oooooooooooooooooo ooooooooooooo Matematika I - 5. přednáška Vektory a matice Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 18. 3. 2009 □ S oooooooooooooooooo Obsah přednášky Vektory Matice nad skaláry • Lineární rovnice a jejich soustavy Ekvivalentní úpravy matic Q Lineární závislost □ s • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičeni • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). oooooooooooooooooo Plán přednášky Vektory A M- ;kalary »vnice a jejich soustavy íí úpravy matic Q Lineární závislost □ s Definice Symbolem IK budeme nadále značit nějakou množinu skalárů (obvykle R nebo C). Prozatím budeme vektorem rozumět uspořádanou n-tici skalárů, kde pevně zvolené n G N budeme nazývat dimenzí. □ s Definice Symbolem IK budeme nadále značit nějakou množinu skalárů (obvykle R nebo C). Prozatím budeme vektorem rozumět uspořádanou n-tici skalárů, kde pevně zvolené n G N budeme nazývat dimenzí. Sčítání vektorů definujeme po složkách (skaláry samozřejmě sčítat umíme) u + v = (ui + v1,...,un + vn) □ s Definice Symbolem IK budeme nadále značit nějakou množinu skalárů (obvykle R nebo C). Prozatím budeme vektorem rozumět uspořádanou n-tici skalárů, kde pevně zvolené n G N budeme nazývat dimenzí. Sčítání vektorů definujeme po složkách (skaláry samozřejmě sčítat umíme) u + v = (ui + v1,...,un + vn) a násobení vektoru u = (u\,... ,un) skalárem a definujeme tak, že každý prvek n-tice u vynásobíme skalárem a (skaláry v IK násobit umíme), tj. a- u = a- (ui, ...,un) = (a-u1,...,a- un). □ S oooooooooooooooooo ooooooooooooo Pro vektory a jejich sčítání zjevně platí axiomy komutativní grupy s nulovým prvkem 0 = (0,...,0)6K". Záměrně zde používáme pro nulový prvek stejný symbol jako pro nulový prvek skalárů. □ s Pro vektory a jejich sčítání zjevně platí axiomy komutativní grupy s nulovým prvkem 0 = (0,...,0)eK". Záměrně zde používáme pro nulový prvek stejný symbol jako pro nulový prvek skalárů. Konvence značení Podobně budeme pro sčítání a násobení používat stále stejný symbol (plus a buď tečku nebo prosté zřetězení znaků). Navíc nebudeme používat pro vektory žádné speciální značení, a ponecháváme na čtenáři aby udržoval svoji pozornost přemýšlením o kontextu. Pro skaláry ale spise budeme používat písmena ze začátku abecedy a pro vektory od konce (prostředek nám zůstane na indexy proměných a pro použití v součtech). □ s Vlastnosti operací na vektorech Pro všechny vektory v, w G IK" a skaláry a, b G IK platí a • {v + w) = a • v + a • w (VI) (a + b)v = av + bv (V2) a ■ (b ■ v) = (a • b) ■ v (V3) 1 • v = v (V4) □ s Skalární součin dvou vektorů u, v G R" je reálné číslo n uv = (ui,..., u„)-(i/i, ...,vn) = uvv1+U2-v2-\------\-un-vn = ^2 Ui-Vi. ;=1 Skalární součin lze tedy brát jako zobrazení • : 1" x R" -» K. Skalární součin reálných vektorů Skalární součin dvou vektorů u, v G M" je reálné číslo n uv = (ui,..., u„)-(i/i, ...,vn) = uvv1+U2-v2-\------\-un-vn = ^2 Ui-Vi. Skalární součin lze tedy brát jako zobrazení • : R" x I" ■ Příklad ;=i (1, 2,3) • (2, -3,1) = 1 • 2 + 2 • (-3) + 31 = 2-6 + 3 = -! Pozor! Nepleťte si násobení vektoru skalárem (tj. násobení vektoru číslem, kdy je výsledek opět vektor) se skalárním součinem (dvou vektorů, kdy je výsledek číslo)! □ g - = oooooooooooooooooo ooooooooooooo Pomocí skalárního součinu lze zjednodušit geometrický vztah pro úhel dvou vektorů COS 1p u ■ v případně zavést pojem kolmosti mezi vektory, tj. u _L v pokud u ■ v = 0 (neboli cosip = 0, tj. ip = f). Všimněte si, že pro velikost vektoru u = (u\,... ,un) platí u\ + ■ ■ ■ + ul = \rü~ü, neboli u ■ u Je-li dimenze obou vektorů 1, je zřejmě skalární násobení vektorů (= čísel) obyčejným násobením čísel. □ s oooooooooooooooooo Plán přednášky O Vektory Matice nad skaláry • Lineární rovnice a jejich soustavy íí úpravy matic Q Lineární závislost □ s Definice Maticí typu m/n nad skaláry K rozumíme obdélníkové schéma f au 312 ■■■ 3in\ A = 321 322 ■ ■ ■ 32n \3ml am2 ■ ■ ■ amnJ kde a,j G IK pro všechny 1 < / < m, 1 ,0 ... 0; se nazývá nulová matice. n S - = -E -00*0 oo«ooooooooooooooo ooooooooooooo Konečně, matice ,0 0> se nazývá nulová matice. Zapomenutím řádkování tak získáme následující tvrzení: Předpisy pro A + B, a ■ A, —A, 0 zadávají na množině všech matic typu m/n operace sčítání a násobení skaláry splňující axiomy (V1)-(V4). □ s ooo»oooooooooooooo Lineární rovnice a jejich soustavy Lineární rovnice je rovnice typu a\x\ + a2x2 H--------h anxn = b xi,... ,x„ jsou neznámé (též proměnné), a\,..., an, b jsou koeficienty. n S - = -E -00*0 Lineární rovnice je rovnice typu aixi + a2x2 H--------h anxn = b xi,... ,x„ jsou neznámé (též proměnné), a\,..., an, b jsou koeficienty. Příklad * Rov nice (a) 2xi + ax2 - X3 = 1 je lineární, (b) 2xi + ax| - -X3 = 1 není lineární, (c) 2xi + ax2x3 -x3 = 1 není lineární, (d) 2xi -X3 = 1 je ineární. o«ooooooooooooo ooooooooooooo Maticový zápis systémů lineárních rovnic Matice lze vhodně využít pro zápis lineárních rovnic. Uvažme následující systém m rovnic o n neznámych: aiixi + a12x2 H---------h alnxn = y1 321X1 + a22x2 H---------h a2nxn = y2 3m\x\ + am2X2 H--------h amnxn = ym. Posloupnost xi,... ,xn lze chápat jako vektor proměnných, tj. sloupec v matici typu n/1, a podobně s hodnotami yi,... ,yn- □ g - = ooooo»oooooooooooo ooooooooooouu Systém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A ■ x = y 3\\ ••• 3\n\ /Xl\ (y\ ,3 ml ... a mni \^n i KYnj □ s ooooo»oooooooooooo ooooooooooouu Systém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A ■ x = y 3\\ ••• 3\n\ /Xl\ (y\ ,3 ml KYnj Původní rovnice nyní obdržíme tak, že vždy bereme řádky z A a sčítáme součiny odpovídajících komponent, tj. a,ixi + • • • + amxn. Tím získáme /-tý prvek výsledného vektoru. V rovině, tj. pro vektory dimenze 2, jsme už zavedli takovýto počet a viděli jsme, že s ním lze pracovat velice efektivně. Nyní budeme postupovat obecněji a zavedeme i na maticích operace násobení. □ s Součin matic Pro libovolnou matici A = (a//) typu m/n nad okruhem skalárů K a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad K definujeme jejich součin C = A ■ B = (cjk) jako matici typu m/q s prvky n Cjk = /J ajjbjk, pro libovolné 1 < / < m, 1 < k < q, tj. prvek C/k ve výsledné matici součinu dostaneme tak, že skalárně vynásobíme (/-tý řádek matice A) a (A-tý sloupec matice B). □ g - = Součin matic Pro libovolnou matici A = (a//) typu m/n nad okruhem skalárů K a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad K definujeme jejich součin C = A ■ B = (cjk) jako matici typu m/q s prvky n Cjk = /J ajjbjk, pro libovolné 1 < / < m, 1 < k < q, tj. prvek C/k ve výsledné matici součinu dostaneme tak, že skalárně vynásobíme (/-tý řádek matice A) a (A-tý sloupec matice B). Příklad Součin matic Pro libovolnou matici A = (a//) typu m/n nad okruhem skalárů K a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad K definujeme jejich součin C = A ■ B = (cjk) jako matici typu m/q s prvky n Cjk = /J ajjbjk, pro libovolné 1 < / < m, 1 < k < q, tj. prvek C/k ve výsledné matici součinu dostaneme tak, že skalárně vynásobíme (/-tý řádek matice A) a (A-tý sloupec matice B). Příklad 2 1 1 -1 2 11 -1 0 1 3 2 3 3 1 0 V opačném pořadí nelze tyto dvě matice násobit! OOOOOOO0OOOOOOOOOO Čtvercové matice U matice typu n/n hovoříme o čtvercové matici. Počet řádků a sloupců se nazývá dimenze matice. Matici 0> E„ = (6,j) ,0 se říká jednotková matice (symbol ö-,j je tzv. Kroneckerovo delta, které je rovno 1, pokud / = j, jinak je rovno 0). □ s oooooooo«ooooooooo ooooooooooooo Na množině čtvercových matic nad K dimenze n je součin matic definován pro každé dvě matice: Pro libovolný okruh skalárů je na množině všech čtvercových matic dimenze n definována operace násobení. Splňuje vlastnosti (Ol) (asociativita) a (03) vzhledem k jednotkové matici E = (ö;j). Dále spolu se sčítáním matic vyhovuje (04) (distributivita). Obecně však neplatí (02) (komutativita) ani (Ol) neexistence dělitelů nuly, zejména tedy neplatí (P) (existence inverzního prvku) □ s oooooooo«ooooooooo ooooooooooooo Na množině čtvercových matic nad K dimenze n je součin matic definován pro každé dvě matice: Pro libovolný okruh skalárů je na množině všech čtvercových matic dimenze n definována operace násobení. Splňuje vlastnosti (Ol) (asociativita) a (03) vzhledem k jednotkové matici E = (ö;j). Dále spolu se sčítáním matic vyhovuje (04) (distributivita). Obecně však neplatí (02) (komutativita) ani (Ol) neexistence dělitelů nuly, zejména tedy neplatí (P) (existence inverzního prvku) Při důkazu předchozího tvrzení není podstatný stejný počet řádků a sloupců, kromě samotné existence operace násobení pro všechny dvojice matice. Příslušné vlastnosti proto platí obecněji: Násobení matic je asociativní a distributivní, tj. A{BC) = {AB)C,A{B + C) = AB + AC, kdykoliv jsou tato násobení definována. Jednotková matice je neutrálním prvkem pro násobení zleva i zprava. Speciálním případem čtvercové matice je matice trojúhelníková, která má buď pod hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. horní trojúhelníková matice) nebo nad hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. dolní trojúhelníková matice). Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Speciálním případem čtvercové matice je matice trojúhelníková, která má buď pod hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. horní trojúhelníková matice) nebo nad hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. dolní trojúhelníková matice). Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Příklad * Příklady horních trojú helníkových matic jsou jednotková matice En nebo nulová matice 0 (obě řádu n) nebo např. matice Gž) ' (o 3J ' 0 3 0 0 ■) Speciálním případem čtvercové matice je matice trojúhelníková, která má buď pod hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. horní trojúhelníková matice) nebo nad hlavní diagonálou pouze nuly (tzv. dolní trojúhelníková matice). Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Příklad * Příklady horních trojú helníkových matic jsou jednotková matice En nebo nulová matice 0 (obě řádu n) nebo např. matice Gž) ' (o 3J ' 0 3 0 0 ■) Ověřte si, že součin dvou (či více) horních trojúhelníkových matic (případně dolních trojúhelníkových matic) je opět horní trojúhelníková matice (případně dolní trojúhelníková matice). Je-li matice A současně horní i dolní trojúhelníková, potom má mimo hlavní diagonálu pouze nuly. Taková matice se nazývá diagonální. Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Tj. čtvercová matice A = (a//) řádu n je diagonální, pokud ajj = 0 pro všechny indexy / =£ j. Je-li matice A současně horní i dolní trojúhelníková, potom má mimo hlavní diagonálu pouze nuly. Taková matice se nazývá diagonální. Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Tj. čtvercová matice A = (a//) řádu n je diagonální, pokud ajj = 0 pro všechny indexy / =£ j. Příklad ^ Příklady diagonálních matic jsou jednotková matice / nebo nulová matice 0 (obě řád u rí) nebo např matice (o °o) (0 0N > 6 0 3 0 •) Je-li matice A současně horní i dolní trojúhelníková, potom má mimo hlavní diagonálu pouze nuly. Taková matice se nazývá diagonální. Na hlavní diagonále mohou být prvky nenulové nebo i nulové. Tj. čtvercová matice A = (a//) řádu n je diagonální, pokud ajj = 0 pro všechny indexy / =£ j. Příklad ^ Příklady diagonálních matic jsou jednotková matice / nebo nulová matice 0 (obě řád u rí) nebo např matice (o °o) (0 0N > 6 0 3 0 •) Ověřte si, že součin dvou (či více) diagonálních matic je opět diagonální matice. Se skaláry umíme počítat tak, že z rovnosti a ■ x = b umíme vyjádřit x = a-1 • b, kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom to chtěli umět s maticemi, máme ale problém, jak poznat, zda taková existuje, a jak ji spočítat. Se skaláry umíme počítat tak, že z rovnosti a ■ x = b umíme vyjádřit x = a-1 • b, kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom to chtěli umět s maticemi, máme ale problém, jak poznat, zda taková existuje, a jak ji spočítat. Definice Říkáme, že B je matice inverzní k matici A, když AB = B- A = E. Píšeme pak B = A~* a je samozřej mé, že obě matice musí mít tutéž dimenzi n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme regulární (invertibilní) matice. Se skaláry umíme počítat tak, že z rovnosti a ■ x = b umíme vyjádřit x = a-1 • b, kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom to chtěli umět s maticemi, máme ale problém, jak poznat, zda taková existuje, a jak ji spočítat. Definice Říkáme, že B je matice inverzní k matici A, když AB = B- A = E. Píšeme pak B = A~* a je samozřej mé, že obě matice musí mít tutéž dimenzi n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme regulární (invertibilní) matice. Pokud A'1 a ß_1 existují, pak existuje i (A ■ ß)"1 = ß"1 ■ A'1. Je totiž (díky asociativitě násobení) (ß"1 • A-1) • (Aß) = ß"1 • (A-1 A)B = Ea (AB)- (ß"1 • A'1) = A(B- ß"1) • A'1 = E. Příklad ^ Matice *-GS) nemá inverzi. Pokud by měla být nějaká matice '-(-) inverzní k matici A, potom by muselo platit —ncsMUH !)• což nelze splnit pro libovolnou volbu čísel a, b, c, d. □ s ooooooooooooo»oooo ooooooooooouu Základní vlastnosti regulárních a singulárních matic jsou shrnuty v následujícím tvrzení. 5£2 Necht A, B jsou čtvercové matice řádu n. (i) Je-li A regulární, je její inverze A 1 určení i jednoznačně. (Ü) Je-li A regulární, pak je (A-1)-1 =A. (iii) Jsou-li A i B regulární, potom je také AB regulám í a platí (AB)- -i = e-M-1. (Pozor, pořadí u inverzí se vyměnilo!) □ s oooooooooooooo«ooo Protože s maticemi umíme počítat obdobně jako se skaláry, jen mají složitější chování, můžeme formálně snadno řešit systémy lineárních rovnic: Jestliže vyjádříme soustavu n rovnic pro n neznámých součinem matic Ax au K3m\ 31, X\ yi \yn a existuje matice inverzní k matici A, pak lze násobit zleva A 1 a dostaneme A~x ■ y = A~x ■ A ■ x = E ■ x = x, tj. hledané řešení. □ s oooooooooooooo«ooo Protože s maticemi umíme počítat obdobně jako se skaláry, jen mají složitější chování, můžeme formálně snadno řešit systémy lineárních rovnic: Jestliže vyjádříme soustavu n rovnic pro n neznámých součinem matic Ax au K3m\ 31, X\ yi \yn a existuje matice inverzní k matici A, pak lze násobit zleva A-1 a dostaneme A~x ■ y = A~x ■ A ■ x = E ■ x = x, tj. hledané řešení. Naopak rozepsáním podmínky A ■ A-1 = E pro neznámé skaláry v hledané matici A~x dostaneme n systémů lineárních rovnic se stejnou maticí na levé straně a vektory napravo (postupně) (l,0,...,0)r,(0,l,0,...,0)r,...,(0,...,0,l)r. □ s ooooooooooooooo«oo ooooooooooouu Později si ukážeme, jak lze jednoduše vypočítat matici A 1. Pro začátek ale můžeme uvést vzorec pro výpočet inverze k matici typu 2x2: det4 kde áetA = ad — bc je determinant matice A. Ověřte přímým výpočtem, že jsou splněny definiční vztahy pro inverzi. Je tedy vidět, že matice A řádu 2 je regulární & detA 7^ 0 (a tedy A je singulární & detA = 0.) □ s Nechť A = (ajj) je matice typu m x n. Matici AT := (a,;), nazýváme transponovaná matice k matici A. Matice AT vznikne tak, že řádky matice A napíšeme do sloupců (nebo sloupce matice A do řádků). Má tedy matice AT typ n x m. oooooooooooooooo«o Transponovaná matice Nechť A = (ajj) je matice typu m x n. Matici AT := {aß), nazýváme transponovaná matice k matici A. Matice AT vznikne tak, že řádky matice A napíšeme do sloupců (nebo sloupce matice A do řádků). Má tedy matice AT typ n x m. Příklad □ S Tvrzení Platí následuji • {AT)T = c í vztahy: A, (A + B)T = AT + B~ r • (AB)T = se vyměň • (A7)-1 = BTAT Ho!), -(A-1)7- (Pozor, pořadí u transponovaných matic □ s Tvrzení Platí následuji • {AT)T = c í vztahy: A, (A + B)T = AT + B~ r • (AB)T = se vyměň • (A7)-1 = BTAT ilo!), -(A-1)7- (Pozor, pořadí u transponovaných matic Důkaz. Zkuste sami, jsou jednoduché. oooooooooooooooooo Plán přednášky O Vektory A M- ;kalary »vnice a jejich soustavy Ekvivalentní úpravy matic Q Lineární závislost □ s oooooooooooooooooo •oooooooooooo Z hlediska řešení systémů rovnic Ax = b je jistě přirozené považovat za ekvivalentní matice A a vektory b, které zadávají systémy rovnic se stejným řešením. Uvedeme si jednoduché manipulace s řádky rovnic a stejným způsobem pak můžeme upravovat i vektor napravo. Když se nám podaří vlevo dostat systém s jednotkovou maticí, bude napravo řešení původního systému. □ s oooooooooooooooooo •oooooooooooo Z hlediska řešení systémů rovnic Ax = b je jistě přirozené považovat za ekvivalentní matice A a vektory b, které zadávají systémy rovnic se stejným řešením. Uvedeme si jednoduché manipulace s řádky rovnic a stejným způsobem pak můžeme upravovat i vektor napravo. Když se nám podaří vlevo dostat systém s jednotkovou maticí, bude napravo řešení původního systému. Takovým operacím říkáme řádkové elementární transformace. Jsou to: • záměna dvou řádků • vynásobení vybraného řádku nenulovým skalárem • přičtení řádku k jinému řádku. □ s oooooooooooooooooo •oooooooooooo Z hlediska řešení systémů rovnic Ax = b je jistě přirozené považovat za ekvivalentní matice A a vektory b, které zadávají systémy rovnic se stejným řešením. Uvedeme si jednoduché manipulace s řádky rovnic a stejným způsobem pak můžeme upravovat i vektor napravo. Když se nám podaří vlevo dostat systém s jednotkovou maticí, bude napravo řešení původního systému. Takovým operacím říkáme řádkové elementární transformace. Jsou to: • záměna dvou řádků • vynásobení vybraného řádku nenulovým skalárem • přičtení řádku k jinému řádku. Je zjevné, že odpovídající operace na úrovni rovnic v systému nemohou změnit množinu všech jeho řešení. Později bude vidět, že sloupcové transformace rovněž odpovídají řešení téhož systému, tentokrát ale v transformovaných souřadnicícha Analogicky, sloupcové elementární transformace matic jsou • záměna dvou sloupců • vynásobení vybraného sloupce nenulovým skalárem • přičtení sloupce k jinému sloupci, ty však nezachovávají řešení příslušných rovnic, protože mezi sebou míchají samotné proměnné. Analogicky, sloupcové elementární transformace matic jsou • záměna dvou sloupců • vynásobení vybraného sloupce nenulovým skalárem • přičtení sloupce k jinému sloupci, ty však nezachovávají řešení příslušných rovnic, protože mezi sebou míchají samotné proměnné. Systematicky můžeme použít elementární řádkové úpravy k postupné eliminaci proměnných. Postup je algoritmický a většinou se mu říká Gausova eliminační metoda . oooooooooooooooooo Metodou Gaussovy eliminace vyřešte systém -Xi - x2 + 2x3 - x4 = 1, 4xi + 2x2 - x3 + 2x4 = 2, 3xi + x2 + x3 + x4 = 3. □ s Nenulovou matici nad libovolným okruhem skalám K lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv. (řádkově) schodovitý tvar. • Je-li a,j = 0 a všechny předchozí prvky na i-tém řádku jsou také nulové, potom a y = 0 pro všechna k > i • je-li 3(i-i)j první nenulový prvek na (/ — l)-ním řádku, pak aij = 0. □ S Nenulovou matici nad libovolným okruhem skalám K lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv. (řádkově) schodovitý tvar. • Je-li a,j = 0 a všechny předchozí prvky na i-tém řádku jsou také nulové, potom a y = 0 pro všechna k > i • je-li 3(i-i)j první nenulový prvek na (/ — l)-ním řádku, pak aij = 0. Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá takto /O ... 0 av ......... alm\ 0 ... 0 0 ... a2k ■■■ a2m 0 aip V I a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. oooooooooooooooooo oooo»oooooooo K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus: O Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to j-tý sloupec. O Pro / = 2,..., vynásobením prvního řádku prvkem a-,j, /-tého řádku prvkem ay a odečtením vynulujeme prvek a-,j na /-tém řádku. O Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. □ s oooooooooooooooooo oooo»oooooooo K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus: O Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to j-tý sloupec. O Pro / = 2,..., vynásobením prvního řádku prvkem a-,j, /-tého řádku prvkem ay a odečtením vynulujeme prvek a-,j na /-tém řádku. O Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. Uvedený postup je obvyklá eliminace proměnných v systémech lineárních rovnic. Pro řešení systémů rovnic má ale uvedený postup rozumný smysl jen, když mezi skaláry neexistují dělitelé nuly. Pokud tvoří skaláry pole, pak můžeme navíc ze schodovitého tvaru snadno spočíst řešení (případně ověřit jeho neexistenci). Rozdíly jsou dobře vidět při porovnání třeba K = Z a I = I, případně Z2 nebo Z3. □ s oooooooooooooooooo realizace pomocí elementárních matic Všimněme si, že elementární řádkové (resp. sloupcové) transformace odpovídají vynásobením zleva (resp. zprava) následujícími maticemi: • Přehození /-tého a j-tého řádku (resp. sloupce) /l 0 o '■. \ 1/ □ S realizace pomocí elementárních matic • Vynásobení /-tého řádku (resp. sloupce) skalárem a: (l \ 1 a 1 -/ ^ V □ S - = ■€. ^Q.O' realizace pomocí elementárních matic • Sečtení /-tého řádku (resp. sloupce) s j-tým: (l 0 \ o '■. /- 1 T V j ------------------------' □ s - = ■€. -o<\(y oooooooooooooooooo oooooooo«oooo Toto jednoduché pozorování je ve skutečnosti velice podstatné, protože součin invertibilních matic je invertibilní a všechny elementární transformace jsou nad polem skalárů invertibilní. Pro libovolnou matici A tedy dostaneme násobením vhodnou invertibilní maticí P = Pk ■ ■ ■ P\ zleva (postupné násobení k maticemi zleva) její ekvivalentní řádkový schodovitý tvar A' = PA. □ S oooooooooooooooooo oooooooo«oooo Toto jednoduché pozorování je ve skutečnosti velice podstatné, protože součin invertibilních matic je invertibilní a všechny elementární transformace jsou nad polem skalárů invertibilní. Pro libovolnou matici A tedy dostaneme násobením vhodnou invertibilní maticí P = Pk ■ ■ ■ P\ zleva (postupné násobení k maticemi zleva) její ekvivalentní řádkový schodovitý tvar A' = PA. Jestliže obecně aplikujeme tentýž eliminační postup na sloupce, dostaneme z každé matice B její sloucový schodovitý tvar B' vynásobením vhodnou invertibilní maticí Q = Q\ ■ ■ ■ Qg. Pokud ale začneme s maticí B = A' v řádkově schodovitém tvaru, eliminuje takový postup pouze všechny dosud nenulové prvky mimo diagonálu matice a závěrem lze ještě i tyto elementárními operacemi změnit na jedničky. Celkem jsme tedy ověřili důležitý výsledek, ke kterému se budeme mnohokrát vracet: □ s Pro každou matici A typu m jn nad polem skalám K existují čtvercové invertibilnf matice P dimenze m a Q dimenze n takové, že matice P ■ A je v řádkově schodovitém tvaru a P-A-Q íl O 0 . . 1 0 0 . . 0 1 0 0 . . 0 0 0 o\ o o o □ s V předchozích úvahách jsme se dostali prakticky k úplnému algoritmu pro výpočet inverzní matice. Během jednoduchého níže uvedeného postupu buď zjistíme, že inverze neexistuje, nebo bude inverze spočtena. I nadále pracujeme nad polem skalárů. V předchozích úvahách jsme se dostali prakticky k úplnému algoritmu pro výpočet inverzní matice. Během jednoduchého níže uvedeného postupu buď zjistíme, že inverze neexistuje, nebo bude inverze spočtena. I nadále pracujeme nad polem skalárů. Ekvivalentní řádkové transformace se čtvercovou maticí A dimenze n vedou k matici P' takové, že P' ■ A bude v řádkově schodovitém tvaru. Přitom může (ale nemusí) být jeden nebo více posledních řádků nulových. Jestliže má existovat inverzní matice k A, pak existuje i inverzní matice k P1 ■ A. Jestliže však je poslední řádek v P ■ A nulový, bude nulový i poslední řádek v P■ AB pro jakoukoliv matici B dimenze n. Existence takového nulového řádku ve výsledku (řádkové) Gaussovy eliminace tedy vylučuje existenci A-1. oooooooooooooooooo ooooooooooo»o Předpokládejme nyní, že A-1 existuje. Podle předchozího, nalezneme řádkově schodovitý tvar bez nulového řádku, tzn. že všechny diagonální prvky v P' ■ A jsou nenulové. Pak ovšem pokračováním eliminace od pravého dolního rohu zpět a vynormováním diagonálních prvků na jedničky získáme jednotkovou matici E. □ s oooooooooooooooooo ooooooooooo»o Předpokládejme nyní, že -4-1 existuje. Podle předchozího, nalezneme řádkově schodovitý tvar bez nulového řádku, tzn. že všechny diagonální prvky v P' ■ A jsou nenulové. Pak ovšem pokračováním eliminace od pravého dolního rohu zpět a vynormováním diagonálních prvků na jedničky získáme jednotkovou matici E. Matice A je tedy ekvivalentní s jednotkovou maticí E, tj. existují elementární matice P\,..., Pk takové, že PkPk_1...P1A = E. Využijme asociativitu násobení matic a uzávorkujme tento vztah následovně: (PkPk_1...P1)A = E, neboli {PkPk-X... Pí) • E = A~\ (1) □ S oooooooooooooooooo ooooooooooo»o Předpokládejme nyní, že A-1 existuje. Podle předchozího, nalezneme řádkově schodovitý tvar bez nulového řádku, tzn. že všechny diagonální prvky v P' ■ A jsou nenulové. Pak ovšem pokračováním eliminace od pravého dolního rohu zpět a vynormováním diagonálních prvků na jedničky získáme jednotkovou matici E. Matice A je tedy ekvivalentní s jednotkovou maticí E, tj. existují elementární matice P\,..., Pk takové, že PkPk_1...P1A = E. Využijme asociativitu násobení matic a uzávorkujme tento vztah následovně: (PkPk_1...P1)A = E, neboli {PkPk-X... Pí) • E = A~\ (1) Potom lze snadno vidět, že pro matici B ■= PkPk_1...P1 platí BA = E neboli B = A~1. Našli jsme tedy inverzní matici A-1 k matici A. Zbývá jen přečíst, jak se výše uvedená matice B = A~x zkonstruuie. e Prakticky tedy můžeme postupovat tak, že vedle sebe napíšeme původní matici A a jednotkovou matici E, matici A upravujeme řádkovými elementárními úpravami nejprve na schodovitý tvar, potom tzv. zpětnou eliminací na diagonální matici a v té násobíme řádky inverzními prvky z K. Tytéž úpravy postupně prováděné s E vedou právě k matici B z předchozích úvah, tedy z ní získáme právě hledanou inverzi. Pokud tento algoritmus narazí na vynulování celého řádku v původní matici, znamená to, že matice inverzní neexistuje. oooooooooooooooooo Plán přednášky O Vektory A M- ;kalary »vnice a jejich soustavy íí úpravy matic Lineární závislost □ s V předchozích úvahách a počtech s maticemi jsme stále pracovali se sčítáním řádků nebo sloupců coby vektorů, spolu s jejich násobením skaláry. Takové operaci říkáme lineární kombinace. V abstraktním pojetí se k operacím s vektory vrátíme později, bude ale užitečné pochopit podstatu už nyní. Lineární kombinací řádků (nebo sloupců) matice A = (a//) typu m/n rozumíme výraz 3iun + • • • + 3kUik, kde a; jsou skaláry, uj = (aji,..., ajn) jsou řádky (nebo uj = (ay,..., amj) jsou sloupce) matice A. V předchozích úvahách a počtech s maticemi jsme stále pracovali se sčítáním řádků nebo sloupců coby vektorů, spolu s jejich násobením skaláry. Takové operaci říkáme lineární kombinace. V abstraktním pojetí se k operacím s vektory vrátíme později, bude ale užitečné pochopit podstatu už nyní. Lineární kombinací řádků (nebo sloupců) matice A = (a//) typu m/n rozumíme výraz 3iun + • • • + 3kUik, kde a; jsou skaláry, uj = (aji,..., ajn) jsou řádky (nebo uj = (ay,..., amj) jsou sloupce) matice A. Jestliže existuje lineární kombinace daných řádků s alespoň jedním nenulovým skalárním koeficientem, jejímž výsledkem je nulový řádek, říkáme, že jsou lineárně závislé. V opačném případě, tj. když jedinou možnost jak získat nulový řádek je vynásobení výhradně nulovými skaláry, jsou lineárně nezávislé. Obdobně definujeme lineárně závislé a nezávislé sloupce matice. oooooooooooooooooo ooooooooooooo Předchozí výsledky o Gausově eliminaci můžeme vnímat takovým způsobem, že počet výsledných nenulových schodů v řádkově nebo sloupcově schodovitém tvaru je vždy roven témuž přirozenému číslu a to počtu lineárně nezávislých řádků matice a témuž počtu lineárně nezávislých sloupců matice. Tomuto číslu říkáme hodnost matice, značíme h{A). Zapamatujme si výsledné tvrzení: □ s oooooooooooooooooo ooooooooooooo Předchozí výsledky o Gausově eliminaci můžeme vnímat takovým způsobem, že počet výsledných nenulových schodů v řádkově nebo sloupcově schodovitém tvaru je vždy roven témuž přirozenému číslu a to počtu lineárně nezávislých řádků matice a témuž počtu lineárně nezávislých sloupců matice. Tomuto číslu říkáme hodnost matice, značíme h{A). Zapamatujme si výsledné tvrzení: Nechi A je matice typu mjn nad polem skalárů K. Matice A má stejný počet h{A) Unárně nezávislých řádků a lineárně nezávislých sloupců. Zejména je hodnost vždy nejvýše rovna menšímu z rozměrů matice A. □ s oooooooooooooooooo ooooooooooooo Předchozí výsledky o Gausově eliminaci můžeme vnímat takovým způsobem, že počet výsledných nenulových schodů v řádkově nebo sloupcově schodovitém tvaru je vždy roven témuž přirozenému číslu a to počtu lineárně nezávislých řádků matice a témuž počtu lineárně nezávislých sloupců matice. Tomuto číslu říkáme hodnost matice, značíme h{A). Zapamatujme si výsledné tvrzení: Nechi A je matice typu mjn nad polem skalárů K. Matice A má stejný počet h{A) Unárně nezávislých řádků a lineárně nezávislých sloupců. Zejména je hodnost vždy nejvýše rovna menšímu z rozměrů matice A. Algoritmus pro výpočet inverzních matic také říká, že čtvercová matice A dimenze m má inverzi právě, když je její hodnost rovna počtu řádků m. □ s