Matematika IV - 4. přednáška Rozklady grup (faktorgrupy), okruhy a tělesa
Michal Bulant
Masarykova univerzita Fakulta informatiky
10. 3. 2008
oooooooooooo
Obsa I
Opakování
Q Okruhy a tělesa
•  Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text.
•  R. B. Ash, Abstract algebra,
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html.
•  Jiří Rosický, Algebra, PřF MU, 2002.
•  dále Předmětové záložky v IS MU
Duální pojmy
•   Homomorfismus f => normální podgrupa ker f
•   Normální podgrupa H => homomorfismus G —>■ G/H
Všechna jádra homomorfismů jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H < G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu)
p : G —> G j H,     a i—> a ■ H
je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismů.
Věta (první, základní)			
Pro libovolný homomorfismus	grup f :	G -►	K je dobře definován
také homomorfismus			
f : Gj ker f -	» K,  f (a	■H)	= ŕ(a),
který je injektivní.			
Zejména dostáváme G/ ker f	= f(G).		
Předchozí věta je nejčastěji používanou větou z vět o izomorf ismech. Používá se zejména pro určení struktury faktorgrupy (resp. často spise pro potvrzení, tj. důkaz, intuitivně zřejmé struktury).
Příklad
Čemu je izomorfní faktrogrupa regulárních matic řádu n nad podle podgrupy matic determinantu 1 (tj., čemu se rovná GLn(R)/SL„(R))?
Řešení
Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že
zmíněná faktorgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n
matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá
se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových
reálných čísel Rx s operací násobení (díky Cauchyově větě o
determinantu součinu matic).
To, zeje to skutečně ono, dokážeme pomocí konstrukce
surjektivního homomorfismu z (GL„(R),o) do (Kx, •), jehož
jádrem bude právě SL„(R).
Nyní už by mělo být vidět, že přirozenou volbou pro takový
homomorfismus je A i—> det(A).
Příklad                                                                                                ~*							
Nechť (G, o)	je grupa	nekonstantních lineárních z			obražení reá		ných 1
čísel s operac	í skládání	zobrazení, tj.					
G =	{f : R-	► R|	f (x) = ax	+ b,aeRx	ŕ>G	R}.	
Určete, která	z podgru	P					
	T = {f:	R	->M|ŕ(x)	= ax, a G R"	}		
	S = {f:	R	->M|ŕ(x)	= x + b, b G	R}		
je normální a	v případě	normality určete struktun			přís	ušné	
faktorgrupy.							
Normálni je S, hledaný homomorfismus na faktorgrupu (Rx,) pak f i—> a (pro f (x) = ax + b).
oooooooooooo
Další
Součinem podgrup A, B < G rozumíme podgrupu AB = {ab\a e A, b e ß}. Normalizátorem podgrupy ß v G rozumíme množinu Nc(B) = {g G G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; ß je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G).
Věta (druhá, diamantová]
Necht A, B < G jsou podgrupy splňující A < Nc(B). Pak (A n ß) o A a platí
AB/B^A/(AnB).
Věta (třetí)
Jsou-li A, B <\G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí
(G/A)/(B/A) - G/B.
Věta (čtvrtá, svazový izomorfismus)
Nechi je N <\ G. Pak existuje bijekce mezi množinou podgrup A obsahujících N a množinou podgrup A/N faktorgrupy G/N. Navíc normálním podgrupám odpovídají normální podgrupy.
Příklad
Určete svaz podgrup Dg grupy symetrií čtverce a odvodte z něj svaz podgrup Dg/ < r2 >.
Příklad
Zdánlivě paradoxní je příklad homomorfismu C* —► C* definovaný na nenulových komplexních číslech vztahem zwz^s přirozeným k. Zjevně jde o surjektivní homomorfismus a jeho jádro je množina k-tých odmocnin z jedničky, tj. cyklická podgrupa Z^. První věta o izomorfismu tedy dává pro všechna přirozená k izomorfismus
f : C*/Zk-> C*.
Tento příklad ukazuje, že u nekonečných grup nejsou počty s mohutnostmi tak přehledné jako u konečných grup
S grupami se potkáváme nejčastěji jako s množinami transformací.
U skalárů i vektorů ale vystupovalo hned více obdobných struktur
zároveň.
Jako standardní příklady mějme na mysli skaláry (tj. celá čísla Z,
racionální čísla Q, komplexní čísla C) a množiny polynomů nad
takovými skaláry R.
Definice
Komutativní grupa (/?, +) s neutrálním prvkem 0 G R, spolu s další operací • splňující
•  (a • b) ■ c = a ■ (b ■ c), pro všechny a, b,c <E R     (asociativita);
•  a ■ b = b ■ a, pro všechny a, b G R                       (komutativita);
•  existuje prvek 1 takový, že pro všechny a G R platí 1 • a = a (existence jedničky);
9 a ■ (b + c) = a ■ b + a ■ c, pro všechny a, b, c G R (distributivita);
se nazývá komutativní okruh. Takový okruh zapisujeme (R, +, •).
Definice
Jestliže v okruhu R platí c • d = 0 právě, když je alespoň jeden z prvků c a d nulový, pak okruh R nazýváme oborem integrity.
Příklad                                                                                                *					
• Okruhy (Z, +,.),(Q,+,.)	jsou obory	integrity.			
• Okruh Gaussových celých	čísel Z[/] =	{a + 6/; a	be	Z}	je
oborem integrity.					
• Okruh (Z4,+, •) není obor	integrity, r	i a rozdíl od	(Z5	+,	)■
Pokud neplatí vlastnost komutativity operace •, hovoříme
o nekomutativním okruhu. V dalším se ovšem omezíme pouze na
okruhy komutativní.
Operaci + budeme říkat sčítání a operaci • násobení. Navíc
budeme vždy předpokládat existenci jedničky 1 pro operaci
násobení, neutrálnímu prvku pro sčítání říkáme nula.
V každém komutativním okruhu R s jedničkou platí následující vztahy (které nám jistě připadají samozřejmé u skalárů)
O 0 • c = c • 0 = 0 pro všechny c G R,
@ —c = (—1) ■ c = c ■ (—1) pro všechny c G R,
Q —(c • c/) = (—c) ■ d = c ■ (—d) pro všechny c, d e R,
Q a ■ (b — c) = a ■ b — a ■ c,
Obecně říkáme, že a G R dělí c G R, jestliže existuje b tak, že a ■ b = c. Skutečnost že c e R je dělitelné a e R zapisujeme a\c. Dodatečnou vlastností oboru integrity oproti obecnému okruhu je neexistence netriviálních dělitelů nuly. Okamžitě odtud také vyplývá jednoznačnost dělitelů:
Dělitelé jedničky, tj. invertibilní prvky v R, se nazývají jednotky. Jednotky v komutativním okruhu vždy tvoří komutativní grupu. Netriviální (komutativní) okruh, ve kterém jsou všechny nenulové prvky invertibilní, se nazývá (komutativní) těleso. V české literatuře se někdy v případě komutativního tělesa můžete setkat s pojmenováním pole (z angl. field).
Typickým příkladem komutativních těles jsou číselné obory Q, R, C. Dále pak všechny okruhy zbytkových tříd Zp s prvočíselným p. Základním příkladem nekomutativního okruhu s jedničkou je množina Matk(R) všech čtvercových matic nad okruhem R s k řádky a sloupci. Jak jsme viděli dávno, není to ani obor integrity. Jako příklad nekomutativního tělesa uveďme těleso kvaternionů
H = {a + b ■ i + c ■ j + d ■ k; a, b, c, d G R},
se sčítáním po složkách a násobením odvozeným ze základních relací
i2=ß = k2
U
-ji = k,    jk = —kj = i,     ki = —ik = j.
Obor integrity vs. těle
Každý konečný obor integrity je těleso.
Dokazuje se prostřednictvím homomorfismus f : R —> R, f (x) = ax (je to injekce, proto surjekce, proto je R těleso (rozmyslete!).       D
A co obráceně? Samozřejmě je každé těleso oborem integrity.
Příklad
Zřejmě je např. Z obor integrity, který není těleso.
ooooooo«oooo
Polyn
Polynomem rozumíme jakýkoliv konečný v<jkzt, který lze poskládat ze známých konstantních prvků R a jedné neznámé proměnné pomocí operací sčítání a násobení:
Definice
Nechť R je jakýkoliv (dále vždy) komutativní okruh skalárů. Polynomem nad R rozumíme konečný výraz
f (x) = J2 &
kde a,- € R, i = 0,1,..., k, jsou tzv. koeficienty polynomu. Je-li a k 7^ 0, říkáme, že f (x) má stupeň k, píšeme stf = k. Nulový polynom nemá stupeň, polynomy stupně nula jsou právě nenulové prvky v R, kterým říkáme konstantní polynomy. Polynomy f (x) a g{x) jsou stejné, jestliže mají stejné koeficienty. Množinu všech polynomů nad okruhem R budeme značit R[x].
Každý polynom zadává zobrazení f : R —> R, jehož hodnota vznikne dosazením hodnoty c za nezávislou proměnnou x, tj.
f (c) = a0 + a\c H--------h a/tC .
Všimněme si, že konstantní polynomy odpovídají právě
konstantním zobrazením.
Kořen polynomu f(x) je takový prvek cg/?, pro který je
f(c) = 0 G R.
Obecně se může stát, že různé polynomy definují stejná zobrazení.
Např. polynom x2 +x G 2^[x] zadává identicky nulové zobrazení.
Obecněji, pro každý konečný okruh R = {ao, a\,..., ai<} zadává
polynom f (x) = (x — 3o)(x — a\)... (x — a^) identicky nulové
zobrazení. Zároveň ale platí tvrzení, které dokážeme zanedlouho:
Jestliže Je R nekonečný okruh, pak dva polynomy f(x) a g{x) nad R Jsou stejné právě tehdy, když Jsou stejná příslušná zobrazení f a
g-
Dva polynomy f(x) = J2j 3,-x' a g{x) = J2j bjX1 umíme přirozeně také sčítat i násobit:
(f + g)(x) = (a0 + bo) + (ai + r>i)x + • • • + (ak + 6fc)x* (f • g-)(x) = (a0bo) + ■■■ + (aobi + + ••• + a^x1 + ...
kde uvažujeme nulové koeficienty všude, kde v původním výrazu pro polynomy nenulové koeficienty nejsou a u sčítání nechť je k maximální ze stupňů f a g.
Tato definice vskutku odpovídá příslušným operacím sčítání a násobení hodnot zobrazení f,g:R—>R, díky vlastnostem skalárů v původním okruhu R.
Přímo z definice vyplývá, že množina polynomů R[x] nad komutativním okruhem s jedničkou je opět komutativním okruhem s jedničkou, přičemž jedničkou v R[x] je opět jednička 1 v okruhu R vnímaná jako polynom stupně nula.
Lemma
Okruh polynomů nad oborem integrity je opět obor integrity.
Důkaz.
Máme ukázat, že v R[x] mohou být netriviální dělitelé nuly pouze, jetliže jsou už v R. To je ale zřejmé z výrazu pro násobení polynomů. Jsou-li f(x) a g{x) polynomy stupně k a í jako výše, pak koeficient u xk+e v součinu f (x) • g{x) je součin a^ ■ bga ten musí být nenulový, pokud nejsou dělitelé nuly v R.                           D
Form,
V Matematice III jsme pracovali s formálními mocninnými řadami a neformálně jsme prohlásili, že s nimi můžeme provádět analogické operace jako s polynomy. Nyní toto tvrzení můžeme zasadit do formálního algebraického kontextu:
Definice
Nechť R je okruh skalárů. Formální mocninou řadou nad R rozumíme (obecně nekonečný) formální výraz f(x) = J2%o3ix'i kde a-, G R, i = 0,1,..., jsou tzv. koeficienty řady.
Snadno se ukáže, že s dříve definovanými operacemi sčítání a násobení tvoří formální mocnině řady okruh, který značíme R[[x]] (a jehož je R[x] podokruhem). Sami si zkuste rozmyslet, které prvky tohoto okruhu jsou invertibilní.