Testovaní hypotéz oooooooooooooo Matematika IV - 14. přednáška Testování hypotéz Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 19. 5. 2008 * S oooooooooooooo Obsah přednášky Testování hypotéz * s oooooooooooooo Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. Marie Budíková, Statistika , Masarykova univerzita, ESF, distanční studijní opora, Brno 2004, 176 stran, h t t p : //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip oooooooooooooo Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. Marie Budíková, Statistika , Masarykova univerzita, ESF, distanční studijní opora, Brno 2004, 176 stran, h t t p : //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. oooooooooooooo Plán přednášky Testování hypotéz * s _ooooooooooooo Motivační úvod Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr. * s _ooooooooooooo Motivační úvod Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr. Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o parametrech tohoto rozdělení. * s _ooooooooooooo Motivační úvod Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr. Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o parametrech tohoto rozdělení. Definice Ho .. . nulová hypotéza (např. 6 = c, kde c vyjadřuje naši domněnku o hodně parametru 9) H\ ... (oboustranná) alternativní hypotéza (obvykle negace nulové) Testováním Ho oproti alternativní hypotéze rozumíme postup založený na náhodném výběru, s jehož pomocí platnost Ho zamítneme nebo nezamítneme ( = připouštíme). _ooooooooooooo Motivační úvod Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr. Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o parametrech tohoto rozdělení. Definice Ho .. . nulová hypotéza (např. 6 = c, kde c vyjadřuje naši domněnku o hodně parametru 9) H\ ... (oboustranná) alternativní hypotéza (obvykle negace nulové) Testováním Ho oproti alternativní hypotéze rozumíme postup založený na náhodném výběru, s jehož pomocí platnost Ho zamítneme nebo nezamítneme ( = připouštíme). Chyba 1. druhu .. . Ho platia myji zamítneme (závažnější) Chyba 2. druhu .. . HQ neplatí a m y j i nezamítneme _ooooooooooooo Motivační úvod Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr. Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o parametrech tohoto rozdělení. Definice Ho .. . nulová hypotéza (např. 6 = c, kde c vyjadřuje naši domněnku o hodně parametru 9) H\ ... (oboustranná) alternativní hypotéza (obvykle negace nulové) Testováním Ho oproti alternativní hypotéze rozumíme postup založený na náhodném výběru, s jehož pomocí platnost Ho zamítneme nebo nezamítneme ( = připouštíme). Chyba 1. druhu .. . Ho platia myji zamítneme (závažnější) Chyba 2. druhu .. . Ho neplatí a m y j i nezamítneme Pravděpodobnost chyby 1. druhu se nazývá hladina významnosti (a, obvykle a = 0,05), pravděpodobnost chyby 2. druhu se značí ß a číslo 1 -- ß se nazývá síla testu. ooooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy O pomocí intervalu spolehlivosti * s - = ˇ. -o<\(y ooooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy O pomocí intervalu spolehlivosti 9 pomocí kritického oboru * s ooooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy O pomocí intervalu spolehlivosti O pomocí kritického oboru Q pomocí tzv. p--hodnoty (p-value) * s ooooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy O pomocí intervalu spolehlivosti O pomocí kritického oboru Q pomocí tzv. p--hodnoty (p-value) Interval spolehlivosti Na základě realizace náhodného výběru sestrojíme 100(1 -- a)% interval spolehlivosti pro neznámý parametr 6 a zjistíme, zda c patří do toh intervalu. Pokud ano, hypotézu HQ nezamítáme (v opačném případě zamítáme) na hladině významnosti a. ooooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy O pomocí intervalu spolehlivosti O pomocí kritického oboru Q pomocí tzv. p--hodnoty (p-value) Interval spolehlivosti Na základě realizace náhodného výběru sestrojíme 100(1 -- a)% interval spolehlivosti pro neznámý parametr 6 a zjistíme, zda c patří do tohoto intervalu. Pokud ano, hypotézu HQ nezamítáme (v opačném případě zamítáme) na hladině významnosti a. Kritický obor Stanovení kritického oboru je postup do jisté míry obrácený. Nejprve (i bez náhodného výběru) zvolíme vhodnou statistiku T a množinu hodnot, jichž může T nabývat, rozdělíme na dvě disjunkntí podmnožiny: obor nezamítnutí Ho (značíme V) a kritický obor W (obor zamítnutí Ho). Pokud realizace T padne do W, pak Ho zamítneme, jinak nezamítáme. Testovaní hypotéz ooooooooooooo Stanovení kritického oboru na hladině cx nPro statistiku T (testové kritérium) stanovíme obor nezamítnutí jako interval, jehož hraniční body tvoří kvantil a/2 a 1 -- a/2, odtud je v W = (-00, F-\a/2)) U (F"- \ l - a/2), 00). * s ooooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy p-hodnota Testování pomocí p-hodnoty se jednoduchý test, umožněný rozšířením statistických balíků, p-hodnota udává nejnižší možnou hladinu významnosti, při níž Ho zamítáme. Je-li p-hodnota > a, hypotézu Ho nezamítáme, pro p-hodnotu menší než a, hypotézu zamítneme. ooooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy p-hodnota Testování pomocí p-hodnoty se jednoduchý test, umožněný rozšířením statistických balíků, p-hodnota udává nejnižší možnou hladinu významnosti, při níž Ho zamítáme. Je-li p-hodnota > a, hypotézu Ho nezamítáme, pro p-hodnotu menší než a, hypotézu zamítneme. ooooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy p-hodnota Testování pomocí p-hodnoty se jednoduchý test, umožněný rozšířením statistických balíků, p-hodnota udává nejnižší možnou hladinu významnosti, při níž Ho zamítáme. Je-li p-hodnota > a, hypotézu Ho nezamítáme, pro p-hodnotu menší než a, hypotézu zamítneme. p-hodnota se stanoví rovněž se znalostí konkrétní realizace řo statistiky T náhodného výběru jako p = 2 m i n { P ( T < ř o ) , P ( T > ř 0 ) } . Je-li Ho hypotéza 9 = c, pak levostranna alternativní hypotéza je tvrzení 9 < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 > c. estování hypotézy proti jednostranné alternativě Je-li Ho hypotéza 9 = c, pak levostranna alternativní hypotéza je tvrzení 9 < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 > c. Volba typu alternativní hypotézy vyplývá z konkrétní situace. Příklad * V předmětu Matematika 3 psali studenti písemku rozdělení na 2 skupiny. Hypotéza Ho : obě zadání mají stejnou průměrnou obtížnost je testována oproti oboustranné alternativní hypotéze zadání nejsou stejně obtížná. estování hypotézy proti jednostranné alternativě Je-li Ho hypotéza 9 = c, pak levostranna alternativní hypotéza je tvrzení 9 < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 > c. Volba typu alternativní hypotézy vyplývá z konkrétní situace. Příklad V předmětu Matematika 3 psali studenti písemku rozdělení na 2 skupiny. Hypotéza Ho : obě zadání mají stejnou průměrnou obtížnost je testována oproti oboustranné alternativní hypotéze zadání nejsou stejně obtížná. V předmětu Matematika 3 se dříve po studentech nevyžadovalo řešení domácích úloh. Toto bylo nyní nově zavedeno s cílem dosažení lepších výsledků studentů u závěrečné zkoušky. estování hypotézy proti jednostranné alternativě Je-li Ho hypotéza 9 = c, pak levostranna alternativní hypotéza je tvrzení 9 < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 > c. Volba typu alternativní hypotézy vyplývá z konkrétní situace. Příklad V předmětu Matematika 3 psali studenti písemku rozdělení na 2 skupiny. Hypotéza Ho : obě zadání mají stejnou průměrnou obtížnost je testována oproti oboustranné alternativní hypotéze zadání nejsou stejně obtížná. V předmětu Matematika 3 se dříve po studentech nevyžadovalo řešení domácích úloh. Toto bylo nyní nově zavedeno s cílem dosažení lepších výsledků studentů u závěrečné zkoušky. estování hypotézy proti jednostranné alternativě Je-li Ho hypotéza 9 = c, pak levostranna alternativní hypotéza je tvrzení 9 < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 > c. Volba typu alternativní hypotézy vyplývá z konkrétní situace. Příklad V předmětu Matematika 3 psali studenti písemku rozdělení na 2 skupiny. Hypotéza Ho : obě zadání mají stejnou průměrnou obtížnost je testována oproti oboustranné alternativní hypotéze zadání nejsou stejně obtížná. V předmětu Matematika 3 se dříve po studentech nevyžadovalo řešení domácích úloh. Toto bylo nyní nově zavedeno s cílem dosažení lepších výsledků studentů u závěrečné zkoušky. V tomto případě zřejmě použijeme nulovou hypotézu Ho : výsledné bodové hodnocení se nezlepšilo oproti pravostranné alternativní hypotéze H\ : bodový výsledek studentů se zlepšil ooooooooooooo Jednoduchý příklad Příklad Náš protivník hodil 60x kostkou a padla mu 16x šestka. Testujme na hladině významnosti a = 0,05 nulovou hypotézu Ho : kostka není upravená oproti jednostranné alternativní hypotézef/i : kostka je upravená tak, aby padalo více šestek. * s ooooooooooooo Jednoduchý příklad Příklad Náš protivník hodil 60x kostkou a padla mu 16x šestka. Testujme na hladině významnosti a = 0,05 nulovou hypotézu Ho : kostka není upravená oproti jednostranné alternativní hypotézeŕ/i : kostka je upravená tak, aby padalo více šestek. Statistika T (počet šestek) ma rozdělení T ~ ß/(60,1/6). Kritický obor je dán 95. percentilem tohoto rozdělení. Snadno vypočteme, že P(T > 14) = 0,065 a P(T > 15) = 0,034, proto p-hodnota rovna 0,034 (nebo jinými slovy: kritickým oborem na hladině 0,05 je interval (16, oo). Hypotézu Ho tedy zamítáme - na hladině 0,05 můžeme tvrdit, že kostka je upravená. ooooooooooooo Jednoduchý příklad - pokr. Řešení (pomocí aproximace) Porovnejme předchozí řešení příkladu s řešením, při kterém využijeme aproximaci pomocí de Moive-Laplaceovy věty. Náhodnou veličinu v , 7 " - 1 0 750/6 lze považovat za veličinu mající normální rozdělení A/(/x, a2 ) s jednotkovým rozptylem a2 = 1, testovat budeme hypotézu ß = 0. ooooooooooooo Jednoduchý příklad - pokr. Řešení (pomocí aproximace) Porovnejme předchozí řešení příkladu s řešením, při kterém využijeme aproximaci pomocí de Moive-Laplaceovy věty. Náhodnou veličinu v , 7 " - 1 0 750/6 lze považovat za veličinu mající normální rozdělení A/(/x, a2 ) s jednotkovým rozptylem a2 = 1, testovat budeme hypotézu ß = 0. Kritickým oborem A/(0,1) je interval (l,65,oo) (stále uvažujeme pravostranou alternativu). Přitom pro realizaci statistiky X platí x = (16 -- 1 0 ) / A / 5 0 / 6 ř 2, 08 a hypotézu tedy opět zamítáme. ooooooooooooo Jednoduchý příklad - pokr. Řešení (pomocí aproximace) Porovnejme předchozí řešení příkladu s řešením, při kterém využijeme aproximaci pomocí de Moive-Laplaceovy věty. Náhodnou veličinu v , 7 " - 1 0 750/6 lze považovat za veličinu mající normální rozdělení A/(/x, a2 ) s jednotkovým rozptylem a2 = 1, testovat budeme hypotézu ß = 0. Kritickým oborem A/(0,1) je interval (l,65,oo) (stále uvažujeme pravostranou alternativu). Přitom pro realizaci statistiky X platí x = (16 -- 1 0 ) / A / 5 0 / 6 ř 2, 08 a hypotézu tedy opět zamítáme. Jednostranným intervalem spolehlivosti pro X je ((2,08 -- 1,65)/\/6Ö, oo) a protože do něj nepatří hodnota 0 zamítáme nulovou hypotézu (všimněte si, že v obou případech rozhodlo porovnání 1, 65 < 2, 08). ooooooooooooo Jednoduchý příklad - pokr. Řešení (pomocí aproximace a p-hodnoty ) Určeme nejmenší pravděpodobnost p, při níž stále ještě zamítáme nulovou hypotézu ß = 0 oproti pravostranné hypotéze ß > 0 (tj. p-hodnotu). Má-li X rozdělení A/(0,1), pak p = P(X> 2,08) = 1 - 0,981 = 0,019. ooooooooooooo Jednoduchý příklad - pokr. Řešení (pomocí aproximace a p-hodnoty ) Určeme nejmenší pravděpodobnost p, při níž stále ještě zamítáme nulovou hypotézu ß = 0 oproti pravostranné hypotéze ß > 0 (tj. p-hodnotu). Má-li X rozdělení A/(0,1), pak p = P(X> 2,08) = 1 - 0,981 = 0,019. Protože je a = 0,05 > 0,019, opět hypotézu zamítáme. OOOOOOOO0OOOOO Základní testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Podobně jako statistiky při konstrukci intervalů spolehlivosti jsou i základní testy standardizované (není divu, jak jsme viděli, jde o úzce propojené pojmy). * s OOOOOOOO0OOOOO Základní testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Podobně jako statistiky při konstrukci intervalů spolehlivosti jsou i základní testy standardizované (není divu, jak jsme viděli, jde o úzce propojené pojmy). z-test Nechť je X\,..., Xn náhodný výběr z rozdělení A/(/x, a2 ) se známým a2 a n > 2. Test Ho : ß = c proti alternativní hypotéze ß ^ c se. nazývá z-test. OOOOOOOO0OOOOO Základní testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Podobně jako statistiky při konstrukci intervalů spolehlivosti jsou i základní testy standardizované (není divu, jak jsme viděli, jde o úzce propojené pojmy). z-test Nechť je X\,..., Xn náhodný výběr z rozdělení A/(/x, a2 ) se známým a2 a n > 2. Test Ho : ß = c proti alternativní hypotéze ß ^ c se. nazývá z-test. jednovýběrový t-test Nechť je X\,..., Xn náhodný výběr z rozdělení A/(/x, a2 ) s neznámým a2 a n > 2. Test Ho : ß = c proti alternativní hypotéze / i ^ c s e nazývá jednovýběrový t-test. OOOOOOOO0OOOOO Základní testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Podobně jako statistiky při konstrukci intervalů spolehlivosti jsou i základní testy standardizované (není divu, jak jsme viděli, jde o úzce propojené pojmy). z-test Nechť je X\,..., Xn náhodný výběr z rozdělení N(ß, a2 ) se známým a2 a n > 2. Test Ho : ß = c proti alternativní hypotéze ß ^ c se. nazývá z-test. jednovýběrový t-test Nechť je X\,..., Xn náhodný výběr z rozdělení A/(/x, a2 ) s neznámým a2 a n > 2. Test Ho : ß = c proti alternativní hypotéze / i ^ c s e nazývá jednovýběrový t-test. dvouvýběrový t-test Nechť je X n , . . . , Xm\ náhodný výběr z rozdělení A/(/xi, a2 ) a X 1 2 , . . . , Xni na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení A/(/X2, c2 ) s m, n > 2 a neznámým a2 . Test Ho : ß\ -- ß2 = c proti H\ : ß\ -- ß2 7^ c se nazývá dvouvýběrový t-test. ooooooooooooo Základní testy hypotéz o parametrech normálním rozdělení párový t-test Nechť je (Xi, V i ) r , . . . , (X,,, Yn) výběr z rozdělení N í " 1 , a \ ai 22 VM2 <7i2 (T2 s n > 2 a neznámými parametry. Test Ho : ßi -- ß2 = c oproti Hi : ßi -- ß2^ c se nazývá párový t-test. ooooooooooooo Základní testy hypotéz o parametrech normálním rozdělení párový t-test Nechť je ( X i , V i ) r , . . . , (X,,, Yn) výběr z rozdělení N ßi o\ ß2 o\2 s n > 2 a neznámými parametry. Test Ho : ßi -- ß2 = c oproti H\ : ßi -- ß2 7^ c se nazývá párový t-test. F-test Nechť je X n , . . . , X m i náhodný výběr z rozdělení N{ßi,a\) a X i 2 , . . . , X,,2 na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení A/(/X2, fff) s m,n >2. Test /-/o : C i / c l = 1 Pr o t ' Hi : (T^/a^ ^ 1 se nazývá F-test. ooooooooooooo Základní testy hypotéz o parametrech normálním rozdělení párový t-test Nechť je ( X i , V i ) r , . . . , (X,,, Yn) výběr z rozdělení N ßi o\ ß2 o\2 a2 s n > 2 a neznámými parametry. Test Ho : ßi -- ß2 = c oproti H\ : ßi -- ß2 7^ c se nazývá párový t-test. F-test Nechť je X n , . . . , X m i náhodný výběr z rozdělení N{ßi,a\) a X i 2 , . . . , X,,2 na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení A/(/X2, c2 ) s m,n >2. Test /-/o : C i / c l = 1 Pr o t ' Hi : cr2 /c2 ^ 1 se nazývá F-test. test rozptylu Nechť je X i , . . . , Xn náhodný výběr z A/(/x, 2. Test Ho : a2 = c proti /-/i : ux_ ˇa/2 n S - = -E - 0 0 * 0 OOOOOOOOOO0OOO Kritický obor testů normálního rozdělení z-test |(M - c)/{a/y/ň)\ > ui_/2 jednovýběrový t-test \(M -- c)/{S/yfň)\ > ti_a/2{n 1) * S OOOOOOOOOO0OOO Kritický obor testů normálního rozdělení z-test |(M - c)/{a/y/ň)\ > ui_/ 2 jednovýběrový t-test \(M -- c)/{S/yfň)\ > ti_a/2{n -- 1) dvouvýběrový t-test M1- M2-c S* \ Im + n > ti-a/2{m + n-2) * S - = ˇ. ^Q.O' OOOOOOOOOO0OOO Kritický obor testů normálního rozdělení z-test |(M - c)/{a/y/ň)\ > ui_/2 jednovýběrový t-test \(M -- c)/{S/yfň)\ > ti_a/2{n -- 1) dvouvýběrový t-test M1- M2-c + 1 > ti-a/2{m + n-2) párový t-test sestrojením rozdílu Z; = Xj -- Yj a ß = ß\ -- ß2 úlohu předvedeme na jednovýběrový ř-- test * g - = OOOOOOOOOO0OOO Kritický obor testů normálního rozdělení z-test |(M - c)/{a/y/ň)\ > ui_/2 jednovýběrový t-test \(M -- c)/{S/yfň)\ > ti_a/2{n -- 1) dvouvýběrový t-test M1- M2-c + 1 > ti-a/2{m + n-2) párový t-test sestrojením rozdílu Z; = Xj -- Yj a ß = ß\ -- ß2 úlohu předvedeme na jednovýběrový ř-- test F-test Si/Si < Fa/2{m -- 1, n -- 1) nebo Si/Si > Fx_a/2{m - 1, n - 1) * s OOOOOOOOOO0OOO Kritický obor testů normálního rozdělení z-test |(M - c)/{a/y/ň)\ > ui_/2 jednovýběrový t-test \(M -- c)/{S/yfň)\ > ti_a/2{n -- 1) dvouvýběrový t-test M1- M2-c + 1 > ti-a/2{m + n-2) párový t-test sestrojením rozdílu Z; = Xj -- Yj a ß = ß\ -- ß2 úlohu předvedeme na jednovýběrový ř-- test F-test Si/Si < Fa/2{m -- 1, n -- 1) nebo Si/Si > Fx_a/2{m - 1, n - 1) test rozptylu (n -- l)S2 /c < Xa/2(n -- 1) nebota/2 ( n - l ) S 2 / c > % 2 a/2 ( n - 1 ) * s Testovaní hypotéz ooooooooooooo Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test Příklad Uvažme bodové výsledky studentů z 2. termínu zkoušky předmětu MB103, přičemž výsledky testů skupiny A a skupiny B považujme za dva nezávislé výběry z normálního rozdělení. Úkolem je zjistit, jestli výsledky některé ze skupin byly statisticky významně horší. Testujme nulovou hypotézu Ho : [i\ -- ß2 = 0 oproti alternativní hypotéze H\ : ß\ ^ ß2- Testovaní hypotéz ooooooooooooo Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test Příklad Uvažme bodové výsledky studentů z 2. termínu zkoušky předmětu MB103, přičemž výsledky testů skupiny A a skupiny B považujme za dva nezávislé výběry z normálního rozdělení. Úkolem je zjistit, jestli výsledky některé ze skupin byly statisticky významně horší. Testujme nulovou hypotézu Ho : [i\ -- ß2 = 0 oproti alternativní hypotéze H\ : ß\ ^ ß2- Řešení Nejprve pomocí F-testu otestujeme hypotézu o stejných rozptylech, v případě úspěchu poté použijeme dvouvýběrový t-test. Vypočteme základní statistiky: Testovaní hypotéz ooooooooooooo Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test Příklad Uvažme bodové výsledky studentů z 2. termínu zkoušky předmětu MB103, přičemž výsledky testů skupiny A a skupiny B považujme za dva nezávislé výběry z normálního rozdělení. Úkolem je zjistit, jestli výsledky některé ze skupin byly statisticky významně horší. Testujme nulovou hypotézu Ho : [i\ -- ß2 = 0 oproti alternativní hypotéze H\ : ß\ ^ ß2- Řešení Nejprve pomocí F-testu otestujeme hypotézu o stejných rozptylech, v případě úspěchu poté použijeme dvouvýběrový t-test. Vypočteme základní statistiky: rozsah výb. průměr výb. rozptyl A B 65 64 10,48 7,21 22,49 29,75 Testovaní hypotéz OOOOOOOOOOOO0O Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Dostáváme Sl/Sj = 0,76 a protože F(0,025; 64; 63) nezamítáme hypotézu o rovnosti rozptylů. 0,61, * S Testovaní hypotéz OOOOOOOOOOOO0O Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Dostáváme Sl/Sj = 0,76 a protože F(0,025; 64; 63) = 0,61, nezamítáme hypotézu o rovnosti rozptylů. O tomtéž se přesvědčíme i vypočtením intervalu spolehlivosti sl/sl sl/sl . Fi-a/2Ím - 1, n - 1)' Fa/2{m - 1, n - 1) v němž leží testovaný podíl rozptylů 1. (0,46; 1,24), * s Testovaní hypotéz OOOOOOOOOOOO0O Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Dostáváme Sl/Sj = 0,76 a protože F(0,025; 64; 63) = 0,61, nezamítáme hypotézu o rovnosti rozptylů. O tomtéž se přesvědčíme i vypočtením intervalu spolehlivosti . / " i - -r1 ^ TV r 46; x '2 4 )' (/2(m - 1, n - 1) Fa/2(m -l,n-l)J v němž leží testovaný podíl rozptylů 1. Budeme tedy dále s výběry pracovat s předpokladem, že mají stejný rozptyl a použijeme dvouvýběrový t-test. * s - Testovaní hypotéz oooooooooooooŘešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Vypočteme vážený průměr výběrových rozptylů c 2 _ ( m - l ) S 1 2 + ( n - l ) S | m + n 5,lr dále Mi - M2 = 3,27. Testovaní hypotéz oooooooooooooŘešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Vypočteme vážený průměr výběrových rozptylů S2 = (m-l)S* + (n-l)S$ w 5 U 2 * m + n -- 2 ' ' dále Mi -- M2 = 3,27. V tabulkách najdeme hodnotu řo,975(65 + 64 - 2) = 1, 98, a protože T Mi - M2 + 65 ^ 64 3,64, docházíme k závěru, že můžeme hypotézu o stejné střední hodnotě obou rozdělení (tj. hypotézu ß\ = ß2) zamítnout (neboť 3,64> 1,98). Testovaní hypotéz oooooooooooooŘešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Vypočteme vážený průměr výběrových rozptylů s 2 = ( m - l ) S 1 2 + ( n - l ) S 2 2 ^ c 1 1 2 m + n 5,lr dále Mi -- M2 = 3,27. V tabulkách najdeme hodnotu řo,975(65 + 64 - 2) = 1, 98, a protože T Mi - M2 + 65 ^ 64 3,64, docházíme k závěru, že můžeme hypotézu o stejné střední hodnotě obou rozdělení (tj. hypotézu ß\ = ß2) zamítnout (neboť 3,64 > 1,98).Toto opět ověříme výpočtem intervalu spolehlivosti, který má střed v M\ -- M2 a velikost rovnou dvojnásobku S*\/-^ + \h-a/2{m + " - 2) ~ 1,78, proto je intervalT ^ + 1 nh_a/2{m + nspolehlivosti (1,49; 5, 05).