Testování hypotéz
Matematika IV ­ 14. přednáška
Testování hypotéz
Michal Bulant
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
19. 5. 2008
Testování hypotéz
Obsah přednášky
1 Testování hypotéz
Testování hypotéz
Doporučené zdroje
Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text.
Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a
matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230
stran, ISBN 80-867-3271-1.
Marie Budíková, Statistika , Masarykova univerzita, ESF,
distanční studijní opora, Brno 2004, 176 stran, http:
//www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip
Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie
pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka
příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran,
ISBN 80-210-3313-4.
Testování hypotéz
Motivační úvod
Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou
pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází
daný náhodný výběr. Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o
parametrech tohoto rozdělení.
Definice
H0 . . . nulová hypotéza (např.  = c, kde c vyjadřuje naši
domněnku o hodně parametru )
H1 . . . (oboustranná) alternativní hypotéza (obvykle negace nulové)
Testováním H0 oproti alternativní hypotéze rozumíme postup
založený na náhodném výběru, s jehož pomocí platnost H0
zamítneme nebo nezamítneme (= připouštíme).
Chyba 1. druhu . . . H0 platí a my ji zamítneme (závažnější)
Chyba 2. druhu . . . H0 neplatí a my ji nezamítneme
Pravděpodobnost chyby 1. druhu se nazývá hladina významnosti
(, obvykle  = 0, 05), pravděpodobnost chyby 2. druhu se značí 
a číslo 1 -  se nazývá síla testu.
Testování hypotéz
Způsoby testování nulové hypotézy
1 pomocí intervalu spolehlivosti
2 pomocí kritického oboru
3 pomocí tzv. p-hodnoty (p-value)
Interval spolehlivosti Na základě realizace náhodného výběru
sestrojíme 100(1 - )% interval spolehlivosti pro
neznámý parametr  a zjistíme, zda c patří do tohoto
intervalu. Pokud ano, hypotézu H0 nezamítáme
(v opačném případě zamítáme) na hladině
významnosti .
Kritický obor Stanovení kritického oboru je postup do jisté míry
obrácený. Nejprve (i bez náhodného výběru) zvolíme
vhodnou statistiku T a množinu hodnot, jichž může
T nabývat, rozdělíme na dvě disjunkntí podmnožiny:
obor nezamítnutí H0 (značíme V ) a kritický obor
W (obor zamítnutí H0). Pokud realizace T padne do
W , pak H0 zamítneme, jinak nezamítáme.
Testování hypotéz
Stanovení kritického oboru na hladině 
Pro statistiku T (testové kritérium) stanovíme obor nezamítnutí V
jako interval, jehož hraniční body tvoří kvantil /2 a 1 - /2,
odtud je
W = (-, F-1
(/2))  (F-1
(1 - /2), ).
Testování hypotéz
Způsoby testování nulové hypotézy
p-hodnota Testování pomocí p-hodnoty se jednoduchý test,
umožněný rozšířením statistických balíků. p-hodnota
udává nejnižší možnou hladinu významnosti, při níž
H0 zamítáme. Je-li p-hodnota > , hypotézu H0
nezamítáme, pro p-hodnotu menší než , hypotézu
zamítneme.
p-hodnota se stanoví rovněž se znalostí konkrétní
realizace t0 statistiky T náhodného výběru jako
p = 2 min{P(T  t0), P(T  t0)}.
Testování hypotéz
Testování hypotézy proti jednostranné alternativě
Je-li H0 hypotéza  = c, pak levostranná alternativní hypotéza je
tvrzení  < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení  > c.
Volba typu alternativní hypotézy vyplývá z konkretní situace.
Příklad
V předmětu Matematika 3 psali studenti písemku rozdělení na
2 skupiny. Hypotéza H0 : obě zadání mají stejnou průměrnou
obtížnost je testována oproti oboustranné alternativní
hypotéze zadání nejsou stejně obtížná.
V předmětu Matematika 3 se dříve po studentech
nevyžadovalo řešení domácích úloh. Toto bylo nyní nově
zavedeno s cílem dosažení lepších výsledků studentů u
závěrečné zkoušky.
V tomto případě zřejmě použijeme nulovou hypotézu H0 :
výsledné bodové hodnocení se nezlepšilo oproti pravostranné
alternativní hypotéze H1 : bodový výsledek studentů se zlepšil
Testování hypotéz
Jednoduchý příklad
Příklad
Náš protivník hodil 60x kostkou a padla mu 16x šestka. Testujme
na hladině významnosti  = 0, 05 nulovou hypotézu H0 : kostka
není upravená oproti jednostranné alternativní hypotézeH1 : kostka
je upravená tak, aby padalo více šestek.
Řešení
Statistika T (počet šestek) ma rozdělení T  Bi(60, 1/6). Kritický
obor je dán 95. percentilem tohoto rozdělení. Snadno vypočteme,
že P(T > 14) = 0, 065 a P(T > 15) = 0, 034, proto p-hodnota
rovna 0,034 (nebo jinými slovy: kritickým oborem na hladině 0,05
je interval 16, ). Hypotézu H0 tedy zamítáme ­ na hladině 0, 05
můžeme tvrdit, že kostka je upravená.
Testování hypotéz
Jednoduchý příklad ­ pokr.
Řešení (pomocí aproximace)
Porovnejme předchozí řešení příkladu s řešením, při kterém
využijeme aproximaci pomocí de Moive-Laplaceovy věty. Náhodnou
veličinu
X =
T - 10
50/6
lze považovat za veličinu mající normální rozdělení N(, 2) s
jednotkovým rozptylem 2 = 1, testovat budeme hypotézu  = 0.
Kritickým oborem N(0, 1) je interval (1, 65, ) (stále uvažujeme
pravostranou alternativu). Přitom pro realizaci statistiky X platí
x = (16 - 10)/ 50/6  2, 08 a hypotézu tedy opět zamítáme.
Jednostranným intervalem spolehlivosti pro X je
((2, 08 - 1, 65)/

60, ) a protože do něj nepatří hodnota 0
zamítáme nulovou hypotézu (všimněte si, že v obou případech
rozhodlo porovnání 1, 65 < 2, 08).
Testování hypotéz
Jednoduchý příklad ­ pokr.
Řešení (pomocí aproximace a p-hodnoty )
Určeme nejmenší pravděpodobnost p, při níž stále ještě zamítáme
nulovou hypotézu  = 0 oproti pravostranné hypotéze  > 0 (tj.
p-hodnotu). Má-li X rozdělení N(0, 1), pak
p = P(X  2, 08) = 1 - 0, 981 = 0, 019.
Protože je  = 0, 05 > 0, 019, opět hypotézu zamítáme.
Testování hypotéz
Základní testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení
Podobně jako statistiky při konstrukci intervalů spolehlivosti jsou i
základní testy standardizované (není divu, jak jsme viděli, jde o
úzce propojené pojmy).
z-test Nechť je X1, . . . , Xn náhodný výběr z rozdělení
N(, 2) se známým 2 a n  2. Test H0 :  = c
proti alternativní hypotéze  = c se nazývá z-test.
jednovýběrový t-test Nechť je X1, . . . , Xn náhodný výběr z
rozdělení N(, 2) s neznámým 2 a n  2. Test
H0 :  = c proti alternativní hypotéze  = c se
nazývá jednovýběrový t-test.
dvouvýběrový t-test Nechť je X11, . . . , Xm1 náhodný výběr z
rozdělení N(1, 2) a X12, . . . , Xn2 na něm nezávislý
náhodný výběr z rozdělení N(2, 2) s m, n  2 a
neznámým 2. Test H0 : 1 - 2 = c proti
H1 : 1 - 2 = c se nazývá dvouvýběrový t-test.
Testování hypotéz
Základní testy hypotéz o parametrech normálním rozdělení
párový t-test Nechť je (X1, Y1)T , . . . , (Xn, Yn) výběr z rozdělení
N
1
2
,
2
1 12
2
12 2
2
s n  2 a neznámými parametry. Test
H0 : 1 - 2 = c oproti H1 : 1 - 2 = c se nazývá
párový t-test.
F-test Nechť je X11, . . . , Xm1 náhodný výběr z rozdělení
N(1, 2
1) a X12, . . . , Xn2 na něm nezávislý náhodný
výběr z rozdělení N(2, 2
2) s m, n  2. Test
H0 : 2
1/2
2 = 1 proti H1 : 2
1/2
2 = 1 se nazývá
F-test.
test rozptylu Nechť je X1, . . . , Xn náhodný výběr z N(, 2)
s neznámým  a n  2. Test H0 : 2 = c proti
H1 : 2 = c se nazývá test o rozptylu.
Testování hypotéz
Kritický obor testů normálního rozdělení
z-test |(M - c)/(/

n)|  u1-/2
jednovýběrový t-test |(M - c)/(S/

n)|  t1-/2(n - 1)
dvouvýběrový t-test
M1 - M2 - c
S
1
m + 1
n
 t1-/2(m + n - 2)
párový t-test sestrojením rozdílu Zi = Xi - Yi a  = 1 - 2
úlohu předvedeme na jednovýběrový t- test
F-test S2
1 /S2
2  F/2(m - 1, n - 1) nebo
S2
1 /S2
2  F1-/2(m - 1, n - 1)
test rozptylu (n - 1)S2/c  2
/2(n - 1) nebo
(n - 1)S2/c  2
1-/2(n - 1)
Testování hypotéz
Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test
Příklad
Uvažme bodové výsledky studentů z 2. termínu zkoušky předmětu
MB103, přičemž výsledky testů skupiny A a skupiny B považujme
za dva nezávislé výběry z normálního rozdělení. Úkolem je zjistit,
jestli výsledky některé ze skupin byly statisticky významně horší.
Testujme nulovou hypotézu H0 : 1 - 2 = 0 oproti alternativní
hypotéze H1 : 1 = 2.
Řešení
Nejprve pomocí F-testu otestujeme hypotézu o stejných
rozptylech, v případě úspěchu poté použijeme dvouvýběrový t-test.
Vypočteme základní statistiky:
rozsah výb. průměr výb. rozptyl
A 65 10,48 22,49
B 64 7,21 29,75
Testování hypotéz
Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.))
Dostáváme S2
1 /S2
2 = 0, 76 a protože F(0, 025; 64; 63) = 0, 61,
nezamítáme hypotézu o rovnosti rozptylů. O tomtéž se
přesvědčíme i vypočtením intervalu spolehlivosti
S2
1 /S2
2
F1-/2(m - 1, n - 1)
,
S2
1 /S2
2
F/2(m - 1, n - 1)
 (0, 46; 1, 24),
v němž leží testovaný podíl rozptylů 1.
Budeme tedy dále s výběry pracovat s předpokladem, že mají
stejný rozptyl a použijeme dvouvýběrový t-test.
Testování hypotéz
Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.))
Vypočteme vážený průměr výběrových rozptylů
S2
 =
(m - 1)S2
1 + (n - 1)S2
2
m + n - 2
 5, 112
,
dále M1 - M2 = 3, 27. V tabulkách najdeme hodnotu
t0,975(65 + 64 - 2) = 1, 98, a protože
T =
M1 - M2
S
1
65 + 1
64
 3, 64,
docházíme k závěru, že můžeme hypotézu o stejné střední hodnotě
obou rozdělení (tj. hypotézu 1 = 2) zamítnout (neboť
3, 64 > 1, 98).Toto opět ověříme výpočtem intervalu spolehlivosti,
který má střed v M1 - M2 a velikost rovnou dvojnásobku
S
1
m + 1
n t1-/2(m + n - 2)  1, 78, proto je interval
spolehlivosti (1, 49; 5, 05).