný výběr z rozložení N(; 0, 04). Zvolme hladinu významnosti  =
0, 05. Jaký musí být nejmenší počet měření, aby šířka intervalu spolehlivosti pro neznámou
střední hodnotu  nepřesáhla číslo 0,16?
5
7. Při zjišťování přesnosti nově zaváděné metody pro stanovení obsahu manganu v oceli bylo
rozhodnuto provést čtyři nezávislá měření u oceli se známým obsahem manganu, který je roven
0,30 %. Stanovte dolní odhad pro  na hladině významnosti  = 0, 05, když výsledky měření
byly:
0,31 %, 0,30 %, 0,29 %, 0,32 %. Údaje o obsahu manganu v oceli považujeme za realizace
náhodného výběru rozsahu 4 z N(, 2)
7. V tabulce jsou uvedeny výsledky analýz niklu získané dvěma analytickými metodami. Stanovte
horní odhad pro podíl směrodatných odchylek obou metod při riziku  = 0, 05, jestliže
tyto výsledky považujeme za realizace nezávislých náhodných výběrů rozsahu 4 z N(1, 2
1) a
N(2, 2
2).
Metoda I: 3,26; 3,26; 3,27; 3,27
Metoda II: 3,23; 3,27; 3,29; 3,29
6