Matematika IV - 4. přednáška Rozklady grup (faktorgrupy), okruhy a tělesa Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 10. 3. 2008 = Obsa I Opakování Q Okruhy a tělesa OOOOOOOOOOOO □ s - = ■€. -o<\(y oooooooooooo Dopo • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • R. B. Ash, Abstract algebra, http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html. • Jiří Rosický, Algebra, PřF MU, 2002. • dále Předmětové záložky v IS MU □ gi - = -E-OQ^O" Opakování Duální pojmy • Homomorfismus f => normální podgrupa ker f • Normální podgrupa H => homomorfismus G —>■ G/H Duální pojmy • Homomorfismus f => normální podgrupa ker f • Normální podgrupa H => homomorfismus G —>■ G/H Všechna jádra homomorfismů jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H < G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu) p : G —> G j H, a i—> a ■ H je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismů. Věta (první, základní) Pro libovolný homomorfismus grup f : G -► K je dobře definován také homomorfismus f : Gj ker f - » K, f (a ■H) = ŕ(a), který je injektivní. Zejména dostáváme G/ ker f = f(G). Předchozí věta je nejčastěji používanou větou z vět o izomorf ismech. Používá se zejména pro určení struktury faktorgrupy (resp. často spise pro potvrzení, tj. důkaz, intuitivně zřejmé struktury). Příklad Čemu je izomorfní faktrogrupa regulárních matic řádu n nad podle podgrupy matic determinantu 1 (tj., čemu se rovná GLn(R)/SL„(R))? Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná faktorgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Rx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná faktorgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Rx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). To, zeje to skutečně ono, dokážeme pomocí konstrukce surjektivního homomorfismu z (GL„(R),o) do (Kx, •), jehož jádrem bude právě SL„(R). Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná faktorgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Rx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). To, zeje to skutečně ono, dokážeme pomocí konstrukce surjektivního homomorfismu z (GL„(R),o) do (Kx, •), jehož jádrem bude právě SL„(R). Nyní už by mělo být vidět, že přirozenou volbou pro takový homomorfismus je A i—> det(A). Příklad ~* Nechť (G, o) je grupa nekonstantních lineárních z obražení reá ných 1 čísel s operac í skládání zobrazení, tj. G = {f : R- ► R| f (x) = ax + ŕ>,aeRx ŕ>G R}. Určete, která z podgru P T = {f: R ->M|ŕ(x) = ax, a G R" } S = {f: R ->M|ŕ(x) = x + b, b G R} je normální a v případě normality určete struktun přís ušné faktorgrupy. Příklad ~* Nechť (G, o) je grupa nekonstantních lineárních z obražení reá ných 1 čísel s operac í skládání zobrazení, tj. G = {f : R- ► R| f (x) = ax + b,aeRx ŕ>G R}. Určete, která z podgru P T = {f: R ->M|ŕ(x) = ax, a G R" } S = {f: R ->M|ŕ(x) = x + b, b G R} je normální a v případě normality určete struktun přís ušné faktorgrupy. Normálni je S, hledaný homomorfismus na faktorgrupu (Rx,) pak f i—> a (pro f (x) = ax + b). Součinem podgrup A, B < G rozumíme podgrupu AB = {ab\a e A, b e ß}. Normalizátorem podgrupy B v G rozumíme množinu Nc(B) = {g G G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; ß je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G). oooooooooooo Další Součinem podgrup A, B < G rozumíme podgrupu AB = {ab\a e A, b e ß}. Normalizátorem podgrupy ß v G rozumíme množinu Nc(B) = {g G G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; ß je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G). Věta (druhá, diamantová] Necht A, B < G jsou podgrupy splňující A < Nc(B). Pak (A n ß) o A a platí AB/B^A/(AnB). Věta (třetí) Jsou-li A, B <\G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí (G/A)/(B/A) - G/B. □ s - = Věta (třetí) Jsou-li A, B <\G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí (G/A)/(B/A) - G/B. Věta (čtvrtá, svazový izomorfismus) Nechi je N <\ G. Pak existuje bijekce mezi množinou podgrup A obsahujících N a množinou podgrup A/N faktorgrupy G/N. Navíc normálním podgrupám odpovídají normální podgrupy. □ s Věta (třetí) Jsou-li A, B <\G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí (G/A)/(B/A) - G/B. Věta (čtvrtá, svazový izomorfismus) Nechi je N <\ G. Pak existuje bijekce mezi množinou podgrup A obsahujících N a množinou podgrup A/N faktorgrupy G/N. Navíc normálním podgrupám odpovídají normální podgrupy. Příklad Určete svaz podgrup Dg grupy symetrií čtverce a odvodte z něj svaz podgrup Dg/ < r2 >. □ s Příklad Zdánlivě paradoxní je příklad homomorfismu C* —► C* definovaný na nenulových komplexních číslech vztahem zwz^s přirozeným k. Zjevně jde o surjektivní homomorfismus a jeho jádro je množina k-tých odmocnin z jedničky, tj. cyklická podgrupa Z^. První věta o izomorfismu tedy dává pro všechna přirozená k izomorfismus f : C*/Zk-> C*. Tento příklad ukazuje, že u nekonečných grup nejsou počty s mohutnostmi tak přehledné jako u konečných grup Plán Q Okruhy a tělesa oooooooooooo □ s S grupami se potkáváme nejčastěji jako s množinami transformací. U skalárů i vektorů ale vystupovalo hned více obdobných struktur zároveň. Jako standardní příklady mějme na mysli skaláry (tj. celá čísla Z, racionální čísla Q, komplexní čísla C) a množiny polynomů nad takovými skaláry R. S grupami se potkáváme nejčastěji jako s množinami transformací. U skalárů i vektorů ale vystupovalo hned více obdobných struktur zároveň. Jako standardní příklady mějme na mysli skaláry (tj. celá čísla Z, racionální čísla Q, komplexní čísla C) a množiny polynomů nad takovými skaláry R. Definice Komutativní grupa (/?, +) s neutrálním prvkem 0 G R, spolu s další operací • splňující • (a • b) ■ c = a ■ (b ■ c), pro všechny a, b,c R, f (x) = ax (je to injekce, proto surjekce, proto je R těleso (rozmyslete!). D 000000*00000 Obor Každý konečný obor integrity je těleso. Dokazuje se prostřednictvím homomorfismus f : R —> R, f (x) = ax (je to injekce, proto surjekce, proto je R těleso (rozmyslete!). D A co obráceně? Samozřejmě je každé těleso oborem integrity. = Obor integrity vs. těle Každý konečný obor integrity je těleso. Dokazuje se prostřednictvím homomorfismus f : R —> R, f (x) = ax (je to injekce, proto surjekce, proto je R těleso (rozmyslete!). D A co obráceně? Samozřejmě je každé těleso oborem integrity. Příklad Zřejmě je např. Z obor integrity, který není těleso. Polynomem rozumíme jakýkoliv konečný výraz, který lze poskládat ze známých konstantních prvků R a jedné neznámé proměnné pomocí operací sčítání a násobení: ooooooo«oooo Polyn Polynomem rozumíme jakýkoliv konečný v R, jehož hodnota vznikne dosazením hodnoty c za nezávislou proměnnou x, tj. f (c) = a0 + a\c H--------h a^c . Všimněme si, že konstantní polynomy odpovídají právě konstantním zobrazením. Každý polynom zadáva zobrazení f : R —> R, jehož hodnota vznikne dosazením hodnoty c za nezávislou proměnnou x, tj f (c) = a0 + a\c H--------h a^c . Všimněme si, že konstantní polynomy odpovídají právě konstantním zobrazením. Kořen polynomu f(x) je takový prvek cg/?, pro který je f(c) = 0 e /?. Každý polynom zadává zobrazení f : R —> R, jehož hodnota vznikne dosazením hodnoty c za nezávislou proměnnou x, tj. f (c) = a0 + a\c H--------h a/tC . Všimněme si, že konstantní polynomy odpovídají právě konstantním zobrazením. Kořen polynomu f(x) je takový prvek cg/?, pro který je f(c) = 0 G R. Obecně se může stát, že různé polynomy definují stejná zobrazení. Např. polynom x2 +x G 2^[x] zadává identicky nulové zobrazení. Obecněji, pro každý konečný okruh R = {ao, a\,..., ai<} zadává polynom f (x) = (x — 3o)(x — a\)... (x — a^) identicky nulové zobrazení. Zároveň ale platí tvrzení, které dokážeme zanedlouho: Jestliže Je R nekonečný okruh, pak dva polynomy f(x) a g{x) nad R Jsou stejné právě tehdy, když Jsou stejná příslušná zobrazení f a Dva polynomy f(x) = J2j 3,-x' a g{x) = J2j bjX1 umíme přirozeně také sčítat i násobit: (f + g)(x) = (a0 + bo) + (ai + r>i)x + • • • + (ak + 6fc)x* (f • g-)(x) = (a0bo) + ■■■ + (aobi + + ••• + a^x1 + ... kde uvažujeme nulové koeficienty všude, kde v původním výrazu pro polynomy nenulové koeficienty nejsou a u sčítání nechť je k maximální ze stupňů f a g. Tato definice vskutku odpovídá příslušným operacím sčítání a násobení hodnot zobrazení f,g:R—>R, díky vlastnostem skalárů v původním okruhu R. Tato definice vskutku odpovídá příslušným operacím sčítání a násobení hodnot zobrazení f,g:R—>R, díky vlastnostem skalárů v původním okruhu R. Přímo z definice vyplývá, že množina polynomů R[x] nad komutativním okruhem s jedničkou je opět komutativním okruhem s jedničkou, přičemž jedničkou v R[x] je opět jednička 1 v okruhu R vnímaná jako polynom stupně nula. Lemma Okruh polynomů nad oborem integrity je opět obor integrity. Tato definice vskutku odpovídá příslušným operacím sčítání a násobení hodnot zobrazení f,g:R—>R, díky vlastnostem skalárů v původním okruhu R. Přímo z definice vyplývá, že množina polynomů R[x] nad komutativním okruhem s jedničkou je opět komutativním okruhem s jedničkou, přičemž jedničkou v R[x] je opět jednička 1 v okruhu R vnímaná jako polynom stupně nula. Lemma Okruh polynomů nad oborem integrity je opět obor integrity. Důkaz. Máme ukázat, že v R[x] mohou být netriviální dělitelé nuly pouze, jetliže jsou už v R. To je ale zřejmé z výrazu pro násobení polynomů. Jsou-li f(x) a g{x) polynomy stupně k a í jako výše, pak koeficient u xk+e v součinu f (x) • g{x) je součin a^ ■ bga ten musí být nenulový, pokud nejsou dělitelé nuly v R. D V Matematice III jsme pracovali s formálními mocninnými řadami a neformálně jsme prohlásili, že s nimi můžeme provádět analogické operace jako s polynomy. Nyní toto tvrzení můžeme zasadit do formálního algebraického kontextu: Form, V Matematice III jsme pracovali s formálními mocninnými řadami a neformálně jsme prohlásili, že s nimi můžeme provádět analogické operace jako s polynomy. Nyní toto tvrzení můžeme zasadit do formálního algebraického kontextu: Definice Nechť R je okruh skalárů. Formální mocninou řadou nad R rozumíme (obecně nekonečný) formální výraz f(x) = J2%o3ix' kde a-, G R, i = 0,1,..., jsou tzv. koeficienty řady. Form, V Matematice III jsme pracovali s formálními mocninnými řadami a neformálně jsme prohlásili, že s nimi můžeme provádět analogické operace jako s polynomy. Nyní toto tvrzení můžeme zasadit do formálního algebraického kontextu: Definice Nechť R je okruh skalárů. Formální mocninou řadou nad R rozumíme (obecně nekonečný) formální výraz f(x) = J2%o3ix'i kde a-, G R, i = 0,1,..., jsou tzv. koeficienty řady. Snadno se ukáže, že s dříve definovanými operacemi sčítání a násobení tvoří formální mocnině řady okruh, který značíme R[[x]] (a jehož je R[x] podokruhem). Sami si zkuste rozmyslet, které prvky tohoto okruhu jsou invertibilní.