Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsai Rozklady podle podgrup Q Normální podgrupy • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Předmětové záložky v IS MU • Jiří Rosický, Algebra, PřF MU, 2002. • Peter J. Cameron. Introduction to algebra, Oxford University Press, 2001, 295 s. (Dostupné v knihovně PřF). Rozklady p< H&Sfl Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b-1 ■ a G H, tj. a-1 • b G H . Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e G H, • je-li b'1 ■ a = h e H, potom a"1 • b = (b'1 • a)"1 = h'1 G H, • je-li c-1 ■ b £ H a zároveň je b-1 ■ a G H, potom c-1 ■a = c-1 ■ b- b-1 ae H. Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a G a ■ H) a skutečně platí, že a- H = {ah; h e H}, neboť prvek oje ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto způsobem vyjádřit. Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme G/H. Obdobně definujeme pravé třídy rozkladu H ■ a. Příslušná ekvivalence je: a ~ b, jestliže a ■ b-1 G H. Proto H\G = {H a; a e G}. Pro třídy rozkladu grupy platí: Q Levé a pravé třídy rozkladu podle právě tehdy když pro každé a e G podgrupy H d G splývají , he H platí a ■ h ■ a-1 G H. 9 Všechny třídy (levé i pravé) mají shodnou mohutnost jako podgrupa H. 9 Zobrazení a ■ H i—► H ■ a-1 zadává pravými třídami rozkladu G podle bijekci mezi levými a H. Poznámka Rozmyslete si, proč je v posledním tvrzení a 1 a nikoliv a. Důsledek * Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom 9 Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\- \H\ 9 Přirozené číslo \H \ je < dělitelem čísla n. 9 Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. 9 pro každé a e G je a" = e. 9 je-li mohutnost grupy G prvočíslo p, pak je G izomorfní cyklické grupě Zp. Druhému tvrzení se říkává Lagrangeova věta, předposlednímu malá Fermatova věta (častěji ovšem ve speciálním případě grupy (Zp, •)) Snadnými důsledky předchozího jsou následující věty: Věta (Malá Fermatova) Pro libovolné prvočíslo p a číslo a G Z nedělitelné p platí ap_1 = 1 (mod p). Věta (Eulerova Pro libovolné m G N a každé a G Z splňujícíma, m) = 1 platí a^m) = 1 (mod m). Norm Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a-1 G H pro všechna a e G, h G H, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Tvrzení Podgrupa H je normální právě tehdy když pro každé a G G platí a ■ H = H ■ a (jinými slovy: levý rozklad G podle podgrupy H je shodný s pravým rozkladem). Důsledek • 1 < G, G o G 9 V komutativní grupě je každá podgrupa normální 9 Je-li H podgrupa konečné grupy G, kde \H\ normální. \G\/2, pak je H Příklad • Dihedrální grupa Din má vždy normální podgrupu izomorfní Z„. Levý (i pravý) rozklad podle této podgrupy je dvojprvková množina {Zn,s-Z„}- • (f2) = {'d, ľ2} je normální podgrupa v D%. Levý rozklad podle této podgrupy je čtyřprvková množina {{id,r2},{r,r},{s,sr2},{sr,sr3}}. Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H vztahem {aH){b-H) = {ab)H. Skutečně, volbou jiných reprezentantů a ■ h, b ■ h' dostaneme opět stejný výsledek (a • h- b-h')- H = ((a • b)- (b'1 hb)tí)H. Je-li H normálni podgrupou G, tvoří rozklad G j H s násobením definovaným prostřednictvím reprezentantů grupu. Je-li G komutativní, je i G/H komutativní. ríL = {na; a G Z} C Z zadává pro libovolné n G N podgrupu Z a její faktorgrupou (až na izomorfismus) je aditivní grupa zbytkových tříd Z„ (přitom pro n = 1 jde o triviální grupu) . Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální1). V nekomutativním případě je situace výrazně složitější - až v roce 1982 (samozřejmě s pomocí počítačů) se podařilo završit úsilí o úplnou klasifikaci jednoduchých grup. Například alternující grupa An (tj. podgrupa sudých permutací grupy Z„) je jednoduchá pro n > 5 , z čehož (s pomocí tzv. Galoisovy teorie) plyne nemožnost existence obecných vzorců pro kořeny polynomů stupně 5 a vyššího. ^SS stran "tvrdé" matematiky Všechna jádra homomorfismu jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H c G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu) p : G —> G j H, a i—> a ■ H je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismu. Věta (první, základní) Pro libovolný homomorfismus grup f : G -► K je dobře definován také homomorfismus f : Gj ker f - » K, f (a ■H) = ŕ(a), který je injektivní. Zejména dostáváme G/ ker f = f(G). Normalizátorem podgrupy B y G rozumíme množinu Nq{B) = {g G G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; B je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G). Věta (druhá, diamantová] Nechi A, B < G jsou podgrupy splňující A < Nc(B). Pak (A n ß) o A a platí AB/B^A/(Af]B). Věta (třetí) Jsou-li A, B <\G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí (G/A)/(B/A) - G/B. Věta (čtvrtá, svazový izomorfismus) Nechi je N <\ G. Pak existuje bijekce mezi množinou podgrup A obsahujících N a množinou podgrup A/N faktorgrupy G/N. Navíc normálním podgrupám odpovídají normální podgrupy. Příklad Určete svaz podgrup Dg grupy symetrií čtverce a odvodte z něj svaz podgrup Dg/ < r2 >. Příklad Zdánlivě paradoxní je příklad homomorfismu C* —► C* definovaný na nenulových komplexních číslech vztahem zwz^s přirozeným k. Zjevně jde o surjektivní homomorfismus a jeho jádro je množina k-tých odmocnin z jedničky, tj. cyklická podgrupa Z^. První věta o izomorfismu tedy dává pro všechna přirozená k izomorfismus f : C*/Zk-> C*. Tento příklad ukazuje, že u nekonečných grup nejsou počty s mohutnostmi tak přehledné jako u konečných grup