MB101 Matematika 1-12. demonstrované
cvičení
Jan Herman
May 5, 2009
□       S1
■f)<\(y
O Lineární zobrazení a souřadnice - zbylo z minula
O Vlastní hodnoty a vektory charakteristický polynom
Lineární zobrazení
Příklad 1
Necht jsou v prostoru polynomů P3 dána báze g = (1, x, x2, x3), B = (1 + x, 1 - x, x2 + x3, x2 souřadnice vektoru 5x3 + 3x2 - x + 3 v bázích Ba£.
x3) Napište
□       S1
■f)<\(y
Lineární zobrazení
P2 víme, že 3x2. Určete matici
Příklad 2
O lineárním zobrazení derivace D : P3 D(1) = 0, D(x) = 1, D(x2) = 2x, D(x3) zobrazení D
(a) ve standardních bázích prostorů P3 a P2, tj. v bázích £ = (1,x,x2,x3),£ = (1,x,x2),
(b) v bázích U = (1 + x, 1 - x, x2 + x3, x2 - x3) prostoru P3 a V = (1 + x, 1 - x, x + x2) prostoru P2.
□       S1
■f)<\(y
irní zobrazení a souřadnice
Vlastní hodnoty avektc
Vlastní hodnoty a vektory
Příklad 3
Určete charakteristický polynom, vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
4   -1    6 A= |   2     1     6
2-18

=:     -f)<\(y
tSüSmäm
Vlastni hodnoty avektc
Vlastní hodnoty a vektory
Příklad 3
Určete charakteristický polynom, vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
4   -1    6 A= |   2     1     6
2-18
Příklad 4
Stanovte vlastní hodnoty matice
/
A
-13 0
-30    12 -12     6
5    4   2 \
-10    0
9    5
4    1/
g     -f)<\(y
Algebraická a geometrická násobnost
Příklad 5                                                                                 *		
Udejte příklad čtyřrozměrné matice s vlastními hodnotami		
Ai = 6 a A2 = 7 takové, aby algebraická násobnost A2 byla 3 a		
aby		
(a) geometrická násobnost A2 byla 3 (tj.	dim Eigen(7) =	= 3),
(b) geometrická násobnost A2 byla 2 (tj.	dim Eigen(7) =	= 2),
(c) geometrická násobnost A2 byla 1 (tj.	dim Eigen(7) =	= 1)-
□           r5"
■f)<\(y
Vlastní hodnoty
Příklad 6
Víte-li, že čísla 1, -1 jsou vlastní hodnoty matice
A
( -11     5    4   1 \ -3010 -21    11    8   2
V   -9     5    3    1/
uveďte všechna řešení rovnice p(A) := \A - A/| = 0.
Nápověda: Označíme-li kořeny polynomu p(A) jako
Ai, A2, A3, A4, je \A\ = Ai • A2 • A3 • A4, tr A = Ai + A2 + A3 + A4.
□     s
-ŕ)(\o