Matematika 1-12. přednáška Diagonalizovatelné matice, symetrické matice Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 5. 2009 □ S Obsah přednášky Q Připomenutí pojmů Q Diagonalizovatelné matice • Mocniny diagonalizovatelných matic Symetrické matice a Pozitivně a negativně definitní matice □ s Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičeni □ s Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineárni algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Plán přednášky Q Připomenutí pojmů 9 Mocniny diagonalizovatelných matic • Pozitivně a negativně definitní matice n S - = -E -00*0 Opakovaní z minula Definice Vlastní hodnota (též vlastní číslo) matice A je číslo A G C, pro které existuje (alespoň jeden) nenulový vektor u G C" s vlastností A-u = X-u. Vektor u se pak nazýva vlastní vektor (eigenvector) matice A příslušející vlastní hodnotě (eigenvalue) A. Množina všech vlastních vektorů příslušejících téže vlastní hodnotě A (společně s nulovým vektorem) se nazývá vlastní prostor příslušející vlastní hodnotě A a značíme ji Eigen(A) (z angl./něm. eigenspace). Opakovaní z minula Definice Algebraická násobnost vlastní hodnoty A je definována jako násobnost čísla A jakožto kořene charakteristického polynomu. Geometrická násobnost vlastní hodnoty A je definována jako dimenze příslušného vlastního prostoru Eigen(A). Opakovaní z minula Definice Algebraická násobnost vlastní hodnoty A je definována jako násobnost čísla A jakožto kořene charakteristického polynomu. Geometrická násobnost vlastní hodnoty A je definována jako dimenze příslušného vlastního prostoru Eigen(A). Jsou-li Ai,..., A/c navzájem různé vlastní hodnoty matice A, pak jsou jejich příslušné vlastní vektory u\,...,Uk lineárně nezávislé. Symetrické matic Opakování z minula Definice Algebraická násobnost vlastní hodnoty A je definována jako násobnost čísla A jakožto kořene charakteristického polynomu. Geometrická násobnost vlastní hodnoty A je definována jako dimenze příslušného vlastního prostoru Eigen(A). Jsou-li Ai,..., A/c navzájem různé vlastní hodnoty matice A, pak jsou jejich příslušné vlastní vektory u\,...,Uk lineárně nezávislé. Tvrzení Má-li matice A n lineárně nezávislých vlastních vektorů u\,...,un a označíme-li jako u := (u\,..., un) příslušnou bázi, potom má lineární zobrazení La v této bázi diagonální maticovou reprezentaci. Navíc, na hlavní diagonále jsou právě vlastní hodnoty příslušné (postupně) vlastním vektorům u\,... ,un. Plán přednášky Q Diagonalizovatelné matice • Mocniny diagonalizovatelných matic • Pozitivně a negativně definitní matice n S - = -E -00*0 Diagonalizovatelné matice Je-li A čtvercová matice řádu n, potom nás zajímá, Kolik lineárně nezávislých vlastních vektorů matice A vlastně má? □ s Diagonalizovatelné matice Je-li A čtvercová matice řádu n, potom nás zajímá, Kolik lineárně nezávislých vlastních vektorů matice A vlastně má? Pokud má matice A plný počet (tj. n) lineárně nezávislých vlastních vektorů, potom lze tuto matici diagonalizovat. Označme jako Ai,..., A„ vlastní hodnoty (nemusí být nutně všechny navzájem různé) a jako u\,...,un příslušné lineárně nezávislé vlastní vektory (jako sloupcové vektory!), a položme D 'Ai 0 0 A„, Matice P se nazývá matice vlastních vektorů a matice D se nazývá matice vlastních hodnot. Definice Čtvercová matice A řádu n se nazývá diagonalizovatelná, jestliže je podobná diagonální matici, tj. jestliže existuje diagonální matice D a regulární matice P takové, že platí PDP- neboli D = P'1 AP. Proces nalezení diagonální matice D a regulární matice P se nazývá diagonalizace matice A Důsledek Každá matice A, která má n navzájem různých vlastních hodnot, je diagonalizovatelná. □ s - Definice Čtvercová matice A řádu n se nazývá diagonalizovatelná, jestliže je podobná diagonální matici, tj. jestliže existuje diagonální matice D a regulární matice P takové, že platí PDP- neboli D = P'1 AP. Proces nalezení diagonální matice D a regulární matice P se nazývá diagonalizace matice A Důsledek Každá matice A, která má n navzájem různých vlastních hodnot, je diagonalizovatelná. Poznámka Snadno se ukáže opačné tvrzení, tj. každá diagonalizovatelná matice má n lineárně nezávislých vlastních vektorů (což ale neznamená, že musí mít n různých vlastních hodnot). Příklad * Podle předchozího tvrzení není matice -n z diagonalizovatelná, protože má (jak jsme ukázal minule) pouze jeden lineárně nezávislý vlastní vektor -©• □ s - = ■€. -o<\(y Důsledek Čtvercová matice A řádu n je diagonalizovatelná <^ pro každou vlastní hodnotu A; matice A je její geometrická násobnost rovna násobnosti algebraické. □ s Důsledek Čtvercová matice A řádu n je diagonalizovatelná <^ pro každou vlastní hodnotu A; matice A je její geometrická násobnost rovna násobnosti algebraické. Odtud plyne: Algoritmus pro nalezení maximálního počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů matice 1. Najdeme všechny navzájem různé vlastní hodnoty matice A, označme je jako Ai,..., A^. Důsledek Čtvercová matice A řádu n je diagonalizovatelná <^ pro každou vlastní hodnotu A; matice A je její geometrická násobnost rovna násobnosti algebraické. Odtud plyne: Algoritmus pro nalezení maximálního počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů matice 1. Najdeme všechny navzájem různé vlastní hodnoty matice A, označme je jako Ai,..., A^. 2. Pro každý index / = 1,..., k (tj. pro každou vlastní hodnotu A,), najdeme bázi příslušného podprostoru vlastních vektorů. Důsledek Čtvercová matice A řádu n je diagonalizovatelná <^ pro každou vlastní hodnotu A; matice A je její geometrická násobnost rovna násobnosti algebraické. Odtud plyne: Algoritmus pro nalezení maximálního počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů matice Najdeme všechny navzájem různé vlastní hodnoty matice A, označme je jako Ai,..., A^. Pro každý index / = 1,..., k (tj. pro každou vlastní hodnotu A,), najdeme bázi příslušného podprostoru vlastních vektorů. Sjednocení všech vektorů z takto nalezených bází je maximální množina lineárně nezávislých vlastních vektorů matice A. Má-li tato množina n prvků, potom je matice A diagonalizovatelná. Má-li tato množina méně než n prvků, potom matice A diagonalizovatelná není. Mocniny diagonalizovatelných matic Vzorec A = PDP'1 lze dobře využít k výpočtu mocnin diagonalizovatelných matic. Např. pro druhou mocninu matice A platí A2 = A ■ A = {PDP'1) ■ {PDP'1) = PD{P~1P)DP-1 = PD2P~1, přičemž druhá mocnina diagonálni matice je opět diagonální matice, jejíž diagonální prvky jsou druhými mocninami původních prvků, tj. 'Ai ... 0\ (\i ... 0\ (\\ ... 0 D2 \ 0 ... \n) V 0 ••• \n) \ 0 ... A? Mocniny diagonalizovatelných matic Vzorec A = PDP'1 lze dobře využít k výpočtu mocnin diagonalizovatelných matic. Např. pro druhou mocninu matice A platí A2 = A ■ A = {PDP'1) ■ {PDP'1) = PD{P~1P)DP-1 = PD2P~1, přičemž druhá mocnina diagonálni matice je opět diagonální matice, jejíž diagonální prvky jsou druhými mocninami původních prvků, tj. \o ... xj V o ... xj V o ... xl Podobně se ukáže pomocí matematické indukce (a pro záporná k pomocí tvrzení o vlastních hodnotách inverzní matice) , že Ak = PDkp-\ kde Dk = d\ag(Xk,...,Xkn). Příklad Určete A , kde IteZ pro matici '2 -3 V 1-2 1 ,1 -3 2, □ S Příklad Určete A , kde IteZ pro matici Ukázali jsme, že A má vlastní hodnoty Ai = 0, A2 = 1 a jim příslušné Eigen(O) = ((1,1, l)r), Eigen(l) = ((-1, 0,1)T, (3,1,0)r). Vlastní vektor (1,1,1)T (či jeho libovolný nenulový násobek) je lineárně nezávislý s každým z vektorů (—1,0,1)T, (3,1,0)r (či jejich libovolnou nenulovou lineární kombinací). Samozřejmě platí, že poslední 2 vektory jsou lineárně nezávislé, je tedy lineárně nezávislá celá trojice těchto vektorů. Řešení (pokr.) Odtud A = PDP'1, kde p-i Matice A má vlastní hodnotu 0, není proto regulární a Ak není pro k < 0 definováno. Řešení (pokr.) Odtud A = PDP'1, kde p-i D Matice A má vlastní hodnotu 0, není proto regulární a Ak není pro k < 0 definováno. Pro k > 0 pak jde o tzv. idempotentnf matici (splňující A2 = A), neboť '0k 0 0' PDkP~1 = P ■ | 0 lfc 0 | ■ P'1 0 0 lfc Caley-Hamiltonova věta Poslední důležitý vztah, který lze bezprostředně vyvodit z mocniny diagonalizovatelná matice, je tzv. Cayley-Hamiltonova věta, která říká, že každá (tzn. nejen diagonalizovatelná) matice A je kořenem svého charakterictického polynomu. Caley-Hamiltonova věta Poslední důležitý vztah, který lze bezprostředně vyvodit z mocniny diagonalizovatelná matice, je tzv. Cayley-Hamiltonova věta, která říká, že každá (tzn. nejen diagonalizovatelná) matice A je kořenem svého charakterictického polynomu. Je-li A čtvercová matice řádu n a p{\) = (-1)" A" + c„_i A""1 + • • • + ci A + co její charakteristický polynom, potom platí identita p{A) = (-1)" A" + c„_i A"-1 + • • • + ci A + co En = 0. Caley-Hamiltonova věta Poslední důležitý vztah, který lze bezprostředně vyvodit z mocniny diagonalizovatelná matice, je tzv. Cayley-Hamiltonova věta, která říká, že každá (tzn. nejen diagonalizovatelná) matice A je kořenem svého charakterictického polynomu. Je-li A čtvercová matice řádu n a p{\) = (-1)" A" + c„_i A""1 + • • • + ci A + co její charakteristický polynom, potom platí identita p{A) = (-1)" A" + c„_i A"-1 + • • • + ci A + co En = 0. Důkaz. Pro diagonalizovatelná matice je důkaz je přímým důsledkem předchozího. Tvrzení platí i pro obecné matice, kde je však třeba vvužítieiich Jordánova tvaru, čemuž se zde nevěnuieme. Plán přednášky 9 Mocniny diagonalizovatelných matic Symetrické matice a Pozitivně a negativně definitní matice Symetrické matice Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Matice A se nazývá symetrická, pokud AT = A. □ g - = Symetrické matice Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Matice A se nazývá symetrická, pokud AT = A. Přímo z definice a z vlastností transpozice se snadno dokáže (i) Pro libovolnou (třeba i obdélníkovou) matici A typu m x n jsou symetrické rovněž matice ATA řádu n a AAT. (ii) Je-li A symetrická (tedy čtvercová) matice, potom jsou následující symetrické také matice Ak, pro všechna k G N. (iii) Je-li A symetrická (tedy čtvercová) regulární matice, potom jsou symetrické také matice A-1 a A~k, pro všechna k G N. Příklad Jsou-li A i B symetrické matice, potom jejich součin AB nemusí být symetrická matice! Vskutku, pro 1 2 2 3 AB 1 2 2 3 B -1 1 1 -2 1 1 \ /l -3 , jsou symetrické, není symetrická. □ g - = Příklad Jsou-li A i B symetrické matice, potom jejich součin AB nemusí být symetrická matice! Vskutku, pro AB 1 2 2 3 1 2 2 3 B = -1 1 1 -2 -1 1 , jsou symetrické, 1 -3 1 -4 není symetrická. Necht A a B jsou symetrické matice. Potom je AB symetrická matice <^ matice A a B komutují. □ g - = Příklad Jsou-li A i B symetrické matice, potom jejich součin AB nemusí být symetrická matice! Vskutku, pro AB 1 2 2 3 1 2 2 3 B -1 1 1 -2 1 1 \ /l -3 1 -4 , jsou symetrické, není symetrická. Necht A a B jsou symetrické matice. Potom je AB symetrická matice <^ matice A a B komutují. Snadný. D Ukážeme, že symetrické matice mají většinu těch dobrých vlatností, které studujeme v souvislosti s vlastními hodnotami a vlastními vektory. Nechi A je reálná symetrická matice řádu n. Potom vlastni hodnoty a vlastní vektory matice A mají následující vlastnosti. (i) Všechny vlastní hodnoty matice A jsou reálné. Ukážeme, že symetrické matice mají většinu těch dobrých vlatností, které studujeme v souvislosti s vlastními hodnotami a vlastními vektory. Nechi A je reálná symetrická matice řádu n. Potom vlastní hodnoty a vlastní vektory matice A mají následující vlastnosti. (i) Všechny vlastní hodnoty matice A jsou reálné. (ii) Pro každou vlastní hodnotu A; je její algebraická a geometrická násobnost stejná. Ukážeme, že symetrické matice mají většinu těch dobrých vlatností, které studujeme v souvislosti s vlastními hodnotami a vlastními vektory. Nechi A je reálná symetrická matice řádu n. Potom vlastní hodnoty a vlastní vektory matice A mají následující vlastnosti. (i) Všechny vlastní hodnoty matice A jsou reálné. (ii) Pro každou vlastní hodnotu A; je její algebraická a geometrická násobnost stejná. (iii) Vlastní vektory příslušné různým vlastním hodnotám jsou ortogonální, tj. Eigen(A/) _L Eigen(Ay) pro A/ ^ Xj. Ukážeme, že symetrické matice mají většinu těch dobrých vlatností, které studujeme v souvislosti s vlastními hodnotami a vlastními vektory. Nechi A je reálná symetrická matice řádu n. Potom vlastní hodnoty a vlastní vektory matice A mají následující vlastnosti. (i) Všechny vlastní hodnoty matice A jsou reálné. (ii) Pro každou vlastní hodnotu A; je její algebraická a geometrická násobnost stejná. (iii) Vlastní vektory příslušné různým vlastním hodnotám jsou ortogonální, tj. Eigen(A/) _L Eigen(Ay) pro A/ ^ Xj. (iv) Matice A má n lineárně nezávislých vlastních vektorů, které tvoří bázi prostoru R". Tuto bázi lze navíc vybrat tak, aby byla ortogonální (ortonormální). Tedy platí přímý součet R" = Eigen(Ai) © • • • © Eigen(Afc), kde \1}..., \k jsou všechny navzájem různé vlastní hodnoty matice A. Poznámka Pro vektory u, v G C" definujeme jejich skalární součin (u, v) jako (obecně) komplexní číslo (u, v) u1v1-\---------\- un vn, kde Vj je číslo komplexně sdružené s číslem vj. Takto je vlastnost pozitivní definitnosti {u, u) > 0 zachována, symetrie se změní na vlastnost {u, v) = (v, u), a linearita v první i ve druhé složce zůstane také zachována, zatímco vytýkaní z druhé složky zahrnuje komplexní sdruženost, tj.(a u, v) = a {u, v), {u, a v) = ä {u, v). □ s Poznámka Pro vektory u, v G C" definujeme jejich skalární součin (u, v) jako (obecně) komplexní číslo (u, v) u1v1-\---------\- un vn, kde Vj je číslo komplexně sdružené s číslem vj. Takto je vlastnost pozitivní definitnosti {u, u) > 0 zachována, symetrie se změní na vlastnost {u, v) = (v, u), a linearita v první i ve druhé složce zůstane také zachována, zatímco vytýkaní z druhé složky zahrnuje komplexní sdruženost, tj.(a u, v) = a {u, v), {u, a v) = ä {u, v). Potom pro symetrickou matici A zřejmě platí {Au, v) = {Au)T v ■A1 ■A-v ■Av = (u,Av). □ S Poznámka Všimněte si, že norma indukovaná tímto skalárním součinem je Mb = v (u, u) = v uT ■ u = v uT ■ u a splňuje vlastnosti normy, zejména je výraz u ■ u reálne číslo. Pro reálne vektory se výše uvedený skalární součin a norma shodují se skalárním součinem a normou definovanými dříve. □ s - Poznámka Všimněte si, že norma indukovaná tímto skalárním součinem je Mb = v (u, u) = v uT ■ u = v uT ■ u a splňuje vlastnosti normy, zejména je výraz u ■ u reálne číslo. Pro reálné vektory se výše uvedený skalární součin a norma shodují se skalárním součinem a normou definovanými dříve. Tento komplexní skalární součin budeme potřebovat pouze pro důkaz faktu, že vlastní hodnoty symetrické matice A jsou reálné. Odtud pak plyne, že i všechny vlastní vektory jsou reálné a jsme tedy pak již v předchozí situaci reálného skalárního součinu. □ s Pozitivně a negativně definitní matice Níže uvedené symetrické matice hrají důležitou roli v diferenciálním počtu více proměnných (viz později MB103) při určování extrémů funkcí. Definice Symetrická matice A se nazývá • pozitivně definitní, píšeme A > 0, jestliže (Au, u) > 0 • pozitivně semidefinitní, píšeme A > 0, jestliže {Au, u) > 0 • negativně definitní, píšeme A < 0, jestliže (Au, u) < 0 • negativně semidefinitní, píšeme A < 0, jestliže (Au, u) < 0 pro všechny vektory u^Og M". □ s Pozitivně či negativně (semi)definitní matice poznáme snadněji než z definice podle následujících kritérií, využívajících vlastní hodnoty či tzv. hlavní minory. Definice Vedoucí hlavní minory čtvercové matice A jsou determinanty podmatic, které vzniknou z matice A vynecháním posledních několika (postupně n — 1, n — 2, až 0) jejích řádků a sloupců. Hlavní minory matice A jsou determinanty podmatic, které vzniknou z matice A vynecháním stejné skupiny řádků a sloupců. Poznámka Můžeme tedy například vynechat první a třetí řádek a sloupec a takto vytvořit hlavní minor (takovýto hlavní minor ale zřejmě není vedoucí hlavní minor). □ s Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou kladné, tj. A; > O V;, Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou kladné, tj. A; > O V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory jsou kladné. Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou kladné, tj. A; > O V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory jsou kladné. (ii) Matice A je pozitivně semidefinitni Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou kladné, tj. A,- > O V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory jsou kladné. (ii) Matice A je pozitivně semidefinitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou nezáporné, tj. A,- > O V;, Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou kladné, tj. A,- > O V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory jsou kladné. (ii) Matice A je pozitivně semidefinitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou nezáporné, tj. A,- > O V;, <í=> všechny její hlavní minory jsou nezáporné. Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou kladné, tj. A,- > O V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory jsou kladné. (ii) Matice A je pozitivně semidefinitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou nezáporné, tj. A,- > O V;, <í=> všechny její hlavní minory jsou nezáporné. (iii) Matice A je negativně definitní Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou kladné, tj. A,- > O V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory jsou kladné. (ii) Matice A je pozitivně semidefinitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou nezáporné, tj. A,- > O V;, <(=> všechny její hlavní minory jsou nezáporné. (iii) Matice A je negativně definitní 4$ všechny její vlastní hodnoty jsou záporné, tj. A,- < O V;, Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou kladné, tj. A,- > O V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory jsou kladné. (ii) Matice A je pozitivně semidefinitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou nezáporné, tj. A,- > O V;, <(=> všechny její hlavní minory jsou nezáporné. (iii) Matice A je negativně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou záporné, tj. A,- < O V;, <í=> všechny její vedoucí hlavní minory střídají znaménka, počínaje záporným. Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou kladné, tj. A,- > O V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory jsou kladné. (ii) Matice A je pozitivně semidefinitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou nezáporné, tj. A,- > O V;, <(=> všechny její hlavní minory jsou nezáporné. (iii) Matice A je negativně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou záporné, tj. A,- < O V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory střídají znaménka, počínaje záporným. (iv) Matice A je negativně semidefinitní BSH 1 Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou kladné, tj. A,- > 0 V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory jsou kladné. (u) Matice A je pozitivně semidefinitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou nezáporné, tj. A,- > 0 V;, <(=> všechny její hlavní minory jsou nezáporné. (iii) Matice A je negativně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou záporné, tj. A,- < 0 V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory střídají znaménka, počínaje záporným. (iv) Matice A je negativně semidefinitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou nekladné, tj. A,- < 0 V;, Necht A je symetrická matice řádu n. (i) Matice A je pozitivně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou kladné, tj. A; > O V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory jsou kladné. (ii) Matice A je pozitivně semidefinitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou nezáporné, tj. A,- > O V;, <(=> všechny její hlavní minory jsou nezáporné. (iii) Matice A je negativně definitní <(=> všechny její vlastní hodnoty jsou záporné, tj. A,- < O V;, <(=> všechny její vedoucí hlavní minory střídají znaménka, počínaje záporným. (iv) Matice A je negativně semidefinitní 4$ všechny její vlastní hodnoty jsou nekladné, tj. A,- < O V;, <í=> všechny její hlavní minory lichého stupně jsou nekladné a všechny její hlavní minory sudého stupně jsou nezáporné. Příklad Symetrická matice řádu n = 2 má tvar Potom je matice A pozitivně definitní, pokud a > 0, |>4| = ad — b2 > 0, zatímco matice A je negativně definitní, pokud a < 0, \A\ = ad — b2 > 0 (vedoucí hlavní minory střídají znaménka, počínaje záporným). . □ s Příklad Symetrická matice řádu n = 2 má tvar Potom je matice A pozitivně definitní, pokud a > 0, |>4| = ad — b2 > 0, zatímco matice A je negativně definitní, pokud a < 0, \A\ = ad — b2 > 0 (vedoucí hlavní minory střídají znaménka, počínaje záporným). . Matice A je pozitivně semidefinitní, pokud a > 0,d > 0,\A\ = ad — b2 > 0 (všechny hlavní minory jsou nezáporné, zatímco matice A negativně semidefinitní, pokud 3 < 0, d < 0, (všechny hlavní minory stupně 1 (lichý stupeň) jsou nekladné), |>4| = ad — b2 > 0, (všechny hlavní minory stupně 2 (sudý stupeň) jsou nezáporné). □ s