Matematika 4 A
6. června 2008 (UČO: )
Hodnocení:
Bonus Teorie 1. 2. 3. 4.
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
Teorie: (6krát 1 bod: tj. správně 1 bod, chybně -1 bod, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!), ani zde nemůžete celkově získat záporný počet bodů:
(a) ano -- ne Každá konečná cyklická grupa má prvočíselný řád (tj. počet prvků).
(b) ano -- ne Každý injektivní homomorfismus okruhů má jednoprvkové jádro.
(c) ano -- ne Grupa symetrií rovnostranného trojúhelníka je izomorfní grupě všech permutací
na tříprvkové množině.
(d) ano -- ne Atom A v Booleově algebře K splňuje, že B  K : B = 0 = A  B.
(e) ano -- ne Je-li střední hodnota náhodné veličiny X i náhodné veličiny Y rovna 1, pak je
(bez ohledu na rozdělení veličin X a Y ) střední hodnota veličiny X + Y rovna 1.
(f) ano -- ne Distribuční funkce libovolné náhodné veličiny je spojitá funkce.
Příklady:
1. (6 bodů) Určete všechny alespoň dvojnásobné komplexní kořeny polynomu x5
- 5x4
+ 5x3
+
5x2
- 5x + 1 a tento polynom rozložte na součin ireducibilních polynomů nad Z.
2. (6 bodů) Uvedťe příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje):
(a) Konečného komutativního okruhu, který není tělesem.
(b) Reálného polynomu stupně 3, který nemá reálný kořen.
(c) Nekomutativní grupy G a její normální podgrupy H, tak, že G/H je komutativní.
(d) Konečné grupy, která má právě 3 podgrupy.
(e) Surjektivního a neinjektivního homomorfismu (Z, +, )  (Z, +, ).
(f) Komplexního polynomu který nemá v C kořen.
3. (6 bodů) Odběratel provádí kontrolu jakosti námi dodaných výrobků namátkovou kontrolou
testovaného rozměru u 21 náhodně vybraných výrobků. Dodávka bude přijata, pokud nebude
výběrová směrodatná odchylka překračovat hodnotu 0,2 mm. Víme, že naše stroje produkují
výrobky, u nichž má sledovaný rozměr normální rozdělení N(10 mm; 0, 0737 mm2
). S využitím
statistických tabulek určete pravděpodobnost, s níž bude dodávka přijata.
4. (6 bodů) Náhodný vektor (X, Y ) má hustotu danou funkcí
f(x, y) =
1
a(1 + x2)(1 + y2)
pro všechna x, y  R. Určete hodnotu parametru a  R tak, aby šlo skutečně o hustotu a
vypočtěte obě marginální distribuční funkce FX, FY .
Nápověda:
X1, . . . , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou  a rozptylem 2
:
M = 1
n
n
i=1 Xi výběrový průměr . . . . . . . . . . . . . . . E(M) = , D(M) = 2
/n, M  N(, 2
/n)
S2
= 1
n-1
n
i=1(Xi - M)2
výběrový rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E(S2
) = 2
U = (M - )/(/

n)  N(0, 1)
T = (M - )/(S/

n)  t(n - 1)
K = (n - 1)S2
/2
 2
(n - 1)
(Xi - )2
/2
 2
(n)
M1 - M2  N(1 - 2,
2
1
m
+
2
2
n
)
je-li 2
1 = 2
2 = 2
, pak K = (m + n - 2)S2
/2
 2
(m + n - 2) , kde S2
 = ((m - 1)S2
1 + (n -
1)S2
2)/(m + n - 2)
F =
S2
1 /S2
2
2
1/2
2
 F(m - 1, n - 1).
Intervaly spolehlivosti:
 (známe 2
) (M - 
n
u1-/2,M + 
n
u1-/2)
 (neznáme 2
) (M - S
n
t1-/2(n - 1),M + S
n
t1-/2(n - 1))
2
(neznáme ) (n-1)S2
2
1-/2
(n-1)
, (n-1)S2
2
/2
(n-1)
2
(známe )
P
(Xi-)2
2
1-/2
(n)
,
P
(Xi-)2
2
/2
(n)
1 - 2 (známe 2
1, 2
2) M1 - M2 
2
1
m
+
2
2
n
 u1-/2
1 - 2 (neznámé 2
1 = 2
2) M1 - M2  S
1
m
+ 1
n
 t1-/2(m + n - 2)
podíl rozptylů 2
1/2
2
S2
1 /S2
2
F1-/2(m-1,n-1)
,
S2
1 /S2
2
F/2(m-1,n-1)
Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení:
(-u) = 1 - (u), (0, 05)  0, 52, (1, 65)  0, 95, (1, 96)  0, 975.
Kvantily Pearsonova rozdělení 2
:
volnost 0,025 0,05 0,95 0,975
1 0,001 0,004 3,841 5,024
2 0,051 0,103 5,991 7,378
3 0,216 0,352 7,815 9,348
5 0,831 1,145 11,070 12,833
10 3,247 3,940 18,307 20,483
20 9,591 10,851 31,410 34,710
50 32,357 34,764 67,505 71,420
100 74,222 77,929 124,342 129,561
Kvantily Studentova t-rozdělení (t() = -t1-()):
volnost  0,95 0,975
1 6,3138 12,7062
2 2,9200 4,3027
3 2,3534 3,1824
4 2,1318 2,7764
5 2,0150 2,5706
10 1,8125 2,2281
20 1,7247 2,0860
30 1,6973 2,0423
 1,6449 1,9600
Matematika 4 B
6. června 2008 (UČO: )
Hodnocení:
Bonus Teorie 1. 2. 3. 4.
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
Teorie: (6krát 1 bod: tj. správně 1 bod, chybně -1 bod, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!), ani zde nemůžete celkově získat záporný počet bodů:
(a) ano -- ne Součin cyklických grup je vždy cyklická grupa.
(b) ano -- ne Faktorgrupa komutativní grupy je vždy komutativní.
(c) ano -- ne Dávají-li 2 čísla stejný zbytek modulo 100, dávají stejný zbytek i modulo 25.
(d) ano -- ne V Booleově algebře existuje ke každému prvku komplement.
(e) ano -- ne Střední hodnota součinu libovolné dvojice náhodných veličin X, Y je rovna součinu
středních hodnot těchto veličin.
(f) ano -- ne Pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padl součet 10, víme-li, že součet
byl dělitelný 5, je menší než 1/2.
Příklady:
1. (6 bodů) Polynom 4x6
- 4x5
+ 4x4
- 4x3
+ 5x2
- 3x + 1 má dvojnásobný komplexní kořen
1
2
(1 + i). Určete všechny kořeny tohoto polynomu a rozložte jej na ireducibilní polynomy nad
Z.
2. (6 bodů) Uvažte množinu M = R \ {0} × R a na ní definovanou operaci předpisem
[a, b] [c, d] = [ac, ad + b - a]. Rozhodněte, zda (M, ) je grupa a své tvrzení dokažte.
3. (6 bodů) Uvažte proces testování skupiny obyvatelstva na přítomnost nemoci, kterou trpí
0,1% populace, s využitím testu s následujícími parametry:
* je-li testovaná osoba nemocná, test to rozpozná s pravděpodobností 0,99;
* je-li testovaná osoba zdravá, test to rozpozná s pravděpodobností 0,95.
Určete pravděpodobnost false positive výsledku, tj. výsledku, kdy test ukazuje na onemocnění,
přestože byl proveden na zdravém pacientovi a false negative výsledku (výsledek testu je
negativní, přestože je pacient nemocný).
4. (6 bodů) Na jistém pracovišti bylo náhodně vybráno 6 mužů a 6 žen, jejichž roční příjem
(v tis. Kč) činil u mužů: 320, 380, 240, 220, 440, 300 zatímco u žen: 180, 240, 160, 200,
320, 260. Předpokládejte, že jde o realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z normálních
rozdělení se stejným rozptylem a na hladině významnosti 0,05 testujte nulovou hypotézu:
střední hodnota platů mužů není vyšší než střední hodnota platů žen oproti jednostranné
alternativě. Jak by dopadl výsledek při testování nulové hypotézy: střední hodnota platů
mužů a žen se neliší oproti oboustranné alternativě?
Nápověda:
X1, . . . , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou  a rozptylem 2
:
M = 1
n
n
i=1 Xi výběrový průměr . . . . . . . . . . . . . . . E(M) = , D(M) = 2
/n, M  N(, 2
/n)
S2
= 1
n-1
n
i=1(Xi - M)2
výběrový rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E(S2
) = 2
U = (M - )/(/

n)  N(0, 1)
T = (M - )/(S/

n)  t(n - 1)
K = (n - 1)S2
/2
 2
(n - 1)
(Xi - )2
/2
 2
(n)
M1 - M2  N(1 - 2,
2
1
m
+
2
2
n
)
je-li 2
1 = 2
2 = 2
, pak K = (m + n - 2)S2
/2
 2
(m + n - 2) , kde S2
 = ((m - 1)S2
1 + (n -
1)S2
2)/(m + n - 2)
F =
S2
1 /S2
2
2
1/2
2
 F(m - 1, n - 1).
Intervaly spolehlivosti:
 (známe 2
) (M - 
n
u1-/2,M + 
n
u1-/2)
 (neznáme 2
) (M - S
n
t1-/2(n - 1),M + S
n
t1-/2(n - 1))
2
(neznáme ) (n-1)S2
2
1-/2
(n-1)
, (n-1)S2
2
/2
(n-1)
2
(známe )
P
(Xi-)2
2
1-/2
(n)
,
P
(Xi-)2
2
/2
(n)
1 - 2 (známe 2
1, 2
2) M1 - M2 
2
1
m
+
2
2
n
 u1-/2
1 - 2 (neznámé 2
1 = 2
2) M1 - M2  S
1
m
+ 1
n
 t1-/2(m + n - 2)
podíl rozptylů 2
1/2
2
S2
1 /S2
2
F1-/2(m-1,n-1)
,
S2
1 /S2
2
F/2(m-1,n-1)
Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení:
(-u) = 1 - (u), (0, 05)  0, 52, (1, 65)  0, 95, (1, 96)  0, 975.
Kvantily Pearsonova rozdělení 2
:
volnost 0,025 0,05 0,95 0,975
1 0,001 0,004 3,841 5,024
2 0,051 0,103 5,991 7,378
3 0,216 0,352 7,815 9,348
5 0,831 1,145 11,070 12,833
10 3,247 3,940 18,307 20,483
20 9,591 10,851 31,410 34,710
50 32,357 34,764 67,505 71,420
100 74,222 77,929 124,342 129,561
Kvantily Studentova t-rozdělení (t() = -t1-()):
volnost  0,95 0,975
1 6,3138 12,7062
2 2,9200 4,3027
3 2,3534 3,1824
4 2,1318 2,7764
5 2,0150 2,5706
10 1,8125 2,2281
20 1,7247 2,0860
30 1,6973 2,0423
 1,6449 1,9600