Matematika I - 7. přednáška Vektorové prostory, Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 1. 4. 2009 □ S Obsah přednášky O Vektorové prostory Generátory a pod prostory Báze a součty pod prostorů O Souřadnice vektorů ass □ S • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičeni • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Plán přednášky O Vektorové prostory Generátory a poc O Souřadnice vektorů □ s Uvažujme systém m lineárních rovnic pro n proměnných a předpokládejme, že jde o rovnice tvaru A ■ x = 0, tj. 311 ,ami ... a, □ g - = Uvažujme systém m lineárních rovnic pro n proměnných a předpokládejme, že jde o rovnice tvaru A ■ x = 0, tj. 311 yam\ . . . Díky vlastnosti distributivity pro násobení matic je okamžitě zřejmé, že součet dvou řešení x = (xi,..., x„) a y = (yi,..., yn) splňuje A-(x + y)=A-x + A-y = 0 a je tedy také řešením. Stejně tak zůstává řešením i skalární násobek a ■ x. □ g - = Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic s nulovou pravou stranou je proto uzavřená na sčítání vektorů a násobení vektorů skaláry. To byly základní vlastnosti vektorů dimenze n v Kn. Teď ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a dimenze tohoto prostoru určitě nebude n (pokud matice systému není nulová). Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic s nulovou pravou stranou je proto uzavřená na sčítání vektorů a násobení vektorů skaláry. To byly základní vlastnosti vektorů dimenze n v Kn. Teď ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a dimenze tohoto prostoru určitě nebude n (pokud matice systému není nulová). Případ dvou rovnic pro dvě neznámé jsme potkali při řešení geometrických problémů v rovině a pro dvě závislé rovnice byl množinou všech řešení jednorozměrný prostor - přímka. U dvou nezávislých rovnic to byl průsečík dvou přímek, tj. nularozměrny prostor. Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic s nulovou pravou stranou je proto uzavřená na sčítání vektorů a násobení vektorů skaláry. To byly základní vlastnosti vektorů dimenze n v Kn. Teď ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a dimenze tohoto prostoru určitě nebude n (pokud matice systému není nulová). Případ dvou rovnic pro dvě neznámé jsme potkali při řešení geometrických problémů v rovině a pro dvě závislé rovnice byl množinou všech řešení jednorozměrný prostor - přímka. U dvou nezávislých rovnic to byl průsečík dvou přímek, tj. nularozměrny prostor. Potřebujeme proto obecnější definici vektorového prostoru a jeho dimenze. □ g - = ^ -00*0 Definice Vektorový prostor V nad polem skalárů K je množina s operací sčítání, pro kterou platí axiomy komutativní gn jpy- a násobení skaláry takové, že platí a • (v + w) = a ■ v + a ■ w (VI) {a + b)v = a ■ v + b ■ v (V2) a(bv) = --(a- b) v (V3) Iv = v (V4) Příklad Množina W := {(2,x), xeR} s obvyklými operacemi sčítání a násobení po složkách, tj. (2,xi) + (2,x2) = (4, X! +x2) ČW,a- (2,x) = (2a, ax) £ W není vektorový prostor Příklad O Množina Matmxn(R) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad R. Příklad O Množina Matmxn(R) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad R. Q Množina T všech funkcí ř:R^Ks operacemi je vektorový prostor. □ g - = Příklad O Množina Matmxn(R) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad R. Q Množina T všech funkcí ř:R^Ks operacemi + .. . sčítání funkcí, tj. (f + g)(x) := f(x) + g{x), a je vektorový prostor. Příklad Množina Matmxn(R) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad R. Množina T všech funkcí ř:R^Ks operacemi + .. . sčítání funkcí, tj. (f + g)(x) := f(x) + g{x), a • .. . násobení funkce reálným číslem, tj. (a • f)(x) := a • f(x), je vektorový prostor. Příklad O Množina Matmxn(R) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad R. Q Množina T všech funkcí ř:R^Ks operacemi + .. . sčítání funkcí, tj. (f + g)(x) := f(x) + g{x), a • .. . násobení funkce reálným číslem, tj. (a • f)(x) := a • f(x), je vektorový prostor. O Množina R+ všech kladných reálných čísel s operacemi je vektorový prostor. □ g - = Příklad O Množina Matmxn(R) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad R. Q Množina T všech funkcí ř:R^Ks operacemi + .. . sčítání funkcí, tj. (f + g)(x) := f(x) + g{x), a • .. . násobení funkce reálným číslem, tj. (a • f)(x) := a • f(x), je vektorový prostor. O Množina R+ všech kladných reálných čísel s operacemi © .. . sčítání, pro x, y G M+ definujme x © y := xy, a je vektorový prostor. □ g - = Příklad O Množina Matmxn(R) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad R. Q Množina T všech funkcí ř:R^Ks operacemi + .. . sčítání funkcí, tj. (f + g)(x) := f(x) + g{x), a • .. . násobení funkce reálným číslem, tj. (a • f)(x) := a • f(x), je vektorový prostor. O Množina R+ všech kladných reálných čísel s operacemi © .. . sčítání, pro x, y G M+ definujme x © y := xy, a © .. . násobení skalárem, pro x G M+ a a G M definujme a ©x := xa, je vektorový prostor. S1 Příklad O Množina Matmxn(R) všech matic typu m x n s operacemi sčítaní matic a násobení matice reálným číslem je vektorový prostor nad R. Q Množina T všech funkcí ř:R^Ks operacemi + .. . sčítání funkcí, tj. (f + g)(x) := f(x) + g{x), a • .. . násobení funkce reálným číslem, tj. (a • f)(x) := a • f(x), je vektorový prostor. O Množina R+ všech kladných reálných čísel s operacemi © .. . sčítání, pro x, y G M+ definujme x © y := xy, a © .. . násobení skalárem, pro x G M+ a a G M definujme a ©x := xa, je vektorový prostor. O Množina C komplexních čísel s obvyklými operacemi sčítání a násobení je vektorový prostor nad R. s Příklad Množina W všech polynomů sudého stupně s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomu skalárem není vektorový prostor. Není splněna podmínka uzavřenosti množiny W na operaci + Např. pro polynomy p(x) = x4 + x3 + x2 a q(x) = —x4 + 1, pro které je p, q G W, platí (p + q)(x) x3 + x2 + 1 ^ W (není sudého stupně). Příklad Množina W všech polynomů sudého stupně s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomu skalárem není vektorový prostor. Není splněna podmínka uzavřenosti množiny W na operaci + Např. pro polynomy x4 + x3 + x2 a q(x) + 1, pro které je p, q G W, pW platí (p + q)(x) Množina Gl„ všech (čtvercových) regulárních matic řádu n s operacemi x3 + x2 + 1 G" W (není sudého stupně). není vektorový prostor. Není např. splněna podmínka komutativity operace ©. Prozkoumejte, které axiomy splněny jsou! Zejména si všimněte, že pro A, B e GL„ je také /4©ß = 4ße GL„, oproti tomu pro A G GL„ a a G M je a ■ A G GL„ pouze pokud a^O. Příklad Množina W všech polynomů sudého stupně s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomu skalárem není vektorový prostor. Není splněna podmínka uzavřenosti množiny W na operaci + Např. pro polynomy x4 + x3 + x2 a q(x) + 1, pro které je p, q G W, x3 + x2 + 1 G" W (není sudého stupně). pW platí (p + q)(x) Množina Gl„ všech (čtvercových) regulárních matic řádu n s operacemi © .. . sčítání, definované pro A, B G GL„ jako A © ß := /4ß, a není vektorový prostor. Není např. splněna podmínka komutativity operace ©. Prozkoumejte, které axiomy splněny jsou! Zejména si všimněte, že pro A, B e GL„ je také /4©ß = 4ße GL„, oproti tomu pro A G GL„ a a G M je a ■ A G GL„ pouze pokud a^O. Příklad Množina W všech polynomů sudého stupně s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomu skalárem není vektorový prostor. Není splněna podmínka uzavřenosti množiny W na operaci + Např. pro polynomy x4 + x3 + x2 a q(x) + 1, pro které je p, q G W, x3 + x2 + 1 G" W (není sudého stupně). pW platí (p + q)(x) Množina Gl„ všech (čtvercových) regulárních matic řádu n s operacemi © .. . sčítání, definované pro A, B G GL„ jako A © ß := /4ß, a © .. . násobení matice skalárem, tj. pro A G GL„ a a G M je a©4 := a-A není vektorový prostor. Není např. splněna podmínka komutativity operace ©. Prozkoumejte, které axiomy splněny jsou! Zejména si všimněte, že pro A, B e GL„ je také /4©ß = 4ße GL„, oproti tomu pro A G GL„ a a G M je a ■ A G GL„ pouze pokud a^O. □ s U matic jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: Výrazy tvaru a\ ■ v\ + • • • + a^ ■ v^ nazýváme lineární kombinace vektorů v\,... ,Vk C V. U matic jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: Výrazy tvaru a\ ■ v\ + • • • + a^ ■ Vk nazýváme lineární kombinace vektorů v\,... ,Vk C V. Definice Množina vektorů M C V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou /c-tici vektorů ví, ■ ■ ■, Vk G M a každé skaláry a\,..., ak G IK platí: a\ ■ ví -\--------h ak ■ vk = 0 a\ = a2 ak = 0. □ S U matic jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: Výrazy tvaru a\ ■ v\ + • • • + a^ ■ Vk nazýváme lineární kombinace vektorů v\,... ,Vk C V. Definice Množina vektorů M C V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou /c-tici vektorů ví, ■ ■ ■, Vk G M a každé skaláry a\,..., ak G IK platí: a\ ■ ví -\--------h ak ■ vk = 0 a\ = a2 ak = 0. Posloupnost vektorů v\,..., Vk nazveme lineárně nezávislou jestliže v\,... ,Vk jsou po dvou různé a {v\,..., Vk} je lineárně nezávislá. □ s U matic jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: Výrazy tvaru a\ ■ v\ + • • • + a^ ■ Vk nazýváme lineární kombinace vektorů v\,... ,Vk C V. Definice Množina vektorů M C V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou /c-tici vektorů ví, ■ ■ ■, Vk G M a každé skaláry a\,..., ak G IK platí: a\ ■ ví -\--------h ak ■ vk = 0 a\ = a2 ak = 0. Posloupnost vektorů v\,..., Vk nazveme lineárně nezávislou jestliže v\,... ,Vk jsou po dvou různé a {v\,..., Vk} je lineárně nezávislá. Množina M vektorů je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá. □ s Přímo z definice pak vyplývá, že neprázdná podmnožina M vektorů ve vektorovém prostoru nad polem skalárů K je závislá právě, když je jeden z jejích vektorů vyjádřitelný jako lineární kombinace ostatních. □ s Přímo z definice pak vyplývá, že neprázdná podmnožina M vektorů ve vektorovém prostoru nad polem skalárů K je závislá právě, když je jeden z jejích vektorů vyjádřitelný jako lineární kombinace ostatních. Přímo z definic plyne, že každá podmnožina lineárně nezávislé množiny M je lineárně nezávislá. Stejně snadno vidíme, že M C V je lineárně nezávislá právě tehdy, když každá konečná podmnožina v M je lineárně nezávislá. Plán přednášky Q Vektorové prostory Generátory a pod prostory O Souřadnice vektorů □ s Definice Podmnožina M c V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže spolu se zúženými operacemi sčítania násobení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme Va, b G K, Vi/, m/ G M, a ■ v + b- w e M. □ S Vektorové pre oooooooo Definice Podmnožina M c V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže spolu se zúženými operacemi sčítania násobení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme Va, b G K, Vi/, m/ G M, a ■ v + b- w G M. Příklad O Nechť V = R2 a W := {(xi,x2) G M2, xi +x2 = 0}. Potom je W vektorový pod prostor prostoru R2 □ s Vektorové pre oooooooo Definice Podmnožina M c V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže spolu se zúženými operacemi sčítania násobení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme Va, b G K, Vi/, m/ G M, a ■ v + b- w G M. Příklad O Nechť V = R2 a W := {(xi,x2) G M2, xx +x2 = 0}. Potom je 1/1/ vektorový pod prostor prostoru R2 Q Množina W := {A g Matnxn, matice A má samé nuly na hlavní diagonále} je vlastní podprostor vektorového prostoru MatnXn- igoná □ S Příklad * Prostor n-tic skalárů Rm se sčítáním a násobením po složkách vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad Q. Na pro m = 2, jsou vektory (1, 0), (0,1) G R2 lineárně nezávislé, protože z a • (1,0) + b • (0,1) = (0,0) plyne a = b = 0. je př. □ s Příklad Prostor n-tic skalárů Rm se sčítáním a násobením po složkách je vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad Q. Např. pro m = 2, jsou vektory (1, 0), (0,1) G R2 lineárně nezávislé, protože z a • (1,0) + b • (0,1) = (0,0) plyne a = b = 0. Dále, vektory (1, 0), (\/2, 0) G R2 jsou lineárně závislé nad R, protože V2 ■ (1,0) = (\/2, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé! Nad R tedy tyto dva vektory generují jednorozměrný podprostor, zatímco nad Q je dvourozměrný. □ s Příklad a sčítání a Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Polynomy můžeme chápat jako zobrazení f : R —> 1 násobení skaláry definujeme takto: (f + g)(x) = f{x) + g(x), (a • f)(x) = a ■ f{x). Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový prostor Roo[x] a Rm[x] C Mn[x] je vektorový podprostor pro všechna m < n < oo. Pod prostory jsou např. všechny sudé polynomy nebo liché polynomy (f(—x) = ±f(x)). □ s Vektorové pre oooooooo Příklad a sčítání a Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Polynomy můžeme chápat jako zobrazení f : R —> 1 násobení skaláry definujeme takto: (f + g)(x) = f (x) + g{x), (a • f){x) = a ■ f{x). Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový prostor Roo[x] a Rm[x] C Mn[x] je vektorový podprostor pro všechna m < n < oo. Pod prostory jsou např. všechny sudé polynomy nebo liché polynomy (f(—x) = ±f(x)). Příklad Úplně analogicky jako u polynomů můžeme definovat strukturu vektorového prostoru na množině všech zobrazení R —> R nebo všech zobrazení M —> V libovolné pevně zvolené množiny M do vektorového prostoru V. □ s Protože podmínka v definici podprostoru obsahuje pouze univerzální kvantifikátory, je jistě průnik podprostoru opět podprostor. Snadno to ověříme i přímo: Nechť Wj, i G /, jsou vektorové podprostory ve V, a, b G K, u, v G fl/e/l/V/. Pak pro všechny ÍGl,a-u + b-vG Wj, to ale znamená, že a- u + b- v G CiieiWj. Protože podmínka v definici podprostoru obsahuje pouze univerzální kvantifikátory, je jistě průnik podprostoru opět podprostor. Snadno to ověříme i přímo: Nechť l/V/, / G /, jsou vektorové podprostory ve V, a, b G K, u, v G n,e/l/V/. Pak pro všechny / G /, a • u + b • i/ G Wj, to ale znamená, že a- u + b- v G n,-e/l/V/. Zejména je tedy podprostorem průnik všech podprostoru l/V C V, které obsahují předem danou množinu vektorů M c V. Definice Říkáme, že takto M generuje podprostor (M), nebo že prvky M jsou generátory podprostoru (M). □ s Pro každou podmnožinu M C V platí O (M) = {ai- ui-\--------h ak ■ uk; k e N, a,- e K, uj G M, j ■■ l,...,k} Q M = (M) právě když M je vektorový podprostor Q jestliže N c M pak (N) c (M) je vektorový podprostor Q (0) = {0} c V, triviálni podprostor. □ s Plán přednášky Q Vektorové prostory Generátory a poc Báze a součty pod prostorů O Souřadnice vektorů □ s Definice Nechť Vj, i G /, jsou podprostory ve V. Pak podprostor generovaný jejich sjednocením, tj. (U;e/V/), nazýváme součtem podprostorů Vj. Značíme J2iei ^i- Zejména pro V\,..., Vk C V, Vi + --- + vk = {V1UV2U ••• u vk). □ s Definice Nechť Vj, i G /, jsou podprostory ve V. Pak podprostor generovaný jejich sjednocením, tj. (U;e/V/), nazýváme součtem podprostoru Vj. Značíme J2iei ^i- Zejména pro V\,..., \4 C V, Vi + --- + vk = {V1UV2U ••• u vk). Viděli jsme, že každý prvek v uvažovaném součtu podprostoru můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z podprostoru V;. Protože však je sčítání vektorů komutativní, lze k sobě poskládat členy patřící do stejného podprostoru a pro konečný součet k podprostoru tak dostáváme V1 + V2 + --- + Vk = {v1 + --- + vk; vj e Vi, i = l,...,k}. □ s Definice Součet W = V\ + ■ ■ ■ + Vk c V se nazývá přímý součet podprostorů, jsou-li průniky všech dvojic triviální, tj. V-, n Vj = {0} pro všechny / ^ j. V takovém případě lze každý vektor w G W napsat právě jedním způsobem jako součet w = ví -\--------h vk, kde vj G Vj. Pro přímé součty píšeme w = v1e---evk = et1Vj. □ S Definice Podmnožina M c V se nazývá báze vektorového prostoru V, jestliže {M) = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost báze nazýváme dimenzí Va. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněrozměrný. Píšeme dim V = k, k G N, případně k = oo. aVšimněme si, že triviální pod prostor je generován prázdnou množinou, která je prázdnou baží. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. □ s Definice Podmnožina M c V se nazývá báze vektorového prostoru V, jestliže {M) = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost báze nazýváme dimenzí Va. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněrozměrný. Píšeme dim V = k, k G N, případně k = oo. aVšimněme si, že triviální pod prostor je generován prázdnou množinou, která je prázdnou baží. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. Bázi /(-rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako /c-tici v = (v\..., Vk) bázových vektorů. Jde tu především o zavedení konvence: U konečněrozměrných pod prostorů budeme totiž vždy uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků i když jsme to takto, striktně vzato, nedefinovali. □ s Definice Podmnožina M c V se nazývá báze vektorového prostoru V, jestliže {M) = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost báze nazýváme dimenzí Va. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněrozměrný. Píšeme dim V = k, k G N, případně k = oo. aVšimněme si, že triviální pod prostor je generován prázdnou množinou, která je prázdnou baží. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. Bázi /(-rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako /c-tici v = (v\..., Vk) bázových vektorů. Jde tu především o zavedení konvence: U konečněrozměrných pod prostorů budeme totiž vždy uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků i když jsme to takto, striktně vzato, nedefinovali. Zjevně, je-li (v\,... ,vn) baží V, je celý prostor V přímým součtem jednorozměrných pod prostorů V = (i/i) © • • • © (vn). : Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V lze vybrat bázi. Každá báze V má přitom stejný počet prvků. □ s Silnější tvrzení je Steinitzova věta o výměně, která říká, že pro každou konečnou bázi a každý systém lineárně nezávislých vektorů ve V umíme najít podmnožinu bázových vektorů, které záměnou za zadané nové vektory dají opět bázi. Důsledky tohoto tvrzení jsou: Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V lze vybrat bázi. Každá báze V má přitom stejný počet prvků. Silnější tvrzení je Steinitzova věta o výměně, která říká, že pro každou konečnou bázi a každý systém lineárně nezávislých vektorů ve V umíme najít podmnožinu bázových vektorů, které záměnou za zadané nové vektory dají opět bázi. Důsledky tohoto tvrzení jsou: Důsledek Každé dvě báze konečněrozměrného vektorového prostoru mají stejný počet vektorů. Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu doplnit do báze. Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě maximální lineárně nezávislé množiny Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální množiny generátorů C li Necht W,W1,W2 C V jsou dimenze. Pak platí podprostory v prostom konečné O dim 1/1/ < dim V Q V = - W právě když dim V = dim U/ O dim l/l/i+diml/1/2 =dim(l/l/i + l/l/2) + dim(l/l/i n 1/1/2). ---------------------' □ s C li Necht W,W1,W2 C V jsou podprostory v prostom konečné dimenze. Pak platí O dim W < dim V Q V = - W právě když dim V = dim W O dim Wi+dim W2 =dim(Wi + H/2) + dim(H/i nw2). ----------------- - Důsledek Je-li V prostor dimenze n, pak • každá n-prvková množina lineátních vektoru generuje V a • každá n-prvková množina generátoru V je lineárně nezávislá. V obou případech jde tedy o bázi vektorového prostoru V. □ s Plán přednášky Q Vektorové prostory Generátory a poc O Souřadnice vektorů □ s Když je množina {Vi,..., vn} c V báze, můžeme každý vektor v G V vyjádřit jako lineární kombinaci v = a\V\ + • • • + anvn. Předpokládejme, že to uděláme dvěma způsoby: v = a\ví -\--------h anvn = b\v\ -\--------\- bnvn. Potom ale 0 = (ai - bi) ■ vi H--------h (an - bn) ■ vn a proto a,- = b\ pro všechna / = 1,..., n. Lze tedy každý vektor zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových vektorů. Když je množina {Vi,..., vn} c V báze, můžeme každý vektor v G V vyjádřit jako lineární kombinaci v = a\V\ + • • • + anvn. Předpokládejme, že to uděláme dvěma způsoby: v = a\v\-\--------h anvn = b\v\ -\--------\- bnvn. Potom ale 0 = (a!- h)- V!-\--------h (an - bn) ■ vn a proto a,- = b\ pro všechna / = 1,..., n. Lze tedy každý vektor zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových vektorů. Definice Koeficienty této jediné lineární kombinace vyjadřující daný vektor v G V ve zvolené bázi (v\,..., vn) se nazývají souřadnice vektoru v v této bázi. Přiřazení, které vektoru u = a\v\ + • • • + anvn přiřadí jeho souřadnice v bázi v, budeme značit stejným symbolem v : V -► K". Má tyto vlastnosti: • ¥-{u + w) = v(u) + v(w); Vu, w G V • v(a ■ u) = a ■ v{u); Va G K, Vu G V. □ s Příklad Vektor w = (3,2,1) má ve standardní bázi e = (ei, 32, 63) prostoru R3 souřadnice '3N Me zatímco v bázi u = ((1,1,1), (1,1,0), (1, 0,0)) má w souřadnice Mu = I 1 I , Protože w = (3,2,1) = 1(1,1,1)+1(1,1, 0)+l(l,|0,0). Všimněte si, že když říkáme vektor w = (3,2,1), tak tím vlastně automaticky myslíme tento vektor vztažený ke standardní bázi e. □ g - = Příklad * Polynom pW = kx + q má ve standardní bázi e = (x, 1) prostoru lineárních polyr iomů souřadnice [pWI. = ■0- zatímco \ ' bázi u = (x - -l,x + l) má pol> nom p(x) souřadnice [pW]« = 14] 5 protože p(x) = kx + q = ^-(x -1) + fc+q 2 (x + 1) □ s - = ■€. -o<\(y