Matematika IV - 8. přednáška
Náhodné veličiny - základní vlastnosti a typy
Michal Bulant
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
14. 4. 2008
Q Náhodné veličiny
Q Typy diskrétních náhodných veličin
Q Typy spojitých náhodných veličin
ˇ Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text.
* Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a
matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230
stran, ISBN 80-867-3271-1.
* Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie
pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka
příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran,
ISBN 80-210-3313-4.
* Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Popisná
statistika, Masarykova univerzita, 3. vydání, 2002, 48 stran,
ISBN 80-210-1831-3.
* Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní
statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran,
ISBN 80-210-3886-1.
Na prostoru Rfc
uvažujme nejmenší jevové pole B obsahující
všechny /(-rozměrné intervaly. Množinám v B říkáme borelovske
množiny (nebo také měřitelné množiny) na Rfc
.
Speciálně pro k = 1 jde o množiny, které obdržíme z intervalů
konečnými průniky a nejvýše spočetnými sjednoceními.
Definice
Náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostoru (Q,A, P)
je taková funkce X : Q --> R, že vzor X _ 1
( ß ) patří do ,,4 pro
každou Borelovskou množinu B G B na R (tj. X : Q --> R je tzv.
borelovsky měřitelná).
Množinová funkce
PX{B) = P{X-\B))
se nazývá rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X.
Náhodný vektor ( X i , . . . ,Xk) na (Q, A, P) je /c-tice náhodných
veličin.
Definice náhodné veličiny zajišťuje, že pro všechny
--oo < a < b < oo existuje pravděpodobnost P(a < X < b), kde
používáme stručné značení projev A = (w G Q; a < X(w) < b)).
Definice
Distribuční funkcí
náhodné veličiny X
x G R vztahem
(distribution
je funkce F
F(x) =
, cumulative
: R -^ R def
P(X < x).
density function)
novaná pro všechny
Distribuční funkcí náhodného vektoru (Xi,
F : R^ --> R definovaná pro všechny ( x i , . . . ,
.. ,X/() je funkce
Xk) G Rfc
vztahem
F(x ) = P(Xi < xi A ˇ ˇAXt <xk).
Diskrétní náhodné veličiny
Předpokládejme, že náhodná veličina X na pravděpodobnostním
prostoru (Q,A, P) nabývá jen konečně mnoha hodnot
xi,x2 , . . . , x ,, G l Pak existuje tzv. pravděpodobnostní funkce
f(x) taková, že
f(x)
Xj) pro x
jinak.
X;
Evidentně Y," f(x
i) = 1
Takové
náhodné veličině se říká diskrétní.
Každá náhodná veličina definovaná pro klasickou pravděpodobnost
je diskrétní. Obdobně lze definici pravděpodobnostní funkce rozšířit
na veličiny se spočetně mnoha hodnotami (pracujeme pak
s nekonečnými řadami)
I když hodnoty náhodné veličiny X nejsou diskrétní, můžeme
postupovat podobně s užitím ideí diferenciálního a integrálního
počtu. Intuitivně lze uvažovat takto: hustotu f(x)
pravděpodobnosti pro X si představíme jako
P(x < X < x + dx) = f{x)dx.
To znamená, že chceme pro --oo < a < b < oo
P(a < X < b) = í f(x)dx. (*)
Vlastnosti distribuční funkce
Necht X je náhodná veličina, F(x) je její distribuční funkce.
O F je neklesající.
Q F je zprava spojitá, limx^_oo = 0 a limx^oo = 1.
Q Je-li X diskrétni s hodnotami x i , . . . , xn, pak je F(x) po
částech konstantní, F(x) = J2x<x P(X = *;) 3 F(x) = 1
kdykoliv x > xn.
Q Je-li X spojitá, pak je F(x) diferencovatelná a její derivace se
rovná hustotě X, tj. platí F'(x) = f (x).
Distribik
o
Obdobně definujeme distribuční funkce a hustotu a
pravděpodobnostní funkci pro spojité a diskrétní náhodné vektory.
Hovoříme také o simultánních pravděpodobnostních funkcích a
hustotách.
Pro dvě proměnné (vektor (X, Y) náhodných veličin):
r, x í P(X = Xi A Y = yi) x=XiAy = yi
10 jinak,
u diskrétních a pro všechny a, b G M pro spojité:
P(-oo <X < b,-oc<Y < b)= f f f(x, y)dxdy.
J--oo J -- oo
Marginální rozložení pro jednu z proměnných obdržíme tak, že
přes ostatní posčítáme nebo zintegrujeme.
Náhodné veličiny X a Y jsou stochasticky nezávislé, jestliže je
jejich simultánní distribuční funkce
F{x,y) = G{x)H{y)
kde F a G jsou distribuční funkce veličin X a Y.
Alternativní rozdělení popisuje pokus se dvěma možnými
výsledky, často nazývanýni zdar, resp. nezdar. Náhodná veličina
X ~ A{p) nabývá hodnoty 1 {zdar) s pravděpodobností p.
Distribuční a pravděpodobnostní funkce jsou tedy tvaru:
Fx(t)
0 ř < 0 p ŕ = l
1 - p 0 < t<1 6c(ŕ) = j l - p ŕ=0
1 ŕ > 1 [O jinak
Binomické rozdělení Bi(n,p) odpovídá n-krát nezávisle
opakovanému pokusu popsanému alternativním rozdělením,
přičemž naše náhodná veličina měří počet zdarů. Je tedy
fx(t)
Vťil-p)1
-' t G {0,1,..., n}
jinak
Na obrázku jsou pravděpodobnostní funkce pro Bi(50,0.2),
Bi(50,0.5) a Bi(50, 0.9). Rozdělení pravděpodobnosti dobře
odpovídá intuici, že nejvíce výsledků bude blízko u hodnoty np:
Binomické rozdělení
S binomickým rozdělením se potkáváme velice často v praktických
úlohách. Jednou z nich je popis náhodné veličiny, která popisuje
počet X předmětů v jedné zvolené přihrádek z n možných, do
nichž jsme náhodně rozdělili r předmětů. Umístění kteréhokoliv
předmětu do pevně zvolené přihrádky má pravděpodobnost 1/n
(každá z nich je stejně pravděpodobná). Zjevně tedy bude pro
jakýkoliv počet k = 0 , . . . , r
P(X = k)
r-k
r\(n-iy-k
k ď :
jde proto o rozložení X typu Bi(r, 1/n).
Binomické -->ˇ Poissonovo rozdělení
Jestliže nám bude vzrůstat počet přihrádek n společně s počtem
předmětů rn tak, že v průměru nám na každou přihrádku bude
připadat (přibližně) stejný počet prvků A, můžeme dobře vyjádřit
chování našeho rozdělení veličin Xn při limitním přechodu n --> oo.
Takovéto chování popisuje např. fyzikální soustavy s velikým
počtem molekul plynu. Standardní úpravy vedou při
l i m ^ o o rn/n = A k výsledku:
lim P(Xn = k)
k
rn(rn
lim
n-->oo
lim
n-->oo
-- hm
K! n-->oo
rn\ (n - If"-
nrn
l ) . . . ( r n k + 1) 1
(n-iy k\
1 + /c!
protože obecně funkce (1 + x/n)n
konvergují stejnoměrně k funkci
ex
na každém omezeném intervalu v R.
Poissonovo rozdělení Po(A)
Poissonovo rozdělení popisuje náhodné veličiny s
pravděpodobnostní funkcí
fx(t)
k\
0
ř G N
jinak.
Jak jsme odvodili výše, toto diskrétní rozdělení (rozložené do
nekonečně mnoha bodů) dobře aproximuje binomická rozdělení
Bi(n, X/n) pro konstantní A > 0 a veliká n.
Snadno ověříme
A*
E *) = E Ír ˇ-*=-* Ek=0
hl
k\
-A+A
1.
Dobře modeluje výskyt jevů:
* s očekávanou konstantní hustotou na jednotku objemu - např.
bakterie ve vzorku (popis očekávaného výskytu k bakterií při
rozdělení vzorku na n stejných částí)
* rozdělení událostí, které se vyskytují náhodně v čase a bez
závislosti na předchozí historii - v praxi jsou takové procesy
často spojeny s poruchovostí strujů a zařízení
Geometrické rozdělení má náhodná veličina X ~ Ge(p), která
udává celkový počet nezdarů, které v posloupnosti opakovaných
pokusů předcházejí prvnímu zdaru, přičemž pravděpodobnost
úspěchu v každém pokusu je rovna p .
fx(t)
(1-PY-P pro t = 0,1,
0 jinak.
Hypergeometrické rozdělení. Mějme N předmětů, z nichž právě
M má danou vlastnost. Z těchto N předmětů náhodně vybereme n
předmětů bez vracení. Náhodná veličina X ~ Hg(/V, M, n) udává
počet vybraných prvků s danou vlastností. Zřejmě tato náhodná
velišina může nabývat pouze celočíselných hodnot z intervalu
[max{0, M -- N + n}, min{n, M}]. Pro t z tohoto intervalu pak
fx(t)
Cľ)(tľ)
Rovnoměrné spojité rozdělení Rs(a, b) je nejjednoduším
příkladem spojitého rozdělení. Ilustruje, že při jednoduše
formulovaném požadavku na chování rozdělení nám nezbude moc
prostoru pro jeho definici. Nyní chceme, aby pravděpodobnost
každé hodnoty v předem daném intervalu (a, í ) ) c M byla stejná, tj.
hustota fx našeho rozdělení náhodné veličiny X má být konstantní.
Pak ovšem jsou pro libovolná reálná čísla --oo < a < b < oo jen
jediné možné hodnoty
{
0 ř< a (O t < a
t^ t(a,b) Fx(t) = J  § t(a,b)
0 t>b, (l t>b.
Exponenciální rozdělení ex(A) je dalším rozdělením, které je
snadno určeno požadovanými vlastnostmi náhodné veličiny.
Předpokládejme, že sledujeme náhodný jev, jehož výskyty v
nepřekrývajících se časových intervalech jsou nezávislé. Je-li tedy
P(t) pravděpodobnost, že jev nenastane během intervalu délky ř,
pak nutně P(t + s) = P(t)P(s) pro všechna ŕ, s > 0.
Předpokládejme navíc diferencovatelnost funkce P a P(0) = 1.
Pak jistě In P{t + s) = In P(ť) + In P{s), takže limitním přechodem
lim
5^0+
In P(ŕ + s)-In P(r)
(InP)V(O).
Označme si spočtenou derivaci zprava v nule jako --A G M. Pak
tedy pro P{ť) platí In P{ť) = --Xt + C a počáteční podmínka dává
jediné řešení
P(t) = e -Xt
Všimněme si, že z definice našich objektů vyplývá, že A > 0.
Nyní uvažme náhodnou veličinu X udávající (náhodný) okamžik,
kdy náš jev poprvé nastane. Zřejmě tedy je distribuční funkce
rozdělení pro X dána
-At
Fx(t) P(t)
r > 0
r < 0 .
Je vidět, že skutečně jde rostoucí funkci s hodnotami mezi nulou a
jedničkou a správnými limitami v 00.
Hustotu tohoto rozdělení dostaneme derivováním distribuční
funkce, tj.
ÍAe"At
ř > 0
fx
0 r < 0 .
Jde o nejdůležitější rozdělení. Uveďme nejprve motivaci pro jeho
zavedení.
Pokud budeme v binomickém rozdělení Bi(n, p) zvyšovat n při
zachování úspěšnosti p, bude mít pravděpodobnostní funkce pořád
přibližně stejný tvar.
Bi(500, 0.5) Bi(5000, 0.5) graf funkce e"*2
/2
Normální rozdělení A/(0,1)
Vzhledem k uvedené motivaci se nabízí hledat vhodné spojité
rozdělení, které by mělo hustotu danou nějakou obdobnou funkcí.
Protože je e_ x
'2
vždy kladná funkce, potřebovali bychom spočíst
J e~x
/2
dx což není pomocí elementárních funkcí možné. Je však
možné (i když ne úplně snadné) ověřit, že příslušný nevlastní
integrál konverguje k hodnotě
-2
/2 dx 2vr.
Odtud vyplývá, že možná hustota rozdělení náhodného rozdělení
může být
1
6c(x) -x2
/2
2vr
Rozdělení s touto hustotou se nazývá normální rozdělení N(0,1).
Příslušnou distribuční funkci
Fx(x) = ľ e"x2/2
dx
J--oo
nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí, přesto se s ní
numericky běžně počítá (pomocí tabulek nebo softwarových
aplikací).
Hustotě fx se také často říká Gaussova křivka.
Abychom uměli pořádněji sformulovat asymptotickou blízkost
normáního a binomického rozdělení pro n --> oo, musíme si vytvořit
další nástroje pro práci s náhodnými veličinami. Budeme k tomu
používat funkce dvojím různým způsobem.
Příklad
Nechť veličina náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na
intervalu (0, r). Určete distribuční funkci a hustotu
pravděpodobnosti rozdělení objemu koule o poloměru X.
Řešení
Určeme nejprve distribuční funkci F (pro 0 < d < f 7rr3
)
F{d) = P ^vrX3
< d
3
= P X < \ --
~ V 47T
3
/šZ
V 4-7T
F{d) = P ^vrX3
< d
3
= P X < \ --
~ V 47T f
celkem
í 0 pro x < 0
F(x) = l ^ x 3 pro 0 < x < fvrr3
[ 1 pro X > |7Tf3
Derivováním pak obdržíme hustotu pravděpodobnosti.