MB101 Matematika I - 4. demonstrované cvičení
Jan Herman
17. března 2009
HBHE
Relace
•F) <\Q»
warn
Příklad 1
Určete počet Bn relací ekvivalence na množině {1,2,..., n} pro n= 1,2,3,4.
HBHE
Příklad 1
Určete počet Bn relací ekvivalence na množině {1,2,..., n} pro n= 1,2,3,4.
Poznámka
Dokážete vymyslet vztah pro obecné n?
HBHE
Příklad 2
Nechť je na množině {a, b, c, d} dána relace R. Rozhodněte, zda je R relací uspořádání (příp. zda se jedná o úplné uspořádání) nebo relací ekvivalence, je-li
(a)  R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, a), (b, c), (b, d)},
(b)  R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (d, a), (a, d)}, (c)R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, (d) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, a), (a, b), (b, c), (c, b)}, (e)R =
{(a, a), (b, b), (c, c), (b, a), (a, b), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)}, (f)R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)
r-
"O ^O1
Příklad 3
Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace ekvivalence:
(1)  M = f : R -»■ R, (f ~ g) <^ f(0) = g(0)
(2)  M = f :R ^R,(f ~ g) <=> f{0) = g(1)
(3) M je množina přímek v rovině, dvě přímky jsou v relaci, jestliže se neprotínají
(4) M je množina přímek v rovině, dvě přímky jsou v relaci, jestliže jsou rovnoběžné
(5) M = N,(m~n)& S{m) + S{n) = 20, kde S(n) značí ciferný součet čísla n
(6) M = N, (m ~ n) <^ l\a - b
•F) <\Q»
Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (2A, c) (graf uspořádání c na systému P(A) všech podmnožin dané množiny A) pro A = {} , A = {1}, A = {1,2}, A = {1,2,3}, ....
Najděte všechny ekvivalence ~ na množině Z, které respektují operaci + (tj. a ~ £>, c ~ d => a + c ~ Ď + d). Jak se situace zmoni, DUOGmG~ii uv3.zov3.tj3.Ko nosnou množinu r^ r

Příklad 4
Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (2A, c) (graf uspořádání c na systému P(A) všech podmnožin dané množiny A) pro A = {} , A = {1}, A = {1,2}, A = {1,2,3}, ...
Příklad 5
Najděte všechny ekvivalence ~ na množině Z, které respektují operaci + (tj. a ~ b, c ~ d => a + c ~ £> + d). Jak se situace změní, budeme-li uvažovat jako nosnou množinu N?
"O ^O1
Kolik je relací uspořádání na množině {1,2,..., n}? Kolik z nich je úplných?
Ukažte, že na množině celých čísel existuje nespočetně mnoho po dvou neizomorfních úplných uspořádání.

Příklad 6 (*
Kolik je relací uspořádání na množině {1,2,..., n}? Kolik z nich je úplných?
Příklad 7 (*
Ukažte, že na množině celých čísel existuje nespočetně mnoho po dvou neizomorfních úplných uspořádání.
mmsm