1. zápočtová písemka
Matematika ľV,jaro 2008, skupina *B
Jméno, UČO:.
1. 2. 3. 4. 5. 6. celkem
Příklad 1. (6 bodů: +1 za správnou odpověď, --1 za špatnou odpověď, 0 bez odpovědi, lze získat pouze nezáporný
počet bodů)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se A N O nebo N E na patřičném řádku), zda jsou
následující tvrzení pravdivá:
1. ANO NE Každá podgrupa komutativní grupy je komutativní.
2. ANO NE Existuje komutativní grupa, která má 2008 prvků.
3. ANO NE Je-li H libovolný podgrupiod grupoidu G, potom je i G podgrupoid
grupoidu H.
4. ANO NE V libovolné grupě G platí, že libovolný prvek grupy G a prvek k němu
inverzní jsou vždy různé.
5. ANO NE Mezi každými dvěma grupami existuje právě jeden isomorfismus.
6. ANO NE Každý obor integrity je tělesem.
Příklad 2. (4 body, 1 bod za každou část)
1. Uveďte příklad konečné nekomutativní grupy.
2. Uveďte příklad homomorfismu / : (Z6, +) V)
3. Uveďte příklad nekonečného oboru integrity.
4. Uveďte příklad polynomu třetího stupně nad reálnými čísly, který nemá reálný kořen.
Příklad 3. (5 bodů)
M , , . ,, A 2 3 4 5 6\ A 2 3 4 5 6\
NechtS ,ÍG§6 ,,= ^3 4 5 2 x 6 J > * = ( j 2 4 6 3 oj"
1. Napište permutace s a ŕ jako součin nezávislých cyklů,
2. Rozložte permutaci s o í na součin nezávislých cyklů,
3. Rozložte permutaci s_ 1
na součin nezávislých cyklů,
4. Rozložte permutaci (s126
o í~3
)45
na součin nezávislých cyklů,
5. Rozložte permutaci t na součin transpozic a určete paritu této permutace.
Příklad 4. (5 bodů)
Nechť je dána množina G všech nezáporných racionálních čísel, tj. G = Q j . Na této
množině je definována operace * takto: a-kb = a+b+a-b, pro libovolná a, b E G. Rozhodněte,
zda (G,-k) tvoří grupoid, pologrupu, pologrupu s neutrálním prvkem (tj. monoid), grupu a
zda je operace * komutativní.
Příklad 5. (5 bodů)
Určete [19]f/, tj. inverzní prvek k prvku [19]7i v grupě (Z^, ˇ).
Příklad 6. (5 bodů)
Určete všechny racionální kořeny polynomu / : x4
+ 4x3
+ 3x2
-- Ax -- A E Z,[x]. Rozložte
daný polynom na ireducibilní faktory nad Z, Q,IR, C
Hodně štěstí!