MB101 Matematika I - 3. demonstrované cvičení Jan Herman 3. března 2009 □ 3 ► -= -f)<\(> Q Podmíněná pravděpodobnost Q Nezávislost jevů Q Geometrická pravděpodobnost □ s = _^ -í}Q,0 Podmíněna pravděpodobnost • udává pravděpodobnost, že nastane jev A za předpokladu, že již nastal jev B . P(A\B) = «ffi pac □ 3 •F) <\Q» ■*[i]iii*]iM»*ri Podmíněna pravděpodobnost • udává pravděpodobnost, že nastane jev A za předpokladu, že již nastal jev B . P(A\B) = «ffi pac □ 3 •F) <\Q» ■*[i]iii*]iM»*ri Podmíněna pravděpodobnost udává pravděpodobnost, že nastane jev A za předpokladu, že již nastal jev B že již nastal jev B . P(A\B) = «ffi Příklad 1 Jaká je pravděpodobnost toho, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7, víme-li, že ani na jedné z kostek nepadlo číslo 2? Podmíněna pravděpodobnost Příklad 2 V urně je b bílých a c černých koulí. Jaká je pravděpodobnost, že ve druhém tahu (bez vracení) vytáhneme bílou kouli, jestliže jsme v prvním vytáhli taktéž bílou? mu, že zítra přijde kat, nál íodně si vybere jednu urnu a z ní nalizoval pravděpodobnost svého QQ.O Podmíněna pravděpodobnost Příklad 2 V urně je b bílých a c černých koulí. Jaká je pravděpodobnost, že ve druhém tahu (bez vracení) vytáhneme bílou kouli, jestliže jsme v prvním vytáhli taktéž bílou? Příklad 3 V žaláři je vězeň odsouzený k trestu smrti. Výstřední žalářník mu však dá šanci. Přinese mu 12 černých a 12 bílých kuliček a dvě urny, do kterých musí těchto 24 kuliček nějak rozdělit. Sdělí mu, že zítra přijde kat, náhodně si vybere jednu urnu a z ní náhodně vybere jednu kuličku (žádná urna nesmí být prázdná). Bude-li vytažená kulička bílá, dostane vězeň milost. V opačném případě bude ortel neprodleně vykonán. Jak má vězeň rozdělit kuličky do uren, aby maximalizoval pravděpodobnost svého QQ.O Podmíněna pravděpodobnost Příklad 4 Skříňka má 3 zásuvky. V jedné z nich jsou dvě zlaté mince, v další dvě stříbrné a v poslední zásuvce je jedna mince zlatá a jedna stříbrná. Náhodně vybereme zásuvku a odebereme z ní jednu minci. Jaká je pravděpodobnost, že v otevřené zásuvce zbyla zlatá mince, je-li odebraná mince stříbrná? o falešné a z mincovny v Praze z Kutné Hory a 10 z Prahy. Né zlaťák. Jaká je pravděpodobni DSt, že zlaťák je z Kutné Hory, jestliže je pravý? □ a Podmíněna pravděpodobnost Příklad 4 Skříňka má 3 zásuvky. V jedné z nich jsou dvě zlaté mince, v další dvě stříbrné a v poslední zásuvce je jedna mince zlatá a jedna stříbrná. Náhodně vybereme zásuvku a odebereme z ní jednu minci. Jaká je pravděpodobnost, že v otevřené zásuvce zbyla zlatá mince, je-li odebraná mince stříbrná? Příklad 5 V každém pytli s 1000 zlaťáky z mincovny v Kutné Hoře jsou 2 falešné a z mincovny v Praze 3 falešné. V pokladně je 50 pytlů z Kutné Hory a 10 z Prahy. Náhodně vybereme pytel a z něho zlaťák. Jaká je pravděpodobnost, že zlaťákje z Kutné Hory, jestliže je pravý? Nezávislost jevu • systém jevů se nazývá nezávislý, je-li pro libovolnou k-tici \evůAi,,Ai2,...Aik: P(A1 n A2 n • • • n AJ = P(A) • P(A2).....Ak V urně jsou umísti šny papírky s binárními kódy 001,010,100, 111. Uvažujme ná A = {nahodil, raný lístek má na i-tém místě 1}. Jsou tyto jevy nezávislé? Jsou p □ r3> - = -š -0<\O • systém jevů se nazývá nezávislý, je-li pro libovolnou k-tici \evůAi,,Ai2,...Aik: P(A1 n A2 n • • • n Ak) = P{Ah) • P(A2).....Ak V urně jsou umístěny papírky s binárními kódy 001, 010, 100, 111. Uvažujme náhodné jevy Aj = {náhodně vybraný lístek má na i-tém místě 1}. Jsou tyto jevy nezávislé? Jsou po dvou nezávislé? □ S - = -š -0<\O Nezávislost jevu Příklad 7 Uvažme rodiny se 3 dětmi. Nechť A označuje jev, kdy rodina má kluka i holku, B pak jev, kdy rodina má nejvýše jednu holku. Rozhodněte o (ne)závislosti náhodných jevů AaB. Jal pot •F) <\Q» Nezávislost jevu Příklad 7 Uvažme rodiny se 3 dětmi. Nechť A označuje jev, kdy rodina má kluka i holku, B pak jev, kdy rodina má nejvýše jednu holku. Rozhodněte o (ne)závislosti náhodných jevů A a B. Poznámka Jak se změní odpověd, budeme-li uvažovat rodiny s jiným počtem dětí? •F) <\Q» • Podobně jako v klasické pravděpodobnosti, kdy pravděpodobnost zkoumaného jevu určujeme jako J^t, tj. počet příznivých elementárních jevů ku konečnému počtu všech elementárních jevů, můžeme zkoumat i pokusy, ve kterých je celkový počet elementárních jevů nekonečný, přesto jsou v jistém (geometrickém) smyslu stejně pravděpodobné (tj. pravděpodobnost libovolného jevu závisí pouze na objemu (obsahu) jím vymezené oblasti, nikoliv na jejím umístění). Pak geometrickou pravděpodobnost jevu A definujeme jako P (A) = -J5Ä. QQ.O • Podobně jako v klasické pravděpodobnosti, kdy \A\ pravděpodobnost zkoumaného jevu určujeme jako jgi, tj. počet příznivých elementárních jevů ku konečnému počtu všech elementárních jevů, můžeme zkoumat i pokusy, ve kterých je celkový počet elementárních jevů nekonečný, přesto jsou v jistém (geometrickém) smyslu stejně pravděpodobné (tj. pravděpodobnost libovolného jevu závisí pouze na objemu (obsahu) jím vymezené oblasti, nikoliv na jejím umístění). Pak geometrickou pravděpodobnost jevu A definujeme jako P (A) V(A) Příklad 8 Tyč dlouhou m metrů náhodně rozlomíme na tři části. Určete pravděpodobnost, že z takto vzniklých částí lze sestrojit QQ.O Geometrická pravděpodobnost Příklad 9 Osoby X a Y přijdou na smluvené místo kdykoliv mezi 12:00 a 13:00. Jaká je pravděpodobnost, že X přijde po Y za předpokladu, že Y přijde po 12:30? že jejich součet je menší než 1 a součin o<\o Uslrnl^mnmTnilgílncJffMiíMiMiMWiTil 14 Příklad 9 Osoby X a Y přijdou na smluvené místo kdykoliv mezi 12:00 a 13:00. Jaká je pravděpodobnost, že X přijde po Y za předpokladu, že Y přijde po 12:30? Příklad 10 Nechť x, y e (0,1) jsou náhodně zvolená čísla. Jaká je pravděpodobnost, že jejich součet je menší než 1 a součin menší než 0,09? •O o. O 14 Příklad 9 Osoby X a Y přijdou na smluvené místo kdykoliv mezi 12:00 a 13:00. Jaká je pravděpodobnost, že X přijde po Y za předpokladu, že Y přijde po 12:30? Příklad 10 Nechť x, y e (0,1) jsou náhodně zvolená čísla. Jaká je pravděpodobnost, že jejich součet je menší než 1 a součin menší než 0,09? Příklad 11 Na rovinu rozdělenou linkami (rovnoběžkami) o konstantní vzdálenosti d hodíme jehlu délky / < d. Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne některou linku? ^■f)<\0