Matematika 1-10. přednáška Ortogonální množiny a prostory, základy analytické geometrie Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 4. 2009 □ S Obsah přednášky Q Ortogonální podmnožiny a podprostory • Ortogonální matice • Gram-Schmidtův ortogonalizační proces Analytická geometrie • Afinní geometrie • Základní afinní úlohy • Euklidovská geometrie • Základní úlohy euklidovské geometrie □ s Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičeni □ s Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineárni algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Plán přednášky Q Ortogonální podmnožiny a podprostory • Ortogonální matice • Gram-Schmidtův ortogonalizační proces Analytická geometrie • Afinní geometrie • Základní afinní úlohy 9 Euklidovská geometrie • Základní úlohy euklidovské geometrie □ s Ortogonální matice Definice Čtvercová matice Q řádu sloupce tvoří ortonormální QTQ = n je ortogonální množinu vektorů /, tj. Q-1 = matice vR", -QT. , pokud její tj. pokud platí < □ s Ortogonální matice Definice Čtvercová matice Q řádu sloupce tvoří ortonormální QTQ = n je ortogonální množinu vektorů /, tj. Q-1 = matice vR", -QT. , pokud její tj. pokud platí Poznámka Ze vztahu QTQ = I plyne, že každá ortogonální matice je regulární a že determinant každé ortogonální matice je buď 1 nebo —1, neboť 1 = 1/1 = \QTQ\ = |Qr|.|Q| = |Q|2. Příklad (a) Matice rotace v R2 o úhel ip v kladném směru Q cos (p — s\np s\np cos p je ortogonální matice a tedy platí Q-1 = QT = ( cosip siniP\ s\r\p cosp) ' Příklad (a) Matice rotace v R2 o úhel ip v kladném směru Q cos (p — s\np s\np cos p je ortogonální matice a tedy platí Q"1 = QT = (b) Tzv. permutační matice jsou ortogonální, např. cosp s\np -sin(/? cosp 0 1 1 0 1 0 0\ /O 0 1 0 0 1, 0 10 0 1 0/ \1 0 0 /O 0 0 1\ 0 10 0 10 0 0 Vo 0 1 o/ Permutační matice vzniknou z jednotkové matice / tak, že se r\röh^7/-iii löir r^HU\/ ínůhn cl/~ii i r\/-ö í B Je-li Q ortogonální matice řádu n, potom platí {Qx, Qy) = -- (x,y) pro všechny vektory x jGR", \\Qxh = z IWI2 pro všechny vektory x G M". Důkaz. Plyne snadno z předchozích tvrzení. □ s - = ■€. -o<\(y B Je-li Q ortogonální matice řádu n, potom platí {Qx, Qy) = -- (x,y) pro všechny vektory x jGR", \\Qxh = z IWI2 pro všechny vektory x G M". Důkaz. Plyne snadno z předchozích tvrzení. Poznámka Z předchozího plyne jako velmi speciální případ intuitivně zřejmé tvrzení, že rotací v R2 se nemění délka vektorů. n S - = -E -00*0 Projekce vektoru na podprostor Necht W je podprostor vektorového prostoru V a necht je dán vektor v E V. Je-li u_ = (u\,... ,Uk) ortonormální báze pod prostoru W, potom má vektor p E W, který je nejblíže k vektoru v, tvar p = a\ ■ u\ H--------Y ak- uk-, Platí tedy, že kde (v,uí), i = l,...,k. Protože je V = W © W-1, můžeme vektor v napsat jediným způsobem jako součet v = p + w, kde p G W, we W^. Protože jsou bázové vektory u-, G W, je u-, _L w, tj. (uj, w) = 0 V/ = 1,..., k. Protože je V = W © W-1, můžeme vektor v napsat jediným způsobem jako součet v = p + w, kde p G W, we W^. Protože jsou bázové vektory u-, G W, je u-, _L w, tj. (uj, w) = 0 V/ = 1,..., k. Na druhou stranu, vektor p G 1/1/ můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci bázových vektorů u\,..., u^, tj. p = a1u1-\--------\-akuk, odkud již plyne vztah (v, u i) = (p, u i) + (w, u i) = a\ (ui, u i) H--------h ak (uk, u i) =o a i (uí, u i) a; u; V/ = 1,..., k. Poznámka Z důkazu plyne, že pokud by báze podprostoru 1/1/ nebyla ortonormální, ale jen ortogonální, potom pro koeficienty a,- ve vyjádření projekce p platí a; (v, U i) (v, U i) (u;,U;) \\u;\\2 Tedy projekce p vektoru v na podprostor 1/1/ je pak tvaru (v,ui) , , (v,uk) P = 7--------r • ui + • • • + t--------r • uk. {Ul,Ul) {Uk,Uk) □ s Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooo»oooo Analytická geometrie oooooooooooooooo Vzdálenost a odchylka vektoru od podprostoru ^^^B^^^H I Definice ^^H Číslo v(v, 1/1/) := ||v — p\\ nazýváme vzdálenost vektoru v od podprostoru 1/1/. Odchylka vektoru v od podprostoru 1/1/je definována jako úhel, který svírá vektor v se svou projekcí p na podprostor 1/1/, tj. je to úhel

P, (A, v) \—> A+ v, splňující vlastnosti (l)-(3). Pro libovolný pevně zvolený vektor v G V je tak definována translace tv : A —> A jako zúžené zobrazení tv: P ~P x {v} ^ P, A^A + v. Dimenzí afinního prostoru A rozumíme dimenzi jeho zaměření. « Všimněme si, že volba jednoho pevného bodu Ao G A nám určuje bijekci mezi V a A. Při volbě pevné báze u ve V tak dostáváme pro každý bod A e A jednoznačné vyjádření A = A0 + xiui -\--------h xnun. Hovoříme o afinní soustavě souřadnic (Ao; u\,..., un) zadané počátkem afinní souřadné soustavy Ao a baží zaměření u. Jestliže si vybereme v A jen body, které budou mít některé předem vybrané souřadnice nulové (třeba poslední jednu), dostaneme opět množinu, která se bude chovat jako afinní prostor. Takto budeme skutečně parametricky popisovat tzv. afinní podprostory ve smyslu následující definice. Definice Neprázdná podmnožina Q Z. A afinního prostoru A se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v A, je-l i podmnožina W = {B- A; A, B e Q} c V vektorový m pod prostorem a pro libovolné / e Q, v G W je A+v G Q. Pro libovolnou množinu bodů Mciv afinním prostoru se zaměřením V definujeme vektorový podprostor Z(/W) = ({B-A;B,AeM})c V. □ S 52 Pro libovolnou množinu bodů Mciv afinním prostoru se zaměřením V definujeme vektorový podprostor Z(/W) = ({B-A;B,AeM})c V. Přímo z definic je zřejmé, že průnik libovolné množiny afinních podprostoru je buď opět afinní podprostor nebo prázdná množina. Afinní podprostor (M) v A generovaný neprázdnou podmnožinou M C A je průnikem všech afinních podprostoru, které obsahují všechny body podmnožiny M. Přímo z definic plyne, že pro kterýkoliv bod Ao G M je (M) = {Ao + v; v G Z (M) C Z (A)}, tj. pro generování afinního podprostoru vezmeme vektorový podprostor Z (M) v zaměření generovaný všemi rozdíly bodů z M a ten pak přičteme k libovolnému z nich. Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů Mv A. □ S 52 Parametrizace podprostorů Naopak, kdykoliv zvolíme podprostor U v zaměření Z{A) a jeden pevný bod A G A, pak podmnožina A + Ľ vzniklá všemi možnými součty bodů A s vektory v Ľ je afinní podprostor. Takový postup vede k pojmu parametrizace podprostorů: Nechť Q = A + Z{Q) je afinní podprostor v An a (u\,..., uk) je báze Z{Q) cR". Pak vyjádření podprostorů Q = {A + řiui + • • • + tkuk; ti,...,tkeR} nazýváme parametrický popis podprostorů Q. Jeho zadání systémem rovnic v daných souřadnicích je implicitní popis podprostorů Q. □ s Příklad Jednorozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů reálné přímky A\. Její zaměření je jednorozměrný vektorový prostor R (a nosná množina také R). Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a měřítka (tj. báze ve vektorovém prostoru R). Všechny vlastní afinní podprostory jsou 0-rozměrné, jsou to právě všechny body reálné přímky R. □ s Příklad Jednorozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů reálné přímky A\. Její zaměření je jednorozměrný vektorový prostor R (a nosná množina také R). Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a měřítka (tj. báze ve vektorovém prostoru R). Všechny vlastní afinní podprostory jsou 0-rozměrné, jsou to právě všechny body reálné přímky R. Trojrozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů prostoru ^3 se zaměřením R3. Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a tří nezávislých vektorů (směrů a měřítek). Vlastní afinní pod prostory jsou pak všechny body, přímky a roviny (0-rozměrné, 1-rozměrné a 2-rozměrné). □ s Příklad O Podprostor všech řešení jedné lineární rovnice a ■ x = b pro neznámý bod (xi,... ,x„) G An, známý nenulový vektor koeficientů (a\,..., an) a skalár b G M je afinní podprostor dimenze n — 1, tj. tzv. nadrovina v An. □ s Příklad O Podprostor všech řešení jedné lineární rovnice a ■ x = b pro neznámý bod (xi,... ,x„) G An, známý nenulový vektor koeficientů (a\,..., an) a skalár b e M je afinní podprostor dimenze n — 1, tj. tzv. nadrovina v An. Poslední příklad je zvláštním případem následující obecné věty popisující geometrickou podstatu systémů lineárních rovnic. Necht (A); u) je afinní souřadný systém v n-rozměrném afinním prostoru A. Afinní podprostory dimenze k v A, vyjádřené v daných souřadnicích, jsou právě množiny řešení řešitelných systémů n — k lineárně nezávislých lineárních rovnic v n proměnných. □ s Transformace souřadnic Dvě libovolně zvolené afinní soustavy souřadnic (Aq,u), (Bq,v) se obecně liší posunutím počátku o vektor (ßo — A) a jinou baží zaměření. Transformační rovnice tedy vyčteme ze vztahu pro obecný bod X e A X = Bq + x[ Vi -\--------h x'nvn = Bq + (A - ßo) + *\U\ H--------h xnun. Označme y = (yi,... ,yn)T sloupec souřadnic vektoru (A) — ßo) v bázi yaM = (a//) buď matice vyjadřující bázi u prostřednictvím báze v. Potom x1=y1 + anxi H--------h alnxn tj. maticově xn=Yn + 3/71*1 H--------\- 3nnXn x' = y + M ■ x. □ S Afinní kombinace bodů Nechť A),... ,Ak jsou body v afinním prostoru A. Jejich afinní obal ({A)..., Ak}) můžeme zapsat jako {A) + ti(A - Ad) + • • • + tk(Ak - Ad); ti, • • •, tk g R} a v libovolných afinních souřadnicích (tj. A je vyjádřen sloupcem skalárů) můžeme tutéž množinu zapsat jako k {Aq, ...,Ak) = {toAo + íiAl + • • • + tkAk; t/ G R, J] ŕ/ = 1}. ;=o Obecně výrazy ŕoA) + ŕiA + • • • + tkAk s koeficienty splňujícícmi Y1í=q ť' = 1 rozumíme body Aq + ^;=i ŕ/(A' ~~ A)) a nazýváme je afinní kombinace bodů. □ s - 52 Afinní kombinace bodů Nechť A),... ,Ak jsou body v afinním prostoru A. Jejich afinní obal ({A)..., Ak}) můžeme zapsat jako {A) + ti(A - Ad) + • • • + tk(Ak - Ad); ti, • • •, tk g R} a v libovolných afinních souřadnicích (tj. A je vyjádřen sloupcem skalárů) můžeme tutéž množinu zapsat jako k {Aq, ...,Ak) = {toAo + íiAl + • • • + tkAk; t/ G R, J] ŕ/ = 1}. ;=o Obecně výrazy ŕoA) + ŕiA + • • • + tkAk s koeficienty splňujícícmi Y1í=q ť' = 1 rozumíme body Aq + ^;=i ŕ/(^/ — ^o) a nazýváme je afinní kombinace bodů. Body Aq ..., Ak jsou v obecné poloze, jestliže generují A-rozměný podprostor. Z našich definic je vidět, že to nastane právě, když pro kterýkoliv z nich platí, že vektory vzniklé pomocí rozdílů tohoto pevného s ostatními jsou lineárně nezávislé. < 52 Simplex Nechť A),..., Ak je k + 1 bodů afinního prostoru A v obecné poloze, /(-rozměrný simplex A = A(4o,... ,Ak) generovaný těmito body je definován jako množina všech afinních kombinací bodů A; s pouze nezápornými koeficienty, tzn. A = {tQAQ + Mi + • • • + tkAk; t, G [0,1] C R, Y, ti = !}• ;=o Jednorozměrný simplex je úsečka, dvourozměrný trojúhelník. Simplex Nechť A),..., Ak je k + 1 bodů afinního prostoru A v obecné poloze, /(-rozměrný simplex A = A(4o,... ,Ak) generovaný těmito body je definován jako množina všech afinních kombinací bodů Aj s pouze nezápornými koeficienty, tzn. A = {tQAQ + Mi + • • • + tkAk; ti G [0,1] C R, Y, ti = !}• ;=o Jednorozměrný simplex je úsečka, dvourozměrný trojúhelník. Zadání podprostoru jako množiny afinních kombinací bodů v obecné poloze je ekvivalentní parametrickému popisu. Obdobně pracujeme s parametrickými popisy simplexů. ooooooooooo«oooc Konvexní množiny Definice Podmnožina M afinního prostoru se nazývá konvexní, jestliže s každými svými dvěma body A, B obsahuje i celou úsečku A(A, B). Přímo z definice je vidět, že každá konvexní množina obsahuje s každými k + 1 body v obecné poloze i celý jimi definovaný simplex. □ s ooooooooooo«oooc Konvexní množiny Definice Podmnožina M afinního prostoru se nazývá konvexní, jestliže s každými svými dvěma body A, B obsahuje i celou úsečku A(A, B). Přímo z definice je vidět, že každá konvexní množina obsahuje s každými k + 1 body v obecné poloze i celý jimi definovaný simplex. Příklad Konvexními množinami jsou např. (1) prázdná podmnožina (2) afinní podprostory (3) úsečky, polopřímky p = {P + ŕ rozměrné poloprostory a = {P + t1-v1 + --- + tk-vk; ti. dvojrozměrných pod prostorech ß = {P+ti-v1 + t2-v2; íi > 0, í2 > 0}, atd v; t > 0}, obecněji k- ..,tkeR,tk> 0}, úhly v Přímo z definice také plyne, že průnik libovolného systému konvexních množin je opět konvexní. Průnik všech konvexních množin obsahujících danou množinu M nazýváme konvexní obal /C(/W) množiny M. Konvexní obal libovolné podmnožiny M C A je s K{M) = {Mi + • • • + tsAs; Y, ti = !. ti > °} □ s Přímo z definice také plyne, že průnik libovolného systému konvexních množin je opět konvexní. Průnik všech konvexních množin obsahujících danou množinu M nazýváme konvexní obal /C(/W) množiny M. Konvexní obal libovolné podmnožiny M C A je s K{M) = {Mi + • • • + tsAs; Y, ti = !. ti > °} /=i Konvexní obaly konečných množin bodů se nazývají konvexní mnohostěny. Jsou-li definující body Ao,... ,4^ konvexního mnohostěnu v obecné poloze, dostáváme právě /(-rozměrný simplex. V případě simplexu je vyjádření jeho bodů ve tvaru afinní kombinace definujících vrcholů jednoznačné. □ s - = 1 Jiným příkladem jsou konvexní podmnožiny generované jedním bodem a konečně mnoha vektory: Nechť u\,... ,uk, jsou libovolné vektory v zaměření R", A G An je libovolný bod. Rovnoběžnostěn Vk(A; u\,... ,Uk) C An je množina Vk(A; ui,..., uk) = {A+dUt-l-------\-ckuk; 0 < q < 1, / = 1,..., k}. Jsou-li vektory u\,..., uk nezávislé, hovoříme o /(-rozměrném rovnoběžnostěnu Vk{A; u\,..., uk) C An- Z definice je zřejmé, že rovnoběžnostěny jsou konvexní. Ve skutečnosti jde o konvexní obaly jejich vrcholů. K podprostoru zadanému implicitně nalézt parametrický popis Nalezením partikulárního řešení nehomogenního systému a fundamentálního řešení zhomogenizovaného systému rovnic získáme (v souřadnicích, ve kterých byly rovnice zadány) právě hledaný parametrický popis. □ s K podprostoru zadanému implicitně nalézt parametrický popis Nalezením partikulárního řešení nehomogenního systému a fundamentálního řešení zhomogenizovaného systému rovnic získáme (v souřadnicích, ve kterých byly rovnice zadány) právě hledaný parametrický popis. Z parametrického popisu získat popis implicitní Zapíseme-li parametrický popis v souřadnicích, můžeme volné parametry t\,...,tk vyeliminovat a získáme právě rovnice zadávající daný podprostor implicitně. □ s Nalézt podprostor generovaný několika podprostory Výsledný podprostor Q je vždy určen jedním pevně zvoleným bodem A, v každém z nich a součtem všech zaměření. Např. Q = Ar + (Z({Aly..., Ak}) + Z{Qi) + ••• + Z(QS)). Pokud jsou podprostory zadány implicitně, je možné je nejdříve převést na parametrický tvar. V konkrétních situacích býají funkční i jiné postupy. Všimněme si, že obecně je skutečně nutné využít jednoho bodu z každého podprostoru. Např. dvě paralelní přímky v rovině vygenerují celou rovinu, ale sdílí totéž jednorozměrné zaměření. □ s Nalézt průnik podprostoru Q\ Pokud jsou zadány v implicitním tvaru, stačí sjednotit všechny rovnice do jednoho systému (a případně vynechat lineárně závislé). Pokud je vzniklý systém neřešitelný, je průnik prázdný. V opačném případě získáme implicitní popis afinního podprostoru, který je hledaným průnikem. Pokud máme dány parametrické tvary, můžeme také hledat přímo společné body jako řešení vhodných rovnic, podobně jako při hledání průniků vektorových podprostoru. Získáme tak přímo opět parametrický popis. Pokud je podprostoru více než dva, musíme průnik hledat postupně. Máme-li jeden prostor zadaný parametricky a ostatní implicitně, stačí dosadit parametrizované souřadnice a řešit výsledný systém rovnic. □ s Nalezení příčky mimoběžek p, q y A3 procházející daným bodem nebo mající předem daný směr (tj. zaměření) Příčkou rozumíme přímku, která má neprázdný průnik s oběma mimoběžkami. Nalezení příčky mimoběžek p, q v A?, procházející daným bodem nebo mající předem daný směr (tj. zaměření) Příčkou rozumíme přímku, která má neprázdný průnik s oběma mimoběžkami. Výsledná příčka r tedy bude jednorozměrným afinním podprostorem. Pokud máme zadán jeho bod A G r, pak afinní podprostor generovaný p a A je buď přímka {A e p) nebo rovina {A £ p). V prvém případě máme nekonečně mnoho řešení, jedno pro každý bod z q, v druhém stačí najít průnik B roviny (p U A) s q a r = {{A, B}). Pokud je průnik prázdný, úloha nemá řešení, v případě že q C (p U A), máme opět nekonečně mnoho řešení, a pokud je průnik jednoprvkový, dostáváme právě jedno řešení. 52 Nalezení příčky mimoběžek p, q y A3 procházející daným bodem nebo mající předem daný směr (tj. zaměření) Příčkou rozumíme přímku, která má neprázdný průnik s oběma mimoběžkami. Výsledná příčka r tedy bude jednorozměrným afinním podprostorem. Pokud máme zadán jeho bod A G r, pak afinní podprostor generovaný p a A je buď přímka {A e p) nebo rovina {A £ p). V prvém případě máme nekonečně mnoho řešení, jedno pro každý bod z q, v druhém stačí najít průnik B roviny (p U A) s q a r = {{A, B}). Pokud je průnik prázdný, úloha nemá řešení, v případě že q C (p U A), máme opět nekonečně mnoho řešení, a pokud je průnik jednoprvkový, dostáváme právě jedno řešení. Máme-li místo bodu dán směr u G M", tj. zaměření r, pak uvažujeme opět podprostor Q generovaný p a zaměřením Z{p) + (u) C M". Opět, pokud q C Q, máme nekonečně mnoho řešení, jinak uvážíme průnik Qs q a úlohu dokončíme stejně jako v předchozím případě. 52 Euklidovská geometrie Definice Standardní bodový euklidovský prostor £n je afinní prostor An, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor R" se skalárním součinem (x,y) =xT -y. □ s Euklidovská geometrie Definice Standardní bodový euklidovský prostor £n je afinní prostor An, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor R" se skalárním součinem (x,y) =xT -y. Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (A)l u) s ortonormální baží u. Euklidovská geometrie Definice Standardní bodový euklidovský prostor £n je afinní prostor An, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor R" se skalárním součinem (x,y) =xT -y. Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (A)l u) s ortonormální baží u. Vzdálenost bodů A, B g £n definujeme jako velikost vektoru || ß — >4||, budeme ji značit p(A, B). Euklidovské podprostory v £n jsou afinní podprostory jejichž zaměření uvažujeme spolu se zúženými skalárními součiny. Připomeňme několik tvrzení o prostorech se skalárním součinem: Pro každé vektory u a v, které leží v reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem, platí O \\u + v\\ < \\u\\ + \\v\\ ^trojúhelníková nerovnostj. Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. Připomeňme několik tvrzení o prostorech se skalárním součinem: Pro každé vektory u a v, které leží v reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem, platí O \\u + v\\ < \\u\\ + \\v\\ ^trojúhelníková nerovnostj. Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. Q \u ■ v\ < \\u\\ \\v\\ (Xauchyova nerovnostj. Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. Připomeňme několik tvrzení o prostorech se skalárním součinem: Pro každé vektory u a v, které leží v reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem, platí O \\u + v\\ < \\u\\ + \\v\\ ^trojúhelníková nerovnostj. Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. Q \u ■ v\ < \\u\\ \\v\\ (Xauchyova nerovnostj. Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. O pro každý ortonormální systém vektorů (ei,..., e^) platí Ml2 > I"- eil2 + + \u ■ ek\ fBesselova nerovnostj. Připomeňme několik tvrzení o prostorech se skalárním součinem: Pro každé vektory u a v, které leží v reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem, platí O \\u + v\\ < \\u\\ + \\v\\ ^trojúhelníková nerovnostj. Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. Q \u ■ v\ < \\u\\ \\v\\ (Xauchyova nerovnostj. Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. O pro každý ortonormální systém vektorů (ei,..., e^) platí Ml2 > I"- eil2 + + \u ■ ek\ fBesselova nerovnostj. Pro ortonormální systém vektorů (ei,..., e^) je u G (ei,..., ek) právě když \\u\\2 = \u ■ ei|2 + • • • + \u ■ e/t|2 fParsevalova rovnostj. Připomeňme několik tvrzení o prostorech se skalárním součinem: Pro každé vektory u a v, které leží v reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem, platí O \\u + v\\ < \\u\\ + \\v\\ ^trojúhelníková nerovnostj. Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. Q \u ■ v\ < \\u\\ \\v\\ (Xauchyova nerovnostj. Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. O pro každý ortonormální systém vektorů (ei,..., e^) platí Ml2 > I"- eil2 + + \u ■ ek\ fBesselova nerovnostj. Q Pro ortonormální systém vektorů (ei,..., e^) je u G (ei,..., ek) právě když \\u\\2 = \u ■ ei|2 + • • • + \u ■ e/t|2 fParsevalova rovnostj. O Pro ortonormální systém vektorů (ei,..., ek) a u G V je w = {u ■ ei)ei + • • • + {u ■ ek)ek jediným vektorem, který minimalizuje velikost \\u — v\\ pro všechny v G (ei,..., ek). Odtud dostáváme jednoduché geometrické důsledky: O p(A,B) = p(B,A) O p(A, ß) = 0 právě, když A = B O p(A, B) + p(B, C) > p(A, C) O V každé kartézké souřadné soustavě (A); e) mají body A = A0 + a\e!-\--------h anen, B = A0 + b\e\ -\--------h bnen vzdálenost a/S/LiÍ3/ — b,)2. 9 Je-li dán bod A a podprostor Q v 8n, pak existuje bod P G Q minimalizující vzdálenosti bodů Q od A. Vzdálenost bodů A a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A— B do Z(Q)1- pro libovolný B e Q. Q Obecněji, pro podprostory 1Z a Q v £n existují bod P G Q a Q G 1Z minimalizující vzdálenosti bodů B G Q a A G 1Z. Vzdálenost bodů Q a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A - B do Z{Q)± pro libovolné body B G Q a A G TZ. Určení vzdálenosti podprostorů Příklad Určete vzdálenost přímek v R3. p : [1, -1, 0] + ř(-l, 2, 3), a q : [2,5, -1] + ř(-l, -2,1). □ g - = Určení vzdálenosti podprostorů Příklad Určete vzdálenost přímek v R3. p : [1, -1, 0] + ř(-l, 2, 3), a q : [2,5, -1] + ř(-l, -2,1). Vzdálenost je dána jako velikost kolmého průmětu libovolné příčky I (spojnice) daných přímek do ortogonálního doplňku vektorového podprostorů generovaného jejich zaměřeními. Tento ortogonální doplněk zjistíme například pomocí vektorového součinu: ((-1, 2, 3), (-1, -2, l))x = ((-1, 2, 3)x(-l, -2,1)) = ((8, -2, 4)). Spojnicí daných přímek je například úsečka [1, —1, 0][2,5, —1], promítneme tedy vektor [1, — 1, 0] — [2,5, —1] = (—1, —6,1). Pro vzdálenost přímek pak dostáváme: n(n n\ = l(-l..-.MH4,-l,2)| = 4 Odchylka podprostorů Definice Nechť Ľi, Ľ2 jsou podprostory v euklidovském prostoru V. Odchylka podprostorů l)\, U2 je reálné číslo a =