Matematika 1 27. května 2009
A
(UCO: )
Hodnocení:
Semestr (max. 15b.)	1.	2.	3.	4.	5.	6.	E
0							
Potřebné minimum (včetně bodů ze semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut.							
1.   (5 bodů) V loterii je taženo 5 čísel z množiny {1,2,3,..., 35}, přitom nezáleží na jejich pořadí. Sázející tipuje 5 čísel a vyhrává 1. cenu, pokud všechna uhodne, 2. cenu, pokud tipuje správně 4 čísla a 3. cenu, jestliže správně uhodne 3 čísla. Definujte význam kombinačního čísla Qf) a pomocí kombinačních čísel vyjádřete pravděpodobnost:
(a)  získání 1. ceny;
(b)  toho, že všechna tažená čísla budou lichá;
(c)  toho, že alespoň 2 tažená čísla budou sudá;
(d)  získání 3. ceny.
2.   (6 bodů) Určete vzdálenost rovin o : [4,5,3,2]+í(l, 2,2,2)+ s(2, 0,2,1) ar: [1,-2,1,-3] + r(2, —2,1, 2) +p(l, —2, 0, —1) v euklidovském prostoru E4.
3.   (4 body) Uvažte vektorový prostor Mat2X2 čtvercových matic řádu 2 a v něm množinu V těch matic, které mají nulový součet prvků v každém řádku i v každém sloupci. Rozhodněte (a zdůvodněte!), je-li V vektorovým podprostorem v Mat2X2 a pokud ano, určete jeho bázi a dimenzi.
4.   (6 bodů) Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
M =
6      9
-5 -4
-7 -5
Určete algebraickou a geometrickou násobnost všech vlastních hodnot a uveďte, je-li matice M podobná nějaké diagonální matici. Pokud ano, uveďte takovou matici a matici podobnosti.
5.  (4 body) Je dána matice
A =
a (obecná) matice B řádu 3, o níž víme, že \B\ B,A~1,B-1-A,A2,B2,BT-AT.
-3. Určete determinanty matic A
6. (4 body) Uveďte všechny podmínky pro to, aby byla relace R relací (neostrého) uspořádání a u následujících relací na množině {a, b, c, d} rozhodněte, zda je R uspořádání a dále, zda je R relací ekvivalence.
(a)   R = {[a, a], [b, b], [c,c], [d, d], [d, a], [a, d]},
(b)   R= {[a, a], [b, b], [c,c], [d, d], [b,a], [a,b], [b, c], [c, 6]},
(c)   R= {[a, a], [b, b], [c,c], [d, d], [a, b], [a,c], [a, d], [b, c], [b, d], [c,d}}.
Matematika 1 27. května 2009
B
(UCO: )
Hodnocení:
Semestr (max. 15b.)	1.	2.	3.	4.	5.	6.	E
0							
Potřebné minimum (včetně bodů ze semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut.							
1.   (5 bodů) Osoby X a Y přijdou na smluvené místo kdykoliv mezi 9.00 a 10.00 (okamžiky příchodu jsou nezávislé a stejně možné během celého intervalu). Určete pravděpodobnost, že:
(a)   první z příchozích nebude muset na druhého čekat déle než 10 minut,
(b)   osoba Y přijde až jako druhá, jestliže přijde po 9.30.
2.   (5 bodů) V M3 určete obecnou rovnici roviny určené bodem A =  [1,1,1] a přímkou p : [-l,l,l]+í(l,2,3).
3.   (6 bodů) V populačním modelu dravec-kořist je vztah mezi počtem lišek (Lk) a králíků (Kk) v daném a následujícím měsíci dán rovnostmi
Lk+i = 0,5Lfc + Q,5Kk Kk+1 = -0,2Lk + l,2Kk,
(2	1	-1	2	-1\
-4	3	2	-1	1
3	5	-2	1	-2
2	2	-1	3	-1
w	2	3	1	3/
přitom na počátku je ve zkoumané oblasti 50 lišek a 80 králíků. Pomocí výpočtu vlastních hodnot a vektorů matice systému analyzujte limitní chování tohoto modelu.
4.  (5 bodů) Vyčíslete hodnotu determinantu matice
A
5.   (5 bodů) V E4 jsou dány podprostory
U= ((1,2,1,0), (-1,1,1,1)),        V= ((2,-1, 0,1), (1,-1, 3,7)). Najděte bázi prostoru U C\ V a určete dimenzi součtu U + V.
6.   (4 body) Uveďte všechny podmínky pro to, aby byla relace R ekvivalencí a u následujících relací na množině {a, b, c, d} rozhodněte, zda je R ekvivalence a dále, zda je R relací uspořádání.
(a)   R= {[a, a], [b, b], [c,c], [d, d], [b,a], [b, c], [b, d}},
(b)   R= {[a,a},[b,b},[c,c},[d,d]},
(c)   R= {[a,a], [b,b], [c,c], [b,a], [a,b], [b,c], [c,b], [a,c], [c,a}}.