Matematika 4 A
6. června 2008 (UČO: )
Hodnocení:
Bonus Teorie 1. 2. 3. 4.
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
Teorie: (6krát 1 bod: tj. správně 1 bod, chybně -1 bod, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!), ani zde nemůžete celkově získat záporný počet bodů:
(a) ano -- ne Pro výběr z normálního rozdělení platí, že se zvyšováním požadované spolehlivosti
1 -  se zvětšuje i interval spolehlivosti pro střední hodnotu .
(b) ano -- ne Grupa (R×
, ) nemá žádnou netriviální konečnou podgrupu.
(c) ano -- ne Grupa symetrií pravidelného pětiúhelníka má 10 prvků a obsahuje podgrupu
izomorfní s grupou (Z5, +).
(d) ano -- ne Množina všech matic typu 2 krát 2 nad racionálními čísly tvoří grupu.
(e) ano -- ne Žádný polynom nad C stupně většího než 2 není ireducibilní.
(f) ano -- ne Je-li rozptyl D(X) náhodné veličiny X roven 1, pak je rozptyl veličiny 2  X - 1
roven 4.
Příklady:
1. (6 bodů) Uvažte grupu (S9, ) permutací na devítiprvkové množině a její prvky f = (1, 7) 
(2, 8)  (3, 5, 6, 4, 9) a g = (3, 8, 4, 5, 7)  (1, 6, 9, 3, 4).
(a) Ve tvaru součinu nezávislých cyklů zapište permutace: f-1
, g10
, (f9
 g-5
)20
.
(b) Permutace f a g zapište jako součin transpozic a určete jejich paritu.
(c) Rozhodněte, zda existuje h  S9 tak, že (h(1, 2, 3))2
(h(2, 3, 4))2
= (1, 2, 3, 4). Uvedťe
příklad h nebo důkaz.
2. (6 bodů) Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu
f = 4x7
- 23x5
+ 17x4
+ 31x3
- 49x2
+ 24x - 4
a zapište rozklad f na ireducibilní polynomy nad Z.
3. (6 bodů) Osoby X a Y přijdou na smluvené místo kdykoliv mezi 9.00 a 10.00 (okamžiky
příchodu jsou nezávislé a stejně možné během celého intervalu). Určete pravděpodobnost, že:
(a) první z příchozích nebude muset na druhého čekat déle než 10 minut,
(b) osoba Y přijde až jako druhá, jestliže přijde po 9.30.
4. (6 bodů) Ve dvou nádržích se zkoumal obsah chlóru. Z první bylo odebráno 22 vzorků, z druhé
10 vzorků. Byly vypočteny následující hodnoty výběrových průměrů a rozptylů: M1 = 34, 23,
M2 = 35, 73, S2
1 = 1, 76, S2
2 = 1, 81. Hodnoty zjištěné z odebraných vzorků považujeme za
realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z rozdělení N(1, 2
), resp. N(2, 2
). Sestrojte
95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot 1 -2 a vyslovte závěr na dané hladině
spolehlivosti o podstatnosti rozdílu naměřených hodnot.
Nápověda:
X1, . . . , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou  a rozptylem 2
:
M = 1
n
n
i=1 Xi výběrový průměr . . . . . . . . . . . . . . . E(M) = , D(M) = 2
/n, M  N(, 2
/n)
S2
= 1
n-1
n
i=1(Xi - M)2
výběrový rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E(S2
) = 2
U = (M - )/(/

n)  N(0, 1)
T = (M - )/(S/

n)  t(n - 1)
K = (n - 1)S2
/2
 2
(n - 1)
(Xi - )2
/2
 2
(n)
M1 - M2  N(1 - 2,
2
1
m
+
2
2
n
)
je-li 2
1 = 2
2 = 2
, pak K = (m + n - 2)S2
/2
 2
(m + n - 2) ,
kde S2
 = ((m - 1)S2
1 + (n - 1)S2
2)/(m + n - 2)
F =
S2
1 /S2
2
2
1/2
2
 F(m - 1, n - 1).
Intervaly spolehlivosti:
 (známe 2
) (M - 
n
u1-/2,M + 
n
u1-/2)
 (neznáme 2
) (M - S
n
t1-/2(n - 1),M + S
n
t1-/2(n - 1))
2
(neznáme ) (n-1)S2
2
1-/2
(n-1)
, (n-1)S2
2
/2
(n-1)
2
(známe )
P
(Xi-)2
2
1-/2
(n)
,
P
(Xi-)2
2
/2
(n)
1 - 2 (známe 2
1, 2
2) M1 - M2 
2
1
m
+
2
2
n
 u1-/2
1 - 2 (neznámé 2
1 = 2
2) M1 - M2  S
1
m
+ 1
n
 t1-/2(m + n - 2)
podíl rozptylů 2
1/2
2
S2
1 /S2
2
F1-/2(m-1,n-1)
,
S2
1 /S2
2
F/2(m-1,n-1)
Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení:
(-u) = 1 - (u), (0, 05)  0, 52, (1, 65)  0, 95, (1, 96)  0, 975.
u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413
u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773
Kvantily Pearsonova rozdělení 2
:
volnost 0,025 0,05 0,95 0,975
1 0,001 0,004 3,841 5,024
2 0,051 0,103 5,991 7,378
3 0,216 0,352 7,815 9,348
5 0,831 1,145 11,070 12,833
10 3,247 3,940 18,307 20,483
20 9,591 10,851 31,410 34,710
50 32,357 34,764 67,505 71,420
100 74,222 77,929 124,342 129,561
Kvantily Studentova t-rozdělení (t() = -t1-()):
volnost  0,95 0,975
1 6,3138 12,7062
2 2,9200 4,3027
3 2,3534 3,1824
4 2,1318 2,7764
5 2,0150 2,5706
10 1,8125 2,2281
20 1,7247 2,0860
30 1,6973 2,0423
 1,6449 1,9600
Návod k řešení:
Teorie: a) ANO; b) NE ­ {-1, 1}; c) ANO; d) NE ­ singulární matice nemají inverzi; e) ANO
­ platí dokonce i pro R; f) ANO
1. a) f-1
= (1, 7)(2, 8)(9, 4, 6, 5, 3), g10
= (3, 5, 7), (f9
g-5
)20
= (1, 9, 6)(4, 5, 7). c) neexistuje
­ plyne z úvah o paritách permutací
2. (x - 1)3
(x + 2)2
(2x - 1)2
3. Příklad na geometrickou pravděpodobnost, stačí zaznamenat možné časy příchodu obou osob
na osy x, y. a) 1 - (5/6)2
; b) 3
8
/1
2
.
4. Dosadíme do vztahu M1 - M2  S
1
m
+ 1
n
 t1-/2(m + n - 2) hodnoty M1 - M2 = -1, 5,
S = 1, 3323 a dostaneme interval (-2, 5377; -0, 4623). Do tohoto intervalu 0 nepatří, proto
je rozdíl 1 - 2 statisticky významně různý od nuly.
Matematika 4 B
6. června 2008 (UČO: )
Hodnocení:
Bonus Teorie 1. 2. 3. 4.
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
Teorie: (6krát 1 bod: tj. správně 1 bod, chybně -1 bod, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!), ani zde nemůžete celkově získat záporný počet bodů:
(a) ano -- ne Řád každého prvku v grupě (Z×
8 , ) je nejvýše 2.
(b) ano -- ne Pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly dvě trojky, pokud je známo,
že součet je dělitelný šesti, je menší než 1/4.
(c) ano -- ne Neexistuje žádný surjektivní homomorfismus (Z30, +)  (Z8, +).
(d) ano -- ne Pro výběr z normálního rozdělení platí, že zvětšováním rozsahu výběru se zmenšuje
interval spolehlivosti pro střední hodnotu .
(e) ano -- ne Pro všechna n > 2 je (n) sudé číslo.
(f) ano -- ne Je-li střední hodnota náhodné veličiny X rovna 1, pak je i střední hodnota náhodné
veličiny 2  X - 1 rovna 1 (bez ohledu na rozdělení X).
Příklady:
1. (6 bodů) Uvažte grupu (S9, ) permutací na devítiprvkové množině a její prvky f = (1, 7) 
(2, 8)  (3, 5, 9, 4, 6) a g = (1, 3, 2, 4, 5)  (3, 4, 7, 9, 6).
(a) Ve tvaru součinu nezávislých cyklů zapište permutace: f-1
, g27
, (f9
 g-3
)30
.
(b) Permutace f a g zapište jako součin transpozic a určete jejich paritu.
(c) Rozhodněte, zda existuje k  S9 tak, že k2
(1, 2)k2
= (1, 2)k2
(1, 2). Uvedťe příklad
k nebo důkaz.
2. (6 bodů) Mezi všemi normovanými polynomy s reálnými koeficienty, které mají jednoduchý
kořen -1
2
a dvojnásobný kořen 1 - 2i, nalezněte polynom nejmenšího stupně. Rozložte jej na
ireducibilní polynomy nad C, R a Q.
3. (6 bodů) V lese tvaru trojúhelníka s vrcholy v bodech (-1, 0), (1, 0) a (0,

3) se ztratilo
dítě. Pravděpodobnost výskytu dítěte v určité části lesa je úměrná velikosti této části, nikoliv
umístění této části. Určete
(a) rozdělení vzdálenosti dítěte od zvolené strany lesa,
(b) rozdělení vzdálenosti dítěte od nejbližší strany lesa.
4. (6 bodů) Hmotnost jedné porce kávy považujeme za náhodnou veličinu s normálním rozdělením
N(6g; 1, 196g2
). Určete pravděpodobnost, že k přípravě 16 porcí kávy postačí jeden 100g
balíček.
Nápověda:
X1, . . . , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou  a rozptylem 2
:
M = 1
n
n
i=1 Xi výběrový průměr . . . . . . . . . . . . . . . E(M) = , D(M) = 2
/n, M  N(, 2
/n)
S2
= 1
n-1
n
i=1(Xi - M)2
výběrový rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E(S2
) = 2
U = (M - )/(/

n)  N(0, 1)
T = (M - )/(S/

n)  t(n - 1)
K = (n - 1)S2
/2
 2
(n - 1)
(Xi - )2
/2
 2
(n)
M1 - M2  N(1 - 2,
2
1
m
+
2
2
n
)
je-li 2
1 = 2
2 = 2
, pak K = (m + n - 2)S2
/2
 2
(m + n - 2) ,
kde S2
 = ((m - 1)S2
1 + (n - 1)S2
2)/(m + n - 2)
F =
S2
1 /S2
2
2
1/2
2
 F(m - 1, n - 1).
Intervaly spolehlivosti:
 (známe 2
) (M - 
n
u1-/2,M + 
n
u1-/2)
 (neznáme 2
) (M - S
n
t1-/2(n - 1),M + S
n
t1-/2(n - 1))
2
(neznáme ) (n-1)S2
2
1-/2
(n-1)
, (n-1)S2
2
/2
(n-1)
2
(známe )
P
(Xi-)2
2
1-/2
(n)
,
P
(Xi-)2
2
/2
(n)
1 - 2 (známe 2
1, 2
2) M1 - M2 
2
1
m
+
2
2
n
 u1-/2
1 - 2 (neznámé 2
1 = 2
2) M1 - M2  S
1
m
+ 1
n
 t1-/2(m + n - 2)
podíl rozptylů 2
1/2
2
S2
1 /S2
2
F1-/2(m-1,n-1)
,
S2
1 /S2
2
F/2(m-1,n-1)
Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení:
(-u) = 1 - (u), (0, 05)  0, 52, (1, 65)  0, 95, (1, 96)  0, 975.
u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413
u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773
Kvantily Pearsonova rozdělení 2
:
volnost 0,025 0,05 0,95 0,975
1 0,001 0,004 3,841 5,024
2 0,051 0,103 5,991 7,378
3 0,216 0,352 7,815 9,348
5 0,831 1,145 11,070 12,833
10 3,247 3,940 18,307 20,483
20 9,591 10,851 31,410 34,710
50 32,357 34,764 67,505 71,420
100 74,222 77,929 124,342 129,561
Kvantily Studentova t-rozdělení (t() = -t1-()):
volnost  0,95 0,975
1 6,3138 12,7062
2 2,9200 4,3027
3 2,3534 3,1824
4 2,1318 2,7764
5 2,0150 2,5706
10 1,8125 2,2281
20 1,7247 2,0860
30 1,6973 2,0423
 1,6449 1,9600
Návod k řešení:
Teorie: a) ANO; b) ANO ­ 1/6 ; c) ANO 8 není dělitel 30; d) ANO ­ viz vzorec; e) ANO ­ viz
vzorec; f) ANO
1. a) f-1
= (6, 4, 9, 5, 3)  (1, 7)  (2, 8), g27
= (2, 7, 6, 4, 9), (f9
 g-3
)30
= (1, 5, 9)(7, 3, 8)(4, 6, 2).;
c) neexistuje ­ důkaz plyne z úvah o paritách permutací.
2. (x + 1/2)[(x - (1 - 2i))(x - (1 + 2i))]2
= (x + 1/2)(x2
- 2x + 5)2
.
3. Geometrická pravděpodobnost ­ pravděpodobnost P(R  r), že dítě je od zvolené strany
(nejlépe osa x) vzdáleno nejvýše r, se vypočte jako podíl obsahu množiny bodů vzdálené od
x nejvýše r (rovnoramenný lichoběžník) a obsahu trojúhelníka (

3).
a) P(R  r) = 2
3
r - r2
3
(pro r 

3).
b) Analogicky ­ rozdělením trojúhelníka na 3 stejné s vrcholem v těžišti původního.
P(R  r) = 2

3r - 3r2
pro r 

3
3
.
4.
P(
16
i=1
Xi  100) = P(
1
16
16
i=1
Xi 
100
16
) = P(M 
100
16
) = P
M - 6
/

16

100
16
- 6
/

16
=
= P U 
1/4
/4
= P(U  1/) = P(U  0, 9144)  0, 818.