1. zápočtová písemka
Matematika ľV,jaro 2008, skupina M
Jméno, UCO:
1. 2. 3. 4. 5. 6. celkem
Příklad 1. (6 bodů: +1 za správnou odpověď, -- 1 za špatnou odpověď, 0 bez odpovědi, lze získat pouze nezáporný
počet bodů)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se A N O nebo N E na patřičném řádku), zda jsou
následující tvrzení pravdivá:
1. ANO NE Je-li H podgrupa grupy G & K podgrupa grupy H, potom je G podgrupa
grupy K.
2. ANO NE Každá nekomutativní grupa je konečná.
3. ANO NE Každý nekonečný obor integrity je těleso.
4. ANO NE Libovolné dvě konečné nekomutativní grupy jsou izomorfní.
5. ANO NE Má-li libovolný normovaný polynom s celočíselnými koeficienty reálný
kořen, potom je tento kořen racionální.
6. ANO NE Existuje nekonečně mnoho polynomů s celočíselnými koeficienty a
trojnásobným kořenem 5.
Příklad 2. (4 body, 1 bod za každou část)
1. Uveďte příklad konečné grupy a její nekonečné podgrupy.
2. Uveďte příklad dvou nekonečných grup, které nejsou izomorfní.
3. Uveďte příklad konečného oboru integrity.
4. Uveďte příklad polynomu druhého stupně s celočíselnými koeficienty, který nemá
reálný kořen.
Příklad 3. (5 bodů)
M , , . ,, A 2 3 4 5 6 7\ A 2 3 4 5 6 7\
Necht M G § 6 , , = ^ 1 7 6 3 2 5J' l
= [t 2 7 4 1 6 3)'
1. Napište permutace s a ŕ jako součin nezávislých cyklů,
2. Rozložte permutaci s o í na součin nezávislých cyklů,
3. Rozložte permutaci s_1
na součin nezávislých cyklů,
4. Rozložte permutaci (s144
o í~7
)48
na součin nezávislých cyklů,
5. Rozložte permutaci t na součin transpozic a určete paritu této permutace.
Příklad 4. (5 bodů)
Nechť / : (Zw, +) --ˇ (Z30, +) dané předpisem f (a) = [3 ˇ a] 30. Rozhodněte, zda předpis
/ zadává zobrazení, homomornsmus, izomorfismus, nalezněte jádro a obraz /.
Příklad 5. (5 bodů) Určete řády všech prvků grupy (Z5 x Z2,+). Vyberte generátory této
grupy.
Příklad 6. (5 bodů)
Určete všechny racionální kořeny a jejich násobnost polynomu f(x) = 18x4
-- 15x3
--
7x2
+ 3x + l  Z [ 4
Hodně štěstí!