1. zápočtová ptseml^a
9vtatemaúka W,jaro 2008, skupina £
Jméno, UCO:..................................................
1.	2.	3.	4.	5.	6.	celkem
						
Příklad   1.   (6 bodů: +1 za správnou odpověď, — 1 za špatnou odpověď, 0 bez odpovědi, lze získat pouze nezáporný počet bodů)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ANO nebo NE na patřičném řádku), zda jsou následující tvrzení pravdivá:
1.     ANO    NE    Složením dvou shodných transpozic dostaneme tutéž transpozici.
2.     ANO    NE    Každá grupa má alespoň jednu podgrupu.
3.     ANO    NE    Součinem konečné a nekonečné grupy je nekonečná grupa.
4.     ANO    NE    Každé zobrazení je homomorfismem.
5.     ANO    NE    Každý polynom s celočíselnými koeficienty má alespoň jeden celočíselný
kořen.
6.     ANO    NE    Faktorgrupa komutativní grupy podle libovolné její podgrupy je komu-
tativní.
Příklad 2.   (4 body, 1 bod za každou část)
1. Uveďte příklad prvku v pologrupě (Z8, •), který nemá inverzní prvek.
2. Uveďte příklad dvouprvkové podgrupy grupy (Z2oos, +)
3. Uveďte příklad cyklické grupy.
4. Uveďte příklad tělesa který není oborem integrity.
Příklad 3. (5 bodů)
M   , ,     .     „           A   2   3   4   5   6   7\          A   2   3   4   5   6   7\
NechtMG§6,S=^4   5   2   3   !   6   7J'r=^l   7   5   3   2   6   4)'
1.  Napište permutace s a ŕ jako součin nezávislých cyklů,
2.  Rozložte permutaci s o í na součin nezávislých cyklů,
3.  Rozložte permutaci s_1 na součin nezávislých cyklů,
4.  Rozložte permutaci (s132 o í~7)41 na součin nezávislých cyklů,
5.  Rozložte permutaci t na součin transpozic a určete paritu této permutace.
Příklad 4. (5 bodů)
Nechť / : (Z,+) —► (Zi5,+) dané předpisem /(a) = [3 • a] 15. Rozhodněte, zda předpis / zadává zobrazení, homomornsmus, izomorfismus, nalezněte jádro a obraz /.
Příklad 5. (5 bodů) Rozhodněte, zda množina H = {a + b\^7\a,b E Z} tvoří podokruh okruhu (E, +,•)•
Příklad 6. (5 bodů)
Určete všechny kořeny a jejich násobnost polynomu f(x) = x4 — 3x3 + x2 + x — 2 E Z5[x].
Hodně štěstí!