Matematika IV - 10. přednáška
Transformace a číselné charakteristiky náhodných
veličin
Michal Bulant
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
21. 4. 2008
ooooooooooooooooooo
Obsah přednášky
Transformace náhodných veličin
Q Číselné charakteristiky náhodných veličin
ooooooooooooooooooo
Doporučene zdroje
* Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text.
* Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a
matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230
stran, ISBN 80-867-3271-1.
* Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie
pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka
příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran,
ISBN 80-210-3313-4.
* Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Popisná
statistika, Masarykova univerzita, 3. vydání, 2002, 48 stran,
ISBN 80-210-1831-3.
* Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní
statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran,
ISBN 80-210-3886-1.
Číselne charakteristiky nahodr
ooooooooooooooooooo
Příklad (rozdelení x 2
( l ) )
Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu
transforomované náhodné veličiny X = Z2
.
Řešení
Zřejmě je pro x < 0 distribuční funkce nulová, pro x > 0
dostáváme: F*(x) = P[Z2
< x] = P[-y/x < Z < y/x\ =
1
-*-Ae 2 dz
'2ir Jo
a derivací podle x dostaneme hustotu
1
1
- i - í j
t 2 e 2 dŕ
2vr
6c(x) x 2 e 2 .
Rozdělení náhodné veličiny s touto hustotou se nazývá
(Pearsonovo) %2
rozdělení s jedním stupněm volnosti a značí se
x - Y2
m.
Číselne charakteristiky nahodr
ooooooooooooooooooo
Transformace náhodných veličin
Místo náhodné veličiny X, např. ,,roční plat zaměstnance",
budeme vyčíslovat jinou závislou hodnotu ip(X), např. ,,roční čistý
příjem zaměstnance po zdanění a včetně sociálních dávek". V
systému se značnou sociální solidaritou je první veličina hodně
variabilní, zatímco druhá může být skoro konstantní. Statisticky se
proto budou značně odlišovat.
Připomeňme si přechod od binomického k Poissonovu rozdělení
z minulé přednášky:
Věta (Poissonova)
Je-li Xn ~ Bi(n,p,,) taková, že lim,,_-+00 npn = X a X - Po(A), pak
lim P[Xn = k] --
n-->oo
= P[X == k]
pro k = 0,1,....
Číselne charakteristiky nahodr
ooooooooooooooooooo
Binomické rozdělení Bi(n,p) odpovídá n-krát nezávisle
opakovanému pokusu popsanému alternativním rozdělením,
přičemž naše náhodná veličina měří počet zdarů. Je tedy
fx(t)
Dťil-p)1
-' t G {0,1,..., n}
jinak
lim P(Xn = k)= lim ír
") ( n 1)r
" k
Poissonovo rozdělení popisuje náhodné veličiny
s pravděpodobnostní funkcí
fx (ŕ) = ^ e " A
p r o ř G N
.. rn(rn-l)...(rn-k + l) 1 / l V "
h m
1 7Ü 77 I ! - - I
n->oo ( n -- 1)K
k\
-- hm 1 + -- M = T T e
Číselne charakteristiky nahodr
ooooooooooooooooooo
Nejjednodušší funkcí, po konstantách, je afinní závislost
ip(x) = a + bx.
V případě afinní závislosti x = \{y -- a) je proto pravděpodobnostní
funkce nenulová právě v bodech y, = ax; + b.\l případě rozdělení
Xn typu Bi(n, p) převádí transformace x = y^np(l -- p) + np
náhodnou veličinu Xn na rozdělení Yn s distribuční funkcí blízkou
distribuční funkci spojitého rozdělení A/(0,1).
Dříve uvedená Poissonova věta popisuje asymptotické chování
binomického rozdělení pří n --> oo a p --> 0, následující věta pak
chování v případě konstantní pravděpodobnosti zdaru p.
Věta (de Moivre-Laplaceova)
Pro náhodné veličiny Xn s rozdělením Bi(n,p) platí
Xn - np
lim P
n-->oo
a < <b Hb) - ^(a),
y/np(l - p)
kde <t> je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení.
Příklad
Hodíme kostkou celkem 12 000 krát. Určete pravděpodobnost toho, I
že počet hozených šestek je mezi 1800 a 2 100.
Řešení
Přesná pravděpodobnost je dána výrazem
Z S  o C T K ^ a ) 1 2 0 0 0
^ což je obtížně vyčíslitelné.
Využijeme tvrzení Moivre-Laplaceovy věty, přepsaného do tvaru
P[A<Xn<B]-(<t>( B
~np
) - * ( A
~np
) ) pro
n -->ˇ 0.
Řešení (pokr.)
Volbou p = 1/6, A = 1800, B = 2100, n = 12000 dostáváme odhad
<t>
2100 - 2000
'12000 - i f
<t>
1800 - 2000
'12000 - i f
<Í>(V6) - <t>(-2^6) -0,992.
Poznámka
Statistické tabulky - viz např. h t t p s : / / i s . m u n i . c z / a u t h / e l /
1433/jaro2008/MB104/um/StatTab.pdf nebo sbírka příkladů
[BMO]. Osecký.
Příklad
Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je
pravděpodobnost, že mezi tisíci novorozenci bude alespoň tolik
děvčat jako chlapců?
Příklad
Nezávisle opakujeme pokus s výsledky 1 a 0, které mají neznámé
pravděpodobnosti p a 1 -- p. Parametr p chceme odhadnout
pomocí relativních četnostíXn/n (Xn je počet jedniček při n
pokusech). Víme, zeje Xn ~ Bi(n,p), proto nám
Moivre-Laplaceova věta umožní určit počet pokusů n potřebný k
zajištění požadované přesnosti odhadu ö se spolehlivostí 1 -- ß.
Využijeme Moivre-Laplaceovu větu zapsanou ve tvaru
Xn
0 = lim
n-->oo
<D
nS
\/np(l - p)
<5
<D
nS
\/np(l - p)
Řešení
Hledáme nejmenší n, splňující nerovnost
P[\Xn/n -- p\ < ö] > 1 -- ß, kterou můžeme podle věty
aproximovat nerovností
Ta je ekvivalentní s podmínkou nö/\Jnp{l
z{p) je řešení rovnice <t>(z(p))
-p)>z(ß/2), kde
1 -- p (tzv. kritická hodnota
normovaného normálního rozdělení). Pro ö = 0, 05 a 1 -- ß = 0, 9
máme z tabulek z(/3/2) w 1, 645 a s využitím zřejmého odhadu
p ( l - p) < 1/4 dostáváme n > (z(ß/2)/25)2
w 270,6.
ooooooooooooooooooo
Transformace normálně rozložené veličiny
Podobně zkusme opačnou transformaci provést na veličinu Y s
normálním rozdělením A/(0,1). Pro pevně zvolená čísla /x, a G M,
a > 0 spočtěme rozdělení náhodné veličiny Z = ß + a Y.
Dostáváme distribuční funkci
Fz(z) = P(Z < z) = P{ß + uY < z)
/x,
M^)a
1
e"*2
/2
*
2vr
(*-Mr
e 2T2 d x ,
2-7T(T
kde poslední úprava vychází ze substituce x = /j, + at. Hustota
naší nové náhodné veličiny Z j e proto
1 (*-M)2
e 2<72
2"7T<T
a takovému rozdělení se říká normální typu N(/J,<T).
Číselne charakteristiky nahodr
ˇoooooooooooooooooo
Střední hodnota
Při statistickém zkoumání hodnot náhodných veličin (např.
zpracování výsledků nějakého měření) hledáme výpovědi o náhodné
veličině pomocí různých z ní odvozených čísel.
Jako nejjednodušší příklad může sloužit střední hodnota1
E{X)
náhodné veličiny X, která je definována
E(X)
Ylix
i ' 6c(x
/) pro diskrétní veličinu
J^oo x
' 6c(x
) dx pro spojitou veličinu.
Obecně střední hodnota náhodných veličin nemusí existovat,
protože příslušné sumy či integrály nemusí konvergovat.
^asto se místo E(X) pise EX.
oooooooooooooooooo
Střední hodnota transforomováné náhodné veličiny
Střední hodnotu můžeme přímo vyjádřit také pro funkce Y = ip(X)
náhodné veličiny X. V diskrétním případě můžeme přímo spočíst
j
j í/,(X;)=yi
= X>(x,)P(X = x,).
i
Je tedy E(ip(X)) přímo spočítatelná pomocí pravděpodobnostní
funkce 5cPodobně
vyjadřujeme střední hodnotu funkce ze spojité náhodné
veličiny:
/
oo
V(x)fx(x)dx,
-oo
pokud tento integrál absolutně konverguje.
Transformace náhodných veličin Číselne charakteristiky náhodných ve
ooooooooo oooooooooooooooooo
icm
Příklad
Spočtěme střední hodnotu binomického rozdělení.
Pro X ~ Bi(n,p) je
E{x) = Yjk-(n
\pk
{i-PyI,--n
\ /k=0
*T^i^^->r>
n-l
j=0 v JJJ
np.
Číselne charakteristiky nahodr
oooooooooooooooooo
Základní vlastnosti střední hodnoty
roffii
Necht a, b e R 3 X, Y jsou náhodné veličina s existující střední
hodnotou. Pak
* E(a) = a,
* E(a + bX) = a + bE(X),
* E(X + Y) = E(X) + E(Y),
* jsou-li X a Y nezávislé, pak E(XY) = E{X) E (Y).
Důkazy těchto tvrzení jsou přímočaré, zkuste si je udělat!
Analogická tvrzení platí i pro náhodné vektory.
Příklad
Spočtěme ještě jednou střední hodnotu binomického rozdělení,
tentokrát s využitím vlastností střední hodnoty.
Řešení
Vyjádříme počet zdarů v n pokusech jako počet zdarů v
jednotlivých pokusech
X
k=\
přičemž náhodné veličiny Yk mají všechny alternativní rozdělení
A{p). Snadno spočítáme E{Yk) = 1 p + 0 ( l -- p) = p. Dále víme,
že střední hodnota součtu je součtem středních hodnot, proto
E(X) = Y,E(Yk) np.
k=\
Dalšími užitečnými charakteristikami jsou tzv. kvantily. Pro ryze
monotóní distribuční funkci Fx (tj. spojitou náhodnou veličinu X
s všude nenulovou hustotou, jako je tomu např. u normálního
rozdělení) jde prostě o inverzní funkci F^1
: (0,1) --> R. To
znamená, že hodnota y = F~1
{a) je taková, že P(X < y) = a.
Obecněji, je-li fx(x) distribuční funkce náhodné veličiny X, pak
definujeme kvantilovou funkci2
F-1
{a) = inf{x G R; F(x) >a}, a e (0,1).
Zřejmě jde o zobecnění předchozí definice.
Nejčastěji jsou používané kvantily s a = 0.5, tzv. medián,
s a = 0.25, tzv. první kvartil, a = 0.75, tzv. třetí kvartil, a
podobně pro decily a percentily (kdy je a rovno násobkům desetin
a setin). K těmto hodnotám se vrátíme v popisné statistice později.
2
Uvědomte si, že jsme se již s kvantily setkali, jen jsme jím tak zatím
neříkali.
oooooooooooooooooo
Rozptyl a směrodatná odchylka
Tyto číselné charakteristiky rozdělení náhodné veličiny nepopisují
nějakou střední či typickou hodnotu (jako střední hodnota či
medián), ale míru ,,kolísání' náhodné veličiny kolem střední
hodnoty.
Rozptylem (variancí) náhodné veličiny X, která má konečnou
střední hodnotu, nazýváme číslo
D(X) = varX = E([X - E(X)]2
),
odmocnina z rozptylu \JD(x) se pak nazývá směrodatná
odchylka.
Základní vlastnosti rozptylu
Pro náhodnou veličinu X a reálna čísla a, b platí:
O D{X) = E(X2
) - E{Xf,
O D(a + bX) = b2
D(X),
O ^D(a + bX) = \b\^/Ď(XJ.
Důkaz.
Důkaz je přímočarý - nejprve se dokáže 2. tvrzení, pak se z něj
tvrzení první. Poznamenejme, že tvrzení 1 se často používá
k výpočtům D{X). D
oooooooooooooooooo
Kovariance
O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv.
kovariance, definovaná předpisem
C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]).
Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované
Pro náhodné veličiny s existujícími rozptyly platí:
O (X,Y) = C(Y,X),
9 C(X,X) = D(X),
O C(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y),
O C(a + bX,c + dY) = bdC(X, Y),
Q D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2C(X, Y), speciálně, jsou-li
X, Y nezávislé, je D(X + Y) = D(X) + D{Y), tj.
C(X, Y) = 0 a X, Y jsou nekorelované.
Číselne charakteristiky nahodr
oooooooooooooooooo
Koeficient korelace
Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou
normovaných náhodných veličin:
R(X, Y) = px>Y = C
X-E(X) Y-E(Y)
Transformace náhodných veličin
ooooooooo
Číselne charakteristiky náhodných v
oooooooooooooooooo
li cm
Příklad ^
Spočtěme rozptyl binomického rozdělení.
Řešení
Stejně jako dříve lze psát X = J2"k=i Yk, kde Y\,... ,Yn jsou
nezávislé náhodné veličiny vyjadřující úspěch v k-tém pokusu.
I2
* p + O2
* (1 - p) = p, proto
: p -- p2
= p(l -- p). Protože pro
ED(Yfc),je
Snadno vypočteme E(Y%)
D{Yk) = E(V2
) - E{Ykf
nezávislé Yk platí D(Y^ Yk)
D(X) = np(l-p).
Všimněme si, že výraz Xn -- np/\/np(l -- p) vystupující
v Moivre-Laplaceově větě je totéž, co Xn -- E(Xn)/\jD(x) a jde
tedy o tzv. normovanou náhodnou veličinu (tj. veličinu lineárně
transforomovanou tak, aby měla střední hodnotu 0 a rozptyl 1).
Moivre-Laplaceova věta pak říká, že pro n --> oo se rozložení této
náhodné veličiny blíží normovanému normálnímu rozdělení A/(0,1).
OOOOOOOOOOO0OOOOOOO
Další momenty
Někdy je užitečné studovat řadu dalších charakteristik rozdělení
náhodných veličin. Za rozumných předpokladů jsou definovány
k-té obecné momenty
ß'k E(Xk
)
a k-té centrální momenty
ßk = E([X-E(X)]k
).
Pomocí momentů pak definujeme např. šikmost (asymetrii)
náhodné veličiny X jako
M3
vwr
nebo špičatost (exces) jako
_JM_
D(x)2
3.
Kladná šikmost distribuce (více vysokých kladných hodnot než
odpovídá normálnímu rozdělení s nulovou šikmostí).
Momentová vytvořující funkce
Definice
Reálnou funkci proměnné t G M Mx(t) = E(etX
) nazveme
momentovou vytvořující funkcí náhodné veličiny X.
Poznámka
Je-li X např. spojitá, platí
/
oo
etx
f(x)dx =
-oo
f°° t2
X2
= / (1 + t x + i -- + ...)f(x)dx
a ,,iI t
Ví
= i +1A + -^ +'''
a jde vlastně o exponenciální vytvořující funkci posloupnosti /c-tých
obecných momentů //fc.
BSH
Pro momentovou vytvořující funkci platí:
* A = ŮM
x{t) |t=0.
* Platí-li Mx{t) = MY{ť) pro všechna t e (-b, b), mají
náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. Fx(x) = FY{x).
* Ma+bX(t) = eat
Mx{bt).
* Jsou-li X, Y nezávislé, je Mx+y(r) == Mx(t)MY(t).
Transformace náhodných veličin Číselne charakteristiky náhodných ve
ooooooooo oooooooooooooooooo
icm
I Příklad 1
Určete momentovou vytvořující funkci binomického rozdělení.
Řešení
M(ř) = E(etX
) =í>"(k=0 v
n
^pk
{i-Py-k
=
k 0
) ( p e ř
) k
( l --pf-k
=
= ( p e ' + ( 1 - P ) ) " =-- (p(ef
- 1 ) + 1 ) " .
Snáze jsme mohli funkci u
momentové vytvořující fun
E(etX
) = e t l
- p + e t 0
( l
rčit s využitím předchozích vět a
kce alternativního rozdělení, neboť
- p) = p(ef
- 1) + 1.
Příklad
Naposled spočtěme střední hodnotu a rozptyl binomického
rozdělení, tentokrát s využitím vytvořující funkce.
Řešení
M(t) = (P(é -1) +1)" proto je
m- = "(P(ef
--1) + iy- "Vp,
což pro ř = 0 dá E(X) = //x = np.
Podobně spočítáme i D{x) = //2 --(ß'i)2
-
oooooooooooooooooo
Momenty normálního rozděleni
Přímý výpočet střední hodnoty a rozptylu normovaného normálního
rozdělení není triviální. S využitím momentové vytvořující funkce je
ale poměrně jednoduchý.
Nechť Z >
Mz(t)
A/(0,1). Pak
1-,tz
-oo
oo
2vr
exp
exp áz
2tz + t2
exp exp
(z - tf
áz
áz = e x p ( Poslední
integrál je roven 1 díky tomu, že na místě integrované
funkce je funkce s vlastnostmi hustoty.
S využitím předchozího výpočtu Mz(t) = exp í y j snadno
spočítáme, že
A4(ŕ) = ŕ e x p ( | ) ,
A^(ŕ) = ŕ 2
e x p ( ^ ) + e x p ( ^ ) .
Dosazením ŕ = 0 pak dostaneme
E(Z) = 0,D(Z) = 1.
Pro transformovanou náhodnou veličinu Y = ß + aZ ~ A/(/x, <r2
)
pak snadno odvodíme z vlastností střední hodnoty, resp. rozptylu,
že E(Y) = ß, D{Y) = a2
(což zpětně zdůvodňuje zápis N(ß,a2
)).
Momentová vytvořující funkce má tvar
MY(t) = exp(ßt + a2
--).