MB101 Matematika 1-10. demonstrované
cvičení
Jan Herman
April 21, 2009
□       S1
■f)<\(y
Obsah
Souřadnice vzhledem k bázi
Q Lineární zobrazení
□     s
■f)<\(y
Souřadnice vzhledem k bázi
Příklad 1
Ověřte, že vektor v = (1, -2,0,5,5) leží ve vektorovém prostoru U =< Ui,u2,u3 >c R5, kde u-\ = (1,0,-1,2,1), tv2 = (1, -1,0, -1,2), í73 = (2,1, -2,0, -1). Dokažte, že {ui, u2, u3} tvoří bázi U a určete souřadnice v v této bázi.
171 =(1,2,0,1),í72 = (-2, (0,-1,1,1),u5 = (1,1,1,; tvi,u2,U3,u4.U5 vzhledem
-3,1,2),u3 = (0,1,1,4),u4

□       S1
■f)<\(y
Souřadnice vzhledem k bázi
Souřadnice vzhledem k bázi
Příklad 1
5,kdety1 = (1,0,-1,2,1), uj, = 0, -1). Dokažte, že {ui, l/2, L/3}
Ověřte, že vektor v = (1, -2,0,5,5) leží ve vektorovém
prostoru U =< u<\, u2, u3 >c K
(1,-1,0,-1,2),í73 = (2,1,-2
tvoří bázi U a určete souřadnice v v této bázi.
Příklad 2
Určete libovolnou bázi podprostoru R4 generovaného vektory
Í71  = (1, 2, 0, 1), U2 = ("2, -3, 1, 2), Í73 = (0, 1, 1, 4), Í74 =
(0, -1,1,1), L/5 = (1,1,1,2), dále určete souřadnice vektorů L/1, L/2, L/3, L/4, L/5 vzhledem k této bázi.
□    s
Lineární zobrazení
Definice                                                                                     ^			
Lineárním	zobrazením vektorových prostorů nad polem K		
rozumíme	Lp: U^	V, které Va, b e	U, r g K splňuje:
<p(a + b) =	= <p(a) +	¥>(*>) a	
<p(r ■ a) =	r -<p (a).		
			
podp	{ueU:^(ď)=0} icm i li   Ů    rocn   R r\	a -^       ^     y         ^ u	V a ip jako U : r-(í7) G 1/}
□        S
-ŕ)c\o
Lineární zobrazení
Definice                                                                                     ^			
Lineárním	zobrazením vektorových prostorů nad polem K		
rozumíme	p): U^	V, které Va, b g	U, r e IK splňuje:
<p(a + b) =	= <p(a) +	<p(b)a	
<p(r ■ a) =	r<p(á).		
Příklad 3                                                                                 ^			
Dokažte, že jádro	lineárního zobrazení <p ■.	l/->	V, tedy
Ker(í^) = {u G U :	<p(u) = 0} je vektorový podprostor U.		
Obecněji, jsou-li A	\, resp. B podprostory U	resp	V a ip jako
výše, je ip(A) podprostorem U a ^_1 (ß) =		{u e	U : <p(u) G V}
podprostorem U.	Dokažte.		
S1
■f)<\(y
Lineární zobrazení
Příklad 4
Stanovte Ker(Z_) a Im(Z_) lineárního zobrazení R3 do R3
zadaného vztahem
/.(x-i, x2, x3) = (3xí + x2 + 2x3, 4xí + 2x2 + 3x3,2xi + x3)
				
			R2) jsou	
reprezentována ma				
*=(J o)'ß-	(SJ>C=	(S?)-		
D(i-°1>E-	(?;)■'-(	' 0   -1 \ J   oj'		
ve standardní bázi f	)rostoru R2?			
□           r5"
Lineární zobrazení
Příklad 4
Stanovte Ker(Z_) a Im(Z_) lineárního zobrazení R3 do R3
zadaného vztahem
/.(x-i, x2, x3) = (3xí + x2 + 2x3, 4xí + 2x2 + 3x3,2xi + x3)
Příklad 5                                                                                 *					
Jaká lineární zobrazení R2 do R2 (tj. reprezentována maticemi *=(iS)-B=(Si>'=			transformace R2 (!?)■		!) jsou
"(i-°1)	■-(?i)	F =	(?	o>	
ve standardn	bázi prostoru R'	?			,
■f)<\(y
Lineární zobrazení
Příklad 6
Necht jsou v prostoru polynomů P3 dány báze
£ = (1, x, x2, x3), B = (1 + x, 1 - x, x2 + x3, x2 - x3) Nalezněte
matice přechodu od báze £ k bázi B a od báze B k bázi £.
ru 5x + 3x^ — x + 3 v bázi ß prostoru


□         r5"
-r)c\o
Lineární zobrazení
Příklad 6
Necht jsou v prostoru polynomů P3 dány báze
£ = (1, x, x2, x3), B = (1 + x, 1 - x, x2 + x3, x2 - x3) Nalezněte
matice přechodu od báze £ k bázi B a od báze B k bázi £.
Příklad 7
Napište souřadnice vektoru 5x3 + 3x2 P3 z předchozího příkladu.
x + 3 v bázi B prostoru
□           r5"
■f)<\(y
			
0 lineárním zobrazení derivace D : P3		-^P2	víme, že
D(1) = 0,D(x)	= 1, D(x2) = 2x, D(x3)	= 3x2. Určete matici	
zobrazení D			
(a) ve standardních bázích prostorů P3		aP2,	tj. v bázích
£ = (1,x,x2,xs	),S = 0,x,x2),		
(b) v bázích U --	= (1 +x, 1 -x,x2 + x3,	X2-	x3) prostoru P3 a
V = (1 +x,1 -	x,x + x2) prostoru P2.