Matematika I - 6. přednáška Matice a determinanty Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 3. 2009 □ S Obsah přednášky Q Lineární závislost Determinanty Věty Cauchyova a Laplaceova Q Determinant a inverzní matice □ s Doporučene zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičeni □ s - Doporučene zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineárni algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Plán přednášky Q Lineární závislost lyova a Laplaceova it a inverzní matice n S - = -E -00*0 V předchozích úvahách a počtech s maticemi jsme stále pracovali se sčítáním řádků nebo sloupců coby vektorů, spolu s jejich násobením skaláry. Takové operaci říkáme lineární kombinace. V abstraktním pojetí se k operacím s vektory vrátíme později, bude ale užitečné pochopit podstatu už nyní. Lineární kombinací řádků (nebo sloupců) matice A = (a//) typu m/n rozumíme výraz 3iun + • • • + 3kUik, kde a; jsou skaláry, uj = (aji,..., ajn) jsou řádky (nebo uj = (ay,..., amj) jsou sloupce) matice A. V předchozích úvahách a počtech s maticemi jsme stále pracovali se sčítáním řádků nebo sloupců coby vektorů, spolu s jejich násobením skaláry. Takové operaci říkáme lineární kombinace. V abstraktním pojetí se k operacím s vektory vrátíme později, bude ale užitečné pochopit podstatu už nyní. Lineární kombinací řádků (nebo sloupců) matice A = (a//) typu m/n rozumíme výraz 3iun + • • • + 3kUik, kde a; jsou skaláry, uj = (aji,..., ajn) jsou řádky (nebo uj = (ay,..., amj) jsou sloupce) matice A. Jestliže existuje lineární kombinace daných řádků s alespoň jedním nenulovým skalárním koeficientem, jejímž výsledkem je nulový řádek, říkáme, že jsou lineárně závislé. V opačném případě, tj. když jedinou možnost jak získat nulový řádek je vynásobení výhradně nulovými skaláry, jsou lineárně nezávislé. Obdobně definujeme lineárně závislé a nezávislé sloupce matice. Předchozí výsledky o Gausově eliminaci můžeme vnímat takovým způsobem, že počet výsledných nenulových schodů v řádkově nebo sloupcově schodovitém tvaru je vždy roven témuž přirozenému číslu a to počtu lineárně nezávislých řádků matice a témuž počtu lineárně nezávislých sloupců matice. Tomuto číslu říkáme hodnost matice, značíme h{A). Zapamatujme si výsledné tvrzení: Předchozí výsledky o Gausově eliminaci můžeme vnímat takovým způsobem, že počet výsledných nenulových schodů v řádkově nebo sloupcově schodovitém tvaru je vždy roven témuž přirozenému číslu a to počtu lineárně nezávislých řádků matice a témuž počtu lineárně nezávislých sloupců matice. Tomuto číslu říkáme hodnost matice, značíme h{A). Zapamatujme si výsledné tvrzení: Nechi A je matice typu mjn nad polem skalárů K. Matice A má stejný počet h{A) lineárně nezávislých řádků a lineárně nezávislých sloupců. Zejména je hodnost vždy nejvýše rovna menšímu z rozměrů matice A. □ s Předchozí výsledky o Gausově eliminaci můžeme vnímat takovým způsobem, že počet výsledných nenulových schodů v řádkově nebo sloupcově schodovitém tvaru je vždy roven témuž přirozenému číslu a to počtu lineárně nezávislých řádků matice a témuž počtu lineárně nezávislých sloupců matice. Tomuto číslu říkáme hodnost matice, značíme h{A). Zapamatujme si výsledné tvrzení: Nechi A je matice typu mjn nad polem skalárů K. Matice A má stejný počet h{A) lineárně nezávislých řádků a lineárně nezávislých sloupců. Zejména je hodnost vždy nejvýše rovna menšímu z rozměrů matice A. Algoritmus pro výpočet inverzních matic také říká, že čtvercová matice A dimenze n má inverzi právě, když je její hodnost rovna počtu řádků n. □ s Pomocí hodnosti matice systému h(A) a hodnosti rozšířené matice systému h{A\b) lze jednoduše testovat řešitelnost systému lineárních rovnic s maticí A typu m x n a vektorem pravých stran b G Mm. Zřejmě je vždy h{A) < h{A\b), protože přidání sloupce b může hodnost matice případně jenom zvýšit. Otázka je, kdy přidání sloupce b skutečně zvýší hodnost matice systému a kdy nikoliv. Soustavy lineárních rovnic Pomocí hodnosti matice systému h(A) a hodnosti rozšířené matice systému h{A\b) lze jednoduše testovat řešitelnost systému lineárních rovnic s maticí A typu m x n a vektorem pravých stran b G Mm. Zřejmě je vždy h{A) < h{A\b), protože přidání sloupce b může hodnost matice případně jenom zvýšit. Otázka je, kdy přidání sloupce b skutečně zvýší hodnost matice systému a kdy nikoliv. Věta (Frobeniova) Systém lineárních rovnic má (alespoň jedno) řešení <* h(A) = h(A\b). Soustavy lineárních rovnic Pomocí hodnosti matice systému h(A) a hodnosti rozšířené matice systému h{A\b) lze jednoduše testovat řešitelnost systému lineárních rovnic s maticí A typu m x n a vektorem pravých stran b G Mm. Zřejmě je vždy h{A) < h{A\b), protože přidání sloupce b může hodnost matice případně jenom zvýšit. Otázka je, kdy přidání sloupce b skutečně zvýší hodnost matice systému a kdy nikoliv. Věta (Frobeniova) Systém lineárních rovnic má (alespoň jedno) řešení <* h(A) = h(A\b). Důkaz. h(Ä) = h(A\b), právě když je vektor b lineární kombinací sloupců matice A. Neboli existují čísla x\,... ,xn tak, že platí (311,321, ... ,3mi) • Xi + (3i2, 322, • • • , 3m2) ' *2 + ' ' ' + (3ln, 32n, • • • , 3mn) X„ = {b\, í>2, • • • , bm) . Lineární nezávislost sloupců matice Regulární a singulární matice umožňují jednoduše charakterizovat lineární nezávislost a závislost n vektorů u\,...,un G M". Mají-li být vektory u\,...,un lineárně nezávislé, musí mít lineární systém 3\ u\ + 32 u2 H--------h an un = 0 pouze triviální řešení (a\,..., an) = (0,..., 0). To nastane právě tehdy, když je čtvercová matice U jejíž sloupce jsou právě vektory u\,..., un, regulární. Tvrzení Necht jsou dány vektory u\,..., un G M" a necht U je matice, jejíž sloupce jsou vektory u\,... ,un. Potom u\,..., un jsou lineárně nezávislé <^ matice U je regulárni, u\,..., un jsou lineárně závislé <^ matice U je singulární. □ s - Tvrzení Necht jsou dány vektory u\,..., un G M" a necht U je matice, jejíž sloupce jsou vektory u\,..., un. Potom u\,...,un jsou lineárne nezávislé <^ matice U je regulárni, u\,..., un jsou lineárně závislé <^ matice U je singulární. Příklad Rozhodněte o lineární (ne)závislosti vektorů m = (1, 2,1)T, u2 = (-2,1,1)T, u3 = (0,5, 3)r. Plan přednášky Q Lineární závislost Determinanty lyova a Laplaceova it a inverzní matice n S - = -E -00*0 V rovině R2 jsme pracovali s maticemi lineárních zobrazení a determinant matice A det4 a b c d ad — be prozrazoval, jestli umíme najít inverzi k A. □ g - = V rovině R jsme pracovali s maticemi lineárních zobrazení a determinant matice A áetA a b c d ad — be prozrazoval, jestli umíme najít inverzi k A. Determinant byl užitečný i jinak: obsah rovnoběžníka by měl být lineárně závislý na každém ze dvou vektorů definujících rovnoběžník a je užitečné zároveň požadovat změnu znaménka při změně pořadí těchto vektorů. Protože tyto vlastnosti měl, až na pevný skalární násobek, jedině determinant, odvodili jsme, že je obsah dán právě takto. V rovině R jsme pracovali s maticemi lineárních zobrazení a determinant matice A áetA a b c d ad — be prozrazoval, jestli umíme najít inverzi k A. Determinant byl užitečný i jinak: obsah rovnoběžníka by měl být lineárně závislý na každém ze dvou vektorů definujících rovnoběžník a je užitečné zároveň požadovat změnu znaménka při změně pořadí těchto vektorů. Protože tyto vlastnosti měl, až na pevný skalární násobek, jedině determinant, odvodili jsme, že je obsah dán právě takto. Nyní budeme takové číslo áetA G M definovat pro libovolnou čtvercovou matici řádu n a ukážeme, že má právě ty vlastnosti, které jsme potřebovali výše. Budeme pracovat s libovolnými skaláry IK a maticemi nad těmito skaláry (např. Z, R, C, Zk). Budeme pracovat s libovolnými skaláry IK a maticemi nad těmito skaláry (např. Z, R, C, Zk). Připomeňme, že bijektivní zobrazení množiny X na sebe se nazývá permutace množiny X. Je-li X = {1,2,..., n}, lze permutace zapsat pomocí výsledného pořadí ve formě tabulky: 1 2 ... n (7(1) (7(2) ... <7(n) Budeme pracovat s libovolnými skaláry IK a maticemi nad těmito skaláry (např. Z, R, C, Zk). Připomeňme, že bijektivní zobrazení množiny X na sebe se nazývá permutace množiny X. Je-li X = {1,2,..., n}, lze permutace zapsat pomocí výsledného pořadí ve formě tabulky: í 1 2 ... n Ul) *(2) ... a(n) Prvek x G X se nazývá samodružným (pevným) bodem permutace a, je-li a(b). Permutace a se nazývá sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet inverzí. Jak tedy najít správná znaménka? Říkáme, že dvojice prvků a, b G X = {1,..., n} tvoří inverzi v permutaci a, je-li a < b a a{a) > a(b). Permutace a se nazývá sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet inverzí. Parita permutace a je (—l)P°cet mverzi a znagfme jj právě sgn(cr). Tolik definice, chceme ale vědět, jak s paritou počítat. Z následujícího tvrzení už je jasně vidět, že Sarrusovo pravidlo skutečně počítá determinant v dimenzi 3. Jak tedy najít správná znaménka? Říkáme, že dvojice prvků a, b G X = {1,..., n} tvoří inverzi v permutaci a, je-li a < b a a{a) > a(b). Permutace a se nazývá sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet inverzí. Parita permutace a je (—l)P°cet mverzi a znagfme jj právě sgn(cr). Tolik definice, chceme ale vědět, jak s paritou počítat. Z následujícího tvrzení už je jasně vidět, že Sarrusovo pravidlo skutečně počítá determinant v dimenzi 3. Na množině X = {1, 2,..., n} je právě n\ různých permutací. Tyto I lze seřadit do posloupnosti tak, že každé dvě po sobě jdoucí se liší právě jednou transpozicí Lze při tom začít libovolnou permutací a každá transpozice mění paritu. □ s Zjistili jsme, že provedeni libovolné transpozice změní paritu permutace a že každé pořadí čísel {1,2,..., n} lze získat postupnými transpozicemi sousedních prvků. Důsledkem tohoto popisu je, že na každé množině X = {1,..., n}, n > 1, je právě \n\ sudých a \n\ lichých permutací. Zjistili jsme, že provedeni libovolné transpozice změní paritu permutace a že každé pořadí čísel {1,2,..., n} lze získat postupnými transpozicemi sousedních prvků. Důsledkem tohoto popisu je, že na každé množině X = {1,..., n}, n > 1, je právě \n\ sudých a \n\ lichých permutací. Jestliže složíme dvě permutace za sebou, znamená to provést napřed všechny transpozice tvořící první a pak druhou. Proto pro libovolné permutace a, r] : X —>■ X platí sgn((j or]) = sgn(o-) • sgn(r?), sgn(o--1) = sgn(a). Zjistili jsme, že provedení libovolné transpozice změní paritu permutace a že každé pořadí čísel {1,2,..., n} lze získat postupnými transpozicemi sousedních prvků. Důsledkem tohoto popisu je, že na každé množině X = {1,..., n}, n > 1, je právě \n\ sudých a \n\ lichých permutací. Jestliže složíme dvě permutace za sebou, znamená to provést napřed všechny transpozice tvořící první a pak druhou. Proto pro libovolné permutace a, r] : X —>■ X platí sgn((jor?) = sgn((i)-sgn(r?), sgn(a 1)=sgn(a). Příklad Napište permutaci 12 3 4 5 3 12 5 4 jako složení transpozic a určete její paritu. Pro každou čtvercovou matici A platí O |^r| = \A\, O Je-li jeden řádek v A tvořen nulovými prvky z K, pak \A\ = 0, O Jestliže matice B vznikla z A výměnou dvou řádků, pak \A\ = -\B\, O Jestliže matice B vznikla z A vynásobením řádku skalárem 3£l, pak \B\ = a\A\, Q Jsou-li prvky k-tého řádku v A tvaru akj = Ckj + bkj a všechny ostatní řádky v maticích A, B = (by), C = (c//) jsou stejné, pak\A\ = |ß| + |C|, Q Determinant \A\ se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku A lineární kombinaci ostatních řádků. Důsledkem prvního tvrzeni předchozí věty o rovnosti determinantu matice a matice transponované je, že kdykoliv se nám podaří dokázat nějaké tvrzení o determinantech formulované s využitím řádků příslušné matice, pak analogické tvrzení platí i pro sloupce. Např. tedy můžeme okamžitě všechna tvrzení (2)-(6) této věty přeformulovat jako tvrzení o sloupcích matice. Důsledkem prvního tvrzeni předchozí věty o rovnosti determinantu matice a matice transponované je, že kdykoliv se nám podaří dokázat nějaké tvrzení o determinantech formulované s využitím řádků příslušné matice, pak analogické tvrzení platí i pro sloupce. Např. tedy můžeme okamžitě všechna tvrzení (2)-(6) této věty přeformulovat jako tvrzení o sloupcích matice. Vlastnosti (3)-(5) říkají, že determinant jako zobrazení, které n vektorům dimenze n (řádkům nebo sloupcům matice) přiřadí skala je antisymetrické zobrazení lineární v každém svém argumentu, přesně jak jsme podle analogie z dimenze 2 požadovali. Pro matici v řádkovém nebo sloupcovém schodovitém tvaru je jediným nenulovým členem determinantu ten, který odpovídá identické permutaci. Vidíme tedy, že determinant takové matice je |>4| = au • 322 • • • • 3nn. Předchozí věta tedy poskytuje velice efektivní metodu výpočtu determinantů pomocí Gaussovy eliminační metody. Plan přednášky » Lineární závislost Věty Cauchyova a Laplaceova it a inverzní matice n S - = -E -00*0 Věta (Cauchyova] Necht A = (aij), B okruhem skalárů K. = {bij) jsou čtvercové matice dimenze n nad Pak\A-B\ = \A\ -\B\. □ S Věta (Cauchyova] Necht A = (a;j), B = (by) jsou čtvercové matice dimenze n nad okruhem skalárů K. Pak \A ■ B\ = \A\ -\B\. Časem uvidíme, že skutečně stejně jako v dimenzi dva je determinant matice roven orientovanému objemu rovnoběžnostěnu určeného jejími sloupci. Uvidíme také, že když uvážíme zobrazení x i—> A ■ x zadané čtvercovou maticí A na R", pak můžeme determinant této matice vidět jako vyjádření poměru mezi objemem rovnoběžnostěnů daných vektory x\,...xn a jejich obrazy A ■ xi,..., A ■ xn. Protože skládání zobrazení x i—> A ■ x i—> B ■ (A ■ x) odpovídá násobení matic, je Cauchyova věta docela pochopitelná. □ s Věta (Cauchyova] Necht A = (a;j), B = (by) jsou čtvercové matice dimenze n nad okruhem skalárů K. Pak \A ■ B\ = \A\ -\B\. Časem uvidíme, že skutečně stejně jako v dimenzi dva je determinant matice roven orientovanému objemu rovnoběžnostěnu určeného jejími sloupci. Uvidíme také, že když uvážíme zobrazení x i—> A ■ x zadané čtvercovou maticí A na R", pak můžeme determinant této matice vidět jako vyjádření poměru mezi objemem rovnoběžnostěnů daných vektory x\,...xn a jejich obrazy A ■ xi,..., A ■ xn. Protože skládání zobrazení x i—> A ■ x i—> B ■ (A ■ x) odpovídá násobení matic, je Cauchyova věta docela pochopitelná. My tuto větu odvodíme ryze algebraicky jako důsledek tzv. Laplaceovy věty o rozvoji. Ta bude vyžadovat zavedení několika nových pojmů. □ s Definice (M inory a algebraické doplňky matice) _J Nechť A = (a/,-) je matice typu m/n a 1 < /'i < .. ■ < i k < m, l4| na výpočet determinantů nižšího stupně. Této metodě výpočtu se říká Laplaceuv rozvoj podle zvolených řádků či sloupců. Např. rozvoj podle /-tého řádku nebo /-tého sloupce: n n \A\ = 2_^ aijAij = 2_^ ajiAji 7 = 1 7=1 kde Ajj označuje algebraický doplněk k prvku (minoru stupně 1) a,j. Při praktickém počítání determinantů bývá výhodné kombinovat Laplaceuv rozvoj s přímou metodou přičítání lineárních kombinací řádků či sloupců. Uvažme matici H dimenze 2n (používáme tzv. blokovou symboliku, tj. píšeme matici jakoby složenou z matic) «-tes)- Laplaceovým rozvojem podle prvních n řádků obdržíme \H\ = \A\-\B\. Nyní budeme k posledním n sloupcům H postupně přičítat lineární kombinace prvních n sloupců tak, abychom obdrželi matici s nulami v pravém dolním rohu. Dostaneme Dostáváme tedy \H\ = \K\ = (_i)"+i+-+2"|4. B\ = (_!)2n.(n+i) .\A-B\ = \A-B\. Plan přednášky Q Lineární závislost lyova a Laplaceova Q Determinant a inverzní matice □ s Předpokládejme nejprve, že existuje matice inverzní k matici A, tj. A -A-1 = E. Protože pro jednotkovou matici platí vždy \E\ = 1, je pro každou invertibilní matici vždy |>4| invertibilní skalár a platí Jiný výpočet inverzní matice Předpokládejme nejprve, že existuje matice inverzní k matici A, tj. A -A-1 = E. Protože pro jednotkovou matici platí vždy \E\ = 1, je pro každou invertibilní matici vždy |>4| invertibilní skalár a platí \A\-1 = \A~1\. Pro libovolnou čtvercovou matici A matici A* = (a*), kde a*- = Aj ajj v A (všimněte si transponování!). Nazýváme ji adjungovaná matice k matici A. (ajj) dimenze n definujeme (a*:), kde a*- = Aj; jsou algebraické doplňky k prvkům Jiný výpočet inverzní matice Předpokládejme nejprve, že existuje matice inverzní k matici A, tj. A -A-1 = E. Protože pro jednotkovou matici platí vždy \E\ = 1, je pro každou invertibilní matici vždy |>4| invertibilní skalár a platí \A\-1 = \A~1\. Pro libovolnou čtvercovou matici A = (a//) dimenze n definujeme matici A* = {a*-), kde a*- = Aj; jsou algebraické doplňky k prvkům a;; v A (všimněte si transponování!). Nazýváme ji adjungovaná matice k matici A. Pro každou čtvercovou matici A nad okruhem skalárů K platí AA* = A*A = \A\ ■ E. Zejména tedy O A-1 existuje jako matice nad okruhem skalárů K právě, když \A\~X existuje vK. Jak jsme již zmínili, Cauchyova věta ukazuje, že z existence A-1 vyplývá invertibilita |>4| G K. Předpokládejme naopak, že |>4| je invertibilní skalár. Spočteme přímým výpočtem A ■ A* = (c//): k=\ k=\ Pokud / = j je to právě Laplaceuv rozvoj |>4| podle /-tého řádku. Pokud / ^ j jde o rozvoj determinantu matice v níž je /-tý a j-tý řádek stejný a proto je c/,- = 0. Odtud plyne A ■ A* = \A\ ■ E, a tedy \A-A* = \A\-E. D □ S ■•!•! I«I«I«M Příklad □ S Příklad Vypočtěte inverzní matici k ■•!•! I«I«I«M J -2 2 1 2 = - -1, 3 1 / 5 -8 6\ -2 3 "2 ľ V-4 7 "5/ □ g - = Důsledky předchozích tvrzeni Důsledek O A je singulárním \A\ = 0. O Necht U je matice, jejíž sloupce jsou vektory uj, vektory u\,..., un jsou lineárně závislé <ř» \U\ = Pak □ S Důsledky předchozích tvrzeni Důsledek O A je singulárním \A\ = 0. Q Necht U je matice, jejíž sloupce jsou vektory uj,..., uj. Pak vektory u\,..., un jsou lineárně závislé <ř» | U\ = 0. Věta (Kramerovo pravidlo) Necht A je regulární matice řádu n a b G M" a uvažujme systém lineárních rovnic Ax = b. Označme jako Aj matici, kterou získáme z matice A záměnou jejího i-tého sloupce za sloupec pravých stran b. Potom (jediné) řešení x = (xi,... ,x„) tohoto systému je dáno vztahem I A-1 . , Xi = ——, 1 = 1, ...,n. □ s ■•I«I»I»I >■ Důkaz. * Zřejmě je x = A~ 1b jediným řešením tohoto systému . Podle vzorce pro výpočet inverzní matice pomocí matice adjungované je * = \Ä\A"b< neboli X; = 1 • (/-tý prvek (sloupcového) vektoru 4*6) 1 • (Ml/ + feA/ + • • • + 6„y4n/) lA-l \A\ D □ s Poznámka Kramerovo pravidlo je výhodné použít pro systémy s malým n (řekněme n < 3) nebo pro systémy, kde je v matici systému hodně nul. Příklad Vyřešte následující systém Kramerovým pravidlem: xi + 2x2 + 3x3 = 2, 2xi — 3x2 — X3 = —3, —3xi + x2 + 2x3 = -3. □ s - 12 3 2 -3 -1 -3 12 l^il \M 2 3 -3 -1 1 2 1 LU 3 2 pšj -1 -3 ^3~ 2 1 2 2 -3 -3 1 2_ ^3 -3 -28, -28 -2í x\ -28 -56 -56 X2 -28 28 X3 \A\ 28 ^28