Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
Michal Bulant
Masarykova univerzita Fakulta informatiky
3. 3. 2008
=
A Rozklady podle podgrup
Q Normální podgrupy
Dopo
•  Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text.
•  Předmětové záložky v IS MU
Dopo
•  Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text.
•  Předmětové záložky v IS MU
•  Jiří Rosický, Algebra, PřF MU, 2002.
•  Peter J. Cameron. Introduction to algebra, Oxford University Press, 2001, 295 s. (Dostupné v knihovně PřF).
lán předná
Rozklady podle podgrup
□       s
Rozklady p<
H&Sfl
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G
definujeme relaci a ~h £> jestliže b Je to relace ekvivalence:
a G H, tj. a~L- be H
Rozklady p<
H&Sfl
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b-1 ■ a e H, tj. a-1 • b e H . Je to relace ekvivalence:
• a-1 • a = e G H,
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b~x ■ a e H, tj. a-1 • b e H . Je to relace ekvivalence:
•  a-1 • a = e e H,
•  je-li b'1 ■ a = h e H, potom a'1 ■ b = (b'1 • a)"1 = h'1 e H,
Rozklady p<
H&Sfl
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b-1 ■ a G H, tj. a-1 • b G H . Je to relace ekvivalence:
•  a-1 • a = e G H,
•  je-li b'1 ■ a = h e H, potom a"1 • b = (b'1 • a)"1 = h'1 G H,
•  je-li c-1 ■ b £ H a zároveň je b-1 ■ a G H, potom c-1 ■a = c-1 ■ b- b-1   ae H.
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků.
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a G a • H) a skutečně platí, že
a- H = {ah; h e H},
neboť prvek oje ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto způsobem vyjádřit.
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a G a ■ H) a skutečně platí, že
a- H = {ah; h e H},
neboť prvek oje ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto
způsobem vyjádřit.
Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme
G/H.
=
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a G a ■ H) a skutečně platí, že
a- H = {ah; h e H},
neboť prvek oje ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto
způsobem vyjádřit.
Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme
G/H.
Obdobně definujeme pravé třídy rozkladu H ■ a. Příslušná
ekvivalence je: a ~ b, jestliže a ■ b-1 G H. Proto
H\G = {H   a; a <E G}.
=
Pro třídy rozkladu grupy platí:
□        s         -         =        ■€.     -o<\(y
Pro třídy rozkladu grupy platí
O Levé a pravé třídy rozkladu podle podgrupy H c G splývají pravé tehdy když pro každé a G G, h G H platia ■ h ■ a-1 G H.
Poznámka
Rozmyslete si, proč je v posledním tvrzení a  1 a nikoliv a.
Důsledek
Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom
n          S           -           =          -E      -00*0
Důsledek
Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom
O  Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj.
\G\ = \G/H\ -\H\
=
Důsledek
Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom
O  Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj.
\G\ = \G/H\ -\H\
Q Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n.
=
Důsledek
Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom
O  Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj.
\G\ = \G/H\ -\H\
Q Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. Q Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n.
=
Důsledek
Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom
O  Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj.
\G\ = \G/H\ -\H\
Q Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. Q Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. Q pro každé a e G je a" = e.
=
Důsledek                                                                                                 *				
Necht G je konečná grupa		s n prvky (tj.	G je řádu	n), H její
podgrupa. Potom				
9	Mohutnost n = \G\ je	součinem mohutnosti H		a mohutnosti
	G/H, tj.	\G\ = \G/H\-	\H\	
9	Přirozené číslo \H \ je <	dělitelem čísla	n.	
9	Je-li a G G prvek řádu	k, pak k dělí	n.	
9	pro každé a e G je a"	= e.		
9	je-li mohutnost grupy	G prvočíslo p,	pak je G izomorfní	
	cyklické grupě Zp.			
Důsledek                                                                                                 *				
Necht G je konečná grupa		s n prvky (tj.	G je řádu	n), H její
podgrupa. Potom				
9	Mohutnost n = \G\ je	součinem mohutnosti H		a mohutnosti
	G/H, tj.	\G\ = \G/H\-	\H\	
9	Přirozené číslo \H \ je <	dělitelem čísla	n.	
9	Je-li a G G prvek řádu	k, pak k dělí	n.	
9	pro každé a e G je a"	= e.		
9	je-li mohutnost grupy	G prvočíslo p,	pak je G izomorfní	
	cyklické grupě Zp.			
Druhému tvrzení se říkává Lagrangeova věta, předposlednímu malá Fermatova věta (častěji ovšem ve speciálním případě grupy (Zp, •))
Snadnými důsledky předchozího jsou následující věty:
Věta (Malá Fermatova)
Pro libovolné prvočíslo p a číslo a G Z nedělitelné p platí ap_1 = 1    (mod p).
□         s         -         =         ■€.     -o<\(y
Snadnými důsledky předchozího jsou následující věty:
Věta (Malá Fermatova)
Pro libovolné prvočíslo p a číslo a G Z nedělitelné p platí ap_1 = 1    (mod p).
Věta (Eulerova
Pro libovolné m G N a každé a G Z splňujícíma, m) = 1 platí a^m) = 1    (mod m).
Plan pň
Q Normální podgrupy
□      s
Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a     G H pro všechna a e G, h G H, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího
Norm
Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a-1 G H pro všechna a e G, h G H, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího
Tvrzení
Podgrupa H je normální právě tehdy když pro každé a G G platí a ■ H = H ■ a (jinými slovy: levý rozklad G podle podgrupy H je shodný s pravým rozkladem).
Norm
Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a-1 G H pro všechna a e G, h G H, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího
Tvrzení
Podgrupa H je normální právě tehdy když pro každé a G G platí a ■ H = H ■ a (jinými slovy: levý rozklad G podle podgrupy H je shodný s pravým rozkladem).
Důsledek
• 1 < G, G o G
9  V komutativní grupě je každá podgrupa normální
9 Je-li H podgrupa konečné grupy G, kde \H\ normální.
\G\/2, pak je H
Příklad
•   Dihedrální grupa Din má vždy normální podgrupu izomorfní Z„. Levý (i pravý) rozklad podle této podgrupy je dvojprvková množina
{Zn,s-Z„}-
•   (f2) = {'d, ľ2} je normální podgrupa v D%. Levý rozklad podle této podgrupy je čtyřprvková množina
{{id,r2},{r,r},{s,sr2},{sr,sr3}}.
Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H vztahem
{aH){b-H) = {ab)H.
Skutečně, volbou jiných reprezentantů a ■ h, b ■ h' dostaneme opět stejný výsledek
(a • h- b-h')- H = ((a • b)- (b'1   hb)tí)H.
Je-li H normálni podgrupou G, tvoří rozklad G j H s násobením definovaným prostřednictvím reprezentantů grupu. Je-li G komutativní, je i G/H komutativní.
ríL = {na;  a G Z} C Z
zadává pro libovolné n G N podgrupu Z a její faktorgrupou (až na izomorfismus) je aditivní grupa zbytkových tříd Z„ (přitom pro n = 1 jde o triviální grupu) .
Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa.
^SS stran "tvrdé" matematiky
Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa.
Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální1).
^SS stran "tvrdé" matematiky
Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální
podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost
těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu
složena každá konečná grupa.
Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně
jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p
(podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp
- důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální1).
V nekomutativním případě je situace výrazně složitější - až v roce
1982 (samozřejmě s pomocí počítačů) se podařilo završit úsilí o
úplnou klasifikaci jednoduchých grup.
^SS stran "tvrdé" matematiky
Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální
podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost
těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu
složena každá konečná grupa.
Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně
jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p
(podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp
- důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální1).
V nekomutativním případě je situace výrazně složitější - až v roce
1982 (samozřejmě s pomocí počítačů) se podařilo završit úsilí o
úplnou klasifikaci jednoduchých grup.
Například alternující grupa An (tj. podgrupa sudých permutací
grupy Z„) je jednoduchá pro n > 5 , z čehož (s pomocí tzv.
Galoisovy teorie) plyne nemožnost existence obecných vzorců pro
kořeny polynomů stupně 5 a vyššího.
^SS stran "tvrdé" matematiky
Vztai
Všechna jádra homomorfismu jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H c G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu)
p : G —> G j H,     a i—> a ■ H
je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismu.
Věta (první, základní)			
Pro libovolný homomorfismus	grup f :	G -►	K je dobře definován
také homomorfismus			
f : Gj ker f -	» K,  f (a	■H)	= ŕ(a),
který je injektivní.			
Zejména dostáváme G/ ker f	= f(G).		
Normalizátorem podgrupy B y G rozumíme množinu Nq{B) = {g G G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; B je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G).
Normalizátorem podgrupy B y G rozumíme množinu Nq{B) = {g G G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; B je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G).
Věta (druhá, diamantová]
Nechi A, B < G jsou podgrupy splňující A < Nc(B). Pak (A n ß) o A a platí
AB/B^A/(Af]B).
Věta (třetí)
Jsou-li A, B <\G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí
(G/A)/(B/A) - G/B.
□        s        -        =
Věta (třetí)
Jsou-li A, B <\G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí
(G/A)/(B/A) - G/B.
Věta (čtvrtá, svazový izomorfismus)
Nechi je N <\ G. Pak existuje bijekce mezi množinou podgrup A obsahujících N a množinou podgrup A/N faktorgrupy G/N. Navíc normálním podgrupám odpovídají normální podgrupy.
□      s
Věta (třetí)
Jsou-li A, B <\G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí
(G/A)/(B/A) - G/B.
Věta (čtvrtá, svazový izomorfismus)
Nechi je N <\ G. Pak existuje bijekce mezi množinou podgrup A obsahujících N a množinou podgrup A/N faktorgrupy G/N. Navíc normálním podgrupám odpovídají normální podgrupy.
Příklad
Určete svaz podgrup Dg grupy symetrií čtverce a odvodte z něj svaz podgrup Dg/ < r2 >.
□      s
Příklad
Zdánlivě paradoxní je příklad homomorfismu C* —► C* definovaný na nenulových komplexních číslech vztahem zwz^s přirozeným k. Zjevně jde o surjektivní homomorfismus a jeho jádro je množina k-tých odmocnin z jedničky, tj. cyklická podgrupa Z^. První věta o izomorfismu tedy dává pro všechna přirozená k izomorfismus
f : C*/Zk-> C*.
Tento příklad ukazuje, že u nekonečných grup nejsou počty s mohutnostmi tak přehledné jako u konečných grup