Matematika 1 27. května 2009
A
(UCO: )
Hodnocení:
Semestr (max. 15b.)	1.	2.	3.	4.	5.	6.	E
0							
Potřebné minimum (včetně bodů ze semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut.							
1.  (6 bodů) Rozhodněte, je-li matice
A =
0
diagonalizovatelná, určete regulární matici P a diagonální D takové, že A = P ■ D ■ P x a prostřednictvím diagonalizace vypočtete A5 a A~3 .
2.   (6 bodů) Určete všechny dvojice parametrů, pro něž je množina řešení soustavy
x + y + az = 1
x + ay + 2z = 1
x + y + 3z = b
s neznámými x, y, z G IR
(a)  nekonečná,
(b)  prázdná.
3.   (5 bodů) Mějme vektory
Ul = (1,-2,2,0),    u2 = (-1,1,0,0) «3 = (1,-2, 2, 3),    u4 = (2,-5,í,3).
(a)   Určete, pro které hodnoty t E E je «4 lineární kombinací U\,U2,U3,
(b)  pomocí Gram-Schmidtova procesu určete ortogonální bázi («1,1(2,1(3),
(c)  určete souřadnice 1(4 (pro hodnotu t určenou v (a)) v bázi určené v (b).
4.   (4 body) Určete obecnou rovnici roviny určené body A = [— 1,1,0], B = [2,1,6], C = [3, 0,4].
5.   (6 bodů) V každém pytli s 1000 zlaťáky jsou 4 falešné, pokud je pytel z Kutné Hory, a 2 falešné, pokud je z Prahy. Máme 20 pytlů z Kutné Hory a 30 pytlů z Prahy. Náhodně vybereme pytel a z něho zlaťák. Určete pravděpodobnost, že:
(a)  zlaťák je falešný,
(b)  pokud je vytažen pravý zlaťák, tak je z Prahy.
6.  (3 body) Definujte pojem tranzitivní relace a pojem relace ekvivalence. Udejte příklad relace na tříprvkové množiněm, která je reflexivní a tranzitivní, ale není symetrická.
Matematika 1 27. května 2009
B
(UCO: )
Hodnocení:
Semestr (max. 15b.)	1.	2.	3.	4.	5.	6.	E
0							
Potřebné minimum (včetně bodů ze semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut.							
1.  (5 bodů) Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
M =
Určete algebraickou a geometrickou násobnost všech vlastních hodnot a uveďte, je-li matice M diagonalizovatelná.
2.   (6 bodů) V E4 určete vzdálenost roviny a : [1, 2, 0, -1] + s(l, 0, 3, 0) + í(2, 0,1, 0) od přímky p : [4,3,4,6] + r(3,4,4, 3) a body, v nichž se tato vzdálenost realizuje (tj. nejkratší úsečku s jedním koncovým vrcholem v a a. druhým na p).
3.   (6 bodů) U zkoušky je 70% studentů, kteří se učili, zbytek se neučil (šli to zkusit). Student, který se poctivě učil, zkoušku úspěšně absolvuje s pravděpodobností 90%, student, který se neučil, s pravděpodobností 20%. Určete pravděpodobnosti následujících jevů:
(a)  náhodně vybraný student zkoušku udělá;
(b)   student, který zkoušku udělal, se na to ani nepodíval;
(c)   student, který zkoušku neudělal, se poctivě připravoval.
4.   (5 bodů) Pomocí výpočtu vhodného determinantu rozhodněte o lineární (ne)závislosti vektorů
(a G E je parametr):
u\ = (1,1,1,1),    u2 = (a, 0,a, 0) «3 = (a, 2, 3, 4),    u4 = (1,-1,0,0).
5.   (5 bodů) Uvažujte množiny A = {1, 2, 3,4}, B = {a,b,c,d} a relaci p mezi těmito množinami danou předpisem
p={[M,[2,a],[2,&],[3,c]}.
(a)   Určete, je-li relace p zobrazení a pokud ano, je-li toto zobrazení sujektivní a/nebo injek-tivní.
(b)   Určete inverzní relaci p_1 a uveďte, jde-li o zobrazení a pokud ano, je-li toto zobrazení sujektivní a/nebo injektivní.
(c)   Určete složené relace p_1 o p a p o p_1.
6.   (3 body)
(a)   Definujte pojem hodnost matice.
(b)   Zformulujte Frobeniovu větu o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic.
(c)   Uveďte souvislost mezi determinantem regulární matice A a matic A-1, AT.