Matematika I ­ 2. přednáška
Pravděpodobnost
Martin Panák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
25. 2. 2009
Doporučené zdroje
Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text.
Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a
matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230
stran, ISBN 80-867-3271-1.
Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie
pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka
příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran,
ISBN 80-210-3313-4.
Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Popisná
statistika, Masarykova univerzita, 3. vydání, 2002, 48 stran,
ISBN 80-210-1831-3.
Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní
statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran,
ISBN 80-210-3886-1.
Princip inkluze a exkluze
|A1  A2      An| = |A1| + |A2| +    + |An|
-|A1  A2| - |A1  A3| -    - |An-1  An|
+|A1  A2  A3| +    + |An-2  An-1  An| . . .
+(-1)n+1
|A1     An|
=
n
r=1
(-1)r+1


i1<<ir
|Ai1      Air |


Klasická pravděpodobnost
Připomeňme si stručně konečnou pravděpodobnost, kterou jsme si
definovali již na minulé přednášce.
Klasická pravděpodobnost
Připomeňme si stručně konečnou pravděpodobnost, kterou jsme si
definovali již na minulé přednášce.
Definition
Nechť  je konečný základní prostor a nechť jevové pole A je
právě systém všech podmnožin v . Klasická pravděpodobnost je
pravděpodobnostní prostor (, A, P) s pravděpodobnostní funkcí
P : A  R,
P(A) =
|A|
||
.
Zjevně takto zadaná funkce skutečně definuje pravděpodobnost,
kdy všem elementárním jevům přiřazujeme stejnou
pravděpodobnost.
Příklad. Vrhneme dvě šestiboké kostky. Jaká je pravděpodobnost,
že padne součet šest?
Příklad. Vrhneme dvě šestiboké kostky. Jaká je pravděpodobnost,
že padne součet šest?
Příklad. Šest lidí vhodí svoje peněženky do kloubouku a poté si
každý vylosuje jednu peněženku zpět. Jaká je pravděpodobnost, že
si nikdo nevylosuje zpět svoji peněženku?
Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost
Motto:
Je dokázáno, že slavení narozenin je zdraví prospěšné. Statistika
ukazuje, že lidé, kteří oslavili nejvíce narozenin, se dožívají
nejvyššího věku.
Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost
Motto:
Je dokázáno, že slavení narozenin je zdraví prospěšné. Statistika
ukazuje, že lidé, kteří oslavili nejvíce narozenin, se dožívají
nejvyššího věku.
Obvyklé je také klást dotazy s dodatečnou podmínkou. Např.
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly
dvě pětky, je-li součet hodnot deset?
Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost
Motto:
Je dokázáno, že slavení narozenin je zdraví prospěšné. Statistika
ukazuje, že lidé, kteří oslavili nejvíce narozenin, se dožívají
nejvyššího věku.
Obvyklé je také klást dotazy s dodatečnou podmínkou. Např.
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly
dvě pětky, je-li součet hodnot deset?
Mějme urnu s 10 koulemi. Desetkrát jsem vytáhl kouli,
zkontroloval její barvu a vrátil do urny. Jestliže byla vždy bílé
barvy, s jakou pravděpodobností jsou všechny koule v urně
bílé?
Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost
Motto:
Je dokázáno, že slavení narozenin je zdraví prospěšné. Statistika
ukazuje, že lidé, kteří oslavili nejvíce narozenin, se dožívají
nejvyššího věku.
Obvyklé je také klást dotazy s dodatečnou podmínkou. Např.
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly
dvě pětky, je-li součet hodnot deset?
Mějme urnu s 10 koulemi. Desetkrát jsem vytáhl kouli,
zkontroloval její barvu a vrátil do urny. Jestliže byla vždy bílé
barvy, s jakou pravděpodobností jsou všechny koule v urně
bílé?
Na dostizích jsou známy pravděpodobnosti vítězství
jednotlivých koní. Jak se tyto pravděpodobnosti změní, pokud
uprostřed závodu spadne jezdec jednoho z koní ze sedla?
Připomeneme, že formalizovat takové úvahy umíme následovně.
Definition
Nechť H je jev s nenulovou pravděpodobností v jevovém poli A v
pravděpodobnostním prostoru (, A, P). Podmíněná
pravděpodobnost P(A|H) jevu A  A vzhledem k jevu H je
definována vztahem
P(A|H) =
P(A  H)
P(H)
.
Připomeneme, že formalizovat takové úvahy umíme následovně.
Definition
Nechť H je jev s nenulovou pravděpodobností v jevovém poli A v
pravděpodobnostním prostoru (, A, P). Podmíněná
pravděpodobnost P(A|H) jevu A  A vzhledem k jevu H je
definována vztahem
P(A|H) =
P(A  H)
P(H)
.
Přirozená definice nezávislosti je, že hypotéza H a jev A jsou
nezávislé tehdy, je-li P(A) = P(A|H).
Z výše uvedeného snadno vyplývá symetričtější definice:
Připomeneme, že formalizovat takové úvahy umíme následovně.
Definition
Nechť H je jev s nenulovou pravděpodobností v jevovém poli A v
pravděpodobnostním prostoru (, A, P). Podmíněná
pravděpodobnost P(A|H) jevu A  A vzhledem k jevu H je
definována vztahem
P(A|H) =
P(A  H)
P(H)
.
Přirozená definice nezávislosti je, že hypotéza H a jev A jsou
nezávislé tehdy, je-li P(A) = P(A|H).
Z výše uvedeného snadno vyplývá symetričtější definice:
Definition
Říkáme, že jevy A a B jsou nezávislé, jestliže
P(A  B) = P(A)P(B).
Definition
Říkáme, že jevy A1, A2, . . . jsou nezávislé, jestliže pro každou k-tici
Ai1 ,    , Aik
z nich platí
P


k
j=1
Aij

 =
k
j=1
P(Aij
).
Definition
Říkáme, že jevy A1, A2, . . . jsou nezávislé, jestliže pro každou k-tici
Ai1 ,    , Aik
z nich platí
P


k
j=1
Aij

 =
k
j=1
P(Aij
).
Example
V urně jsou 4 lístky označené 000, 110, 101, 011. Uvažujme pro
i = 1, 2, 3 náhodné jevy
Ai = {náhodně vytažený lístek má na i-tém místě 1}.
Definition
Říkáme, že jevy A1, A2, . . . jsou nezávislé, jestliže pro každou k-tici
Ai1 ,    , Aik
z nich platí
P


k
j=1
Aij

 =
k
j=1
P(Aij
).
Example
V urně jsou 4 lístky označené 000, 110, 101, 011. Uvažujme pro
i = 1, 2, 3 náhodné jevy
Ai = {náhodně vytažený lístek má na i-tém místě 1}.
Snadno se vidí, že P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1
2 , dále, že
P(A1  A2) = P(A1  A3) = P(A2  A3) = 1
4 a že
P(A1  A2  A3) = 0.
Definition
Říkáme, že jevy A1, A2, . . . jsou nezávislé, jestliže pro každou k-tici
Ai1 ,    , Aik
z nich platí
P


k
j=1
Aij

 =
k
j=1
P(Aij
).
Example
V urně jsou 4 lístky označené 000, 110, 101, 011. Uvažujme pro
i = 1, 2, 3 náhodné jevy
Ai = {náhodně vytažený lístek má na i-tém místě 1}.
Snadno se vidí, že P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1
2 , dále, že
P(A1  A2) = P(A1  A3) = P(A2  A3) = 1
4 a že
P(A1  A2  A3) = 0. Jevy A1, A2, A3 jsou tedy po dvou nezávislé,
ale nejsou nezávislé.
Bayesovy věty
Přepsáním formule pro podmíněnou pravděpodobnost dostáváme
P(A  B) = P(B  A) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
Theorem (Bayesovy věty)
Pro pravděpodobnost jevů A a B platí
1 P(A|B) = P(A)P(B|A)
P(B) .
2 P(A|B) = P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A)+P(Ac )P(B|Ac ) .
Bayesovy věty
Přepsáním formule pro podmíněnou pravděpodobnost dostáváme
P(A  B) = P(B  A) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
Theorem (Bayesovy věty)
Pro pravděpodobnost jevů A a B platí
1 P(A|B) = P(A)P(B|A)
P(B) .
2 P(A|B) = P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A)+P(Ac )P(B|Ac ) .
Důkaz.
První tvrzení je přepsáním předchozí formule, druhé z prvého plyne
doszením P(B) = P(A)P(B|A) + P(Ac)P(B|Ac).
Příklad ­ preventivní screening
Předpokládejme, že krevní test na HIV pozitivní osoby má 99%
správnost v případě osoby skutečně HIV pozitivní (vysoká citilivost
­ sensitivity). Zároveň předpokládejme, že u HIV negativní osoby
dopadně test pozitivně v 0, 2% případů (relativně vysoká
specifičnost ­ specificity).
Příklad ­ preventivní screening
Předpokládejme, že krevní test na HIV pozitivní osoby má 99%
správnost v případě osoby skutečně HIV pozitivní (vysoká citilivost
­ sensitivity). Zároveň předpokládejme, že u HIV negativní osoby
dopadně test pozitivně v 0, 2% případů (relativně vysoká
specifičnost ­ specificity).
Náhodně z populace vyberem osobu a otestujeme pozitivně.
S jakou pravděpodobností je skutečně HIV pozitvní, jestliže četnost
výskytu HIV v populaci je p promile (tj. p osob z tisíce je skutečně
HIV pozitivní).
Příklad ­ preventivní screening
Předpokládejme, že krevní test na HIV pozitivní osoby má 99%
správnost v případě osoby skutečně HIV pozitivní (vysoká citilivost
­ sensitivity). Zároveň předpokládejme, že u HIV negativní osoby
dopadně test pozitivně v 0, 2% případů (relativně vysoká
specifičnost ­ specificity).
Náhodně z populace vyberem osobu a otestujeme pozitivně.
S jakou pravděpodobností je skutečně HIV pozitvní, jestliže četnost
výskytu HIV v populaci je p promile (tj. p osob z tisíce je skutečně
HIV pozitivní).
Označme A jev, že je daná osoba HIV pozitivní, a B jev, že daná
osoba má pozitivní test. Dle druhé Bayesovy věty je hledaná
pravděpodobnost
P(A|B) =
p/1000  99/100
p/1000  99/100 + (1000 - p)/1000  2/1000
Příklad ­ preventivní screening, pokr.
Jestliže zvolíme za p nějaké konkrétní četnosti, dostaneme
příslušné očekávatelné spolehlivosti testu. V následující tabulce je
spočten výsledek pro několik p:
p 100 10 1 0,1
P(A|B) 0,982 0,8333 0,3313 0,0471
Výsledek asi neodpovídá naší intuici a může se zdát šokující ve
vztahu k použití takovýchto testů.
Geometrická pravděpodobnost
V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími
modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme
momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné
zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést
alespoň jednoduchou ilustraci.
Geometrická pravděpodobnost
V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími
modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme
momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné
zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést
alespoň jednoduchou ilustraci.
Uvažme rovinu R2 dvojic reálných čísel a v ní podmnožinu  se
známým obsahem vol  (symbol ,,vol od anglického ,,volume , tj.
obsah/objem). Příkladem může sloužit třeba jednotkový čtverec.
Náhodné jevy budou reprezentovány podmnožinami A   za
jevové pole A bereme systém podmnožin, u kterých umíme určit
jejich obsah. Třeba všechna konečná sjednocení trojůhelníků.
Nastoupení nebo nenastoupení jevu je dáno výběrem bodu v ,
kterým se trefíme nebo netrefíme do množiny reprezentující jev A.
Podobně jako u klasické pravděpodobnosti pak definujeme
pravděpodobnostní funkci P : A  R vztahem
P(A) =
vol A
vol 
.
Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně vyberem dvě hodnoty
a < b v intervalu (0, 1)  R. Všechny hodnoty a i b jsou stejně
pravděpodobné a otázka zní ,,jaká je pravděpodobnost, že interval
(a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina? .
Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně vyberem dvě hodnoty
a < b v intervalu (0, 1)  R. Všechny hodnoty a i b jsou stejně
pravděpodobné a otázka zní ,,jaká je pravděpodobnost, že interval
(a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina? .
Odpověď je docela jednoduchá: volba čísel a, b je volbou
libovolného bodu (a, b) ve vnitřku trojúhelníku  s hraničními
vrcholy [0, 0], [0, 1], [1, 1] (načrtněte si obrázek!). Potřebujeme
znát plochu podmnožiny, která odpovídá bodům s b > a + 1
2 , tj.
vnitřku trojúhelníku A ohraničeného vrcholy [0, 1
2 ], [0, 1], [1
2 , 1].
Evidentně dostáváme P(A) = 1
4 . Zkuste si samostatně odpovědět
na otázku ,,pro jakou požadovanou minimální délku intervalu (a, b)
dostaneme pravděpodobnost jedna polovina? .
Jednou z účinných výpočetních metod přibližných hodnot je
naopak simulace známé takovéto pravděpodobnosti pomocí
relativní četnosti nastoupení vhodně zvoleného jevu. Např. známá
formule pro obsah kruhu o daném poloměru říká, že obsah
jednotkového kruhu je roven právě konstantě  = 3, 1415 . . . ,
která vyjadřuje poměr obsahu a čtverce poloměru. Pokud zvolíme
za  jednotkový čtverec a za A průnik  a jednotkového kruhu se
středem v počátku, pak vol A = 1
4 . Máme-li tedy spolehlivý
generátor náhodných čísel mezi nulou a jedničkou a počítáme
relativní četnosti, jak často bude vzdálenost vygenerované dvojice
(a, b) menší než jedna, tj.

a2 + b2 < 1, pak výsledek bude při
velkém počtu pokusů s velikou jistotou dobře aproximovat číslo 1
4 .
Numerickým postupům založeným na tomto principu se říká
metody Monte Carlo.
Příklad. Mirek a Marek chodí na obědy do univerzitní menzy. Do
menzy je možné přijít kdykoliv mezi jedenáctou a čtrnáctou
hodinou. Každý z nich stráví na obědě půl hodiny a dobu příchodu
(mezi 11h a 14h) si vybírá náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že
se na obědě v daný den potkají, sedávají-li oba u stejného stolu?